2021年21-2.高中數(shù)學選修2-1知識總結(jié)--圓錐曲線與方程

1、21-高中數(shù)學選修2-1知識總結(jié)-圓錐曲線與方程高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)第二章圓錐曲線與方程裝第二章圓錐曲線與方程本章知識結(jié)構(gòu)圓錐曲線的實際背景本章知識要點標準方程簡單的幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線簡單應用訂1曲線與方程一、曲線與方程一般地，在直角坐標系中，如果某曲線c（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)0的實數(shù)解建立如下的關系（1）曲線上的點的坐標都是方程的解；（2）以方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這個曲線叫做方程的曲線.二、求曲線的方程解析幾何用坐標法研究幾何圖形的知識形成的學科叫做解析幾何.解析幾何研究的主要問題是（1

2、）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).求曲線方程的步驟（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點m的坐標；（2）寫出適合條件p的點m的集合pmp(m)；（3）用坐標表示條件p(m)，列出方程f(x,y)0；第1頁共6頁線盤點知識夯實基礎逐步提高（4）化方程f(x,y)0為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.簡言之建系、取點列式代換化簡證明.2橢圓一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的定義可

3、用集合語言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當2af1f2；當2af1f2時，表示線段f1f2時，軌跡不存在.二、橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程當橢圓焦點在x軸上時當橢圓焦點在y軸上時x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab圖形范圍對稱軸對稱中心axa，bybaya，bxbx軸、y軸坐標原點o(0,0)x軸、y軸坐標原點o(0,0)第2頁共6頁高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)第二章圓錐曲線與方程裝長軸短軸頂點坐標焦點坐標離心率長軸長2a，短軸長2b長軸長2a，短軸長2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，

4、其中c2a2b2ec(其中0e1)a注意a、b、c、e的幾何意義a叫做長半軸長；b叫做短半軸長；c叫做半焦距；a、b、c之間滿足a2b2ce叫做橢圓的離心率，e的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.c且0e1，e可以刻畫橢圓a點p是橢圓上任一點，f是橢圓的一個焦點，則pfmaxac，pfminac.點p是橢圓上任一點，當點p在短軸端點位置時，f1pf2取最大值.橢圓的第二定義當平面內(nèi)點m到一個定點f(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線訂線ca2lx的距離的比是常數(shù)e(0e1)時，這個點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的ac焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.x2y2橢圓方程

5、221(ab0)常用三角換元為xacos,ybsin.ab三、點與橢圓位置關系x2y2點p(x0,y0)與橢圓221(ab0)位置關系abx02y02（1）點p(x0,y0)在橢圓內(nèi)221（含焦點）ab（2）點p(x0,y0)在橢圓上x0y012222abx02y02（3）點p(x0,y0)在橢圓外221ab第3頁共6頁盤點知識夯實基礎逐步提高四、直線與橢圓位置關系（1）直線與橢圓的位置關系及判定方法位置關系相交相切相離（2）弦長公式設直線ykxb交橢圓于p1(x1,y1),p2(x2,y2)2x1x2，或|pp則|pp12|1k12|1公共點有兩個公共點有且只有一個公共點無公共點判定方法00

6、0直線與橢圓方程首先應消去一個未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式1y1y2(k0).k23雙曲線一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.雙曲線的定義可用集合語言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當2af1、f2為端點的兩條射線；當2af1f2時，表示分別以f1f2時，軌跡不存在.二、雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程當雙曲線焦點在x軸上時當雙曲線焦點在y軸上時x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab圖形第4頁共6頁高中數(shù)學選修2-1

7、知識點總結(jié)第二章圓錐曲線與方程裝范圍對稱軸對稱中心實軸虛軸頂點坐標焦點坐標漸近線離心率xa，或xaya，或yax軸、y軸坐標原點o(0,0)實軸長2a，虛軸長2bx軸、y軸坐標原點o(0,0)實軸長2a，虛軸長2b(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a訂注意a、b、c、e的幾何意義a叫做半實軸長；b叫做半虛軸長；c叫做半焦距；a、線b、c之間滿足c2a2be叫做橢圓的離心率，e張口就越大.c且ee越大，雙曲線的a實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e雙曲線的第二定義當

8、平面內(nèi)點m到一個定點f(c,0)(c0)的距離和它到一條定ca2直線lx的距離的比是常數(shù)e(e1)時，這個點的軌跡是雙曲線，定點是雙ac曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.直線與雙曲線位置關系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個公共點，除相切外還有當直線與漸進線平行時，也是一個公共點.x2y2共漸近線的雙曲線可寫成22(0)；abx2y221(b2a2).共焦點的雙曲線可寫成2ab第5頁共6頁盤點知識夯實基礎逐步提高4拋物線一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.注意當定點f在定直線l上

9、時，點的軌跡為過點f與直線l垂直的直線.二、拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)標準y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性頂點離心率注意p的幾何意義p表示焦點到準線的距離.2p表示拋物線的通徑（過焦點且垂直于軸的弦）.2若點m(x0,y0)是拋物線y2px(p0)上任意一點，則mfx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y軸y0y軸x軸(0,0)e1x軸(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.2若過焦點的直線交拋物線y2px(p0)于a(x1,y1)、b(x2,y2)兩點，則弦

10、長abx1x2p.第6頁共6頁擴展閱讀21-高中數(shù)學選修2-1知識總結(jié)-圓錐曲線與方程橢圓一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的定義可用集合語言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當2af1f2時，表示線段f1f2；當2af1f2時，軌跡不存在.二、橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)當橢圓焦點在x軸上時當橢圓焦點在y軸上時2標準方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)圖形范圍axa，bybaya，bxb對稱軸x軸、y軸x軸、y軸對稱中心坐標原點o(0,0)

11、坐標原點o(0,0)長軸、短軸長軸長2a，短軸長2b長軸長2a，短軸長2b頂點坐標(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦點坐標(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2離心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)a、b、c、e的幾何意義a叫做長半軸長；b叫做短半軸長；c叫做半焦距；a、b、c之間滿足a2b2ce叫做橢圓的離心率，eca且0e1，e可以刻畫橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.點p是橢圓上任一點，f是橢圓的一個焦點，則pfmaxac，pfminac.點p是橢圓上任一點，當點p在短軸端點位置時，f1pf2取最大值.當平面內(nèi)點m到一個定點f(c,

12、0)(c0)的距離和它到一條定直線lxa2橢圓的第二定義c的距離的比是常數(shù)eca(0e1)時，這個點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.三、點與橢圓位置關系p(xx2y2x22點0y00,y0)與橢圓a2b21(ab0)位置關系（1）點p(x0,y0)在橢圓內(nèi)a2b21（2）點p(xy22（3）點p(xx220y00,0)在橢圓上x0y0b210,y0)在橢圓外a2a2b21四、直線與橢圓位置關系（1）直線與橢圓的位置關系及判定方法位置關系公共點判定方法相交有兩個公共點0直線與橢圓方程首相切有且只有一個公共點0先應消去一個未知數(shù)得一元二次方程相離無公共點

13、0的根的判別式（2）弦長公式設直線ykxb交橢圓于p1(x1,y1),p2(x2,y2)則|pp12|1k2x1x2，或|pp12|11k2y1y2(k0).雙曲線一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.雙曲線的定義可用集合語言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當2af1f2時，表示分別以f1、f2為端點的兩條射線；當2af1f2時，軌跡不存在.二、雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)當雙曲線焦點在x軸上時當雙曲線焦點在y軸上時2標準方程xy21(a0,y2a2b

14、2b0)a2x2b21(a0,b0)圖形范圍xa，或xaya，或ya對稱軸x軸、y軸x軸、y軸對稱中心坐標原點o(0,0)坐標原點o(0,0)實軸、虛軸實軸長2a，虛軸長2b實軸長2a，虛軸長2b頂點坐標(a,0)(0,a)焦點坐標(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2漸近線xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx離心率eca(其中e1)eca(其中e1)a、b、c、e的幾何意義a叫做半實軸長；b叫做半虛軸長；c叫做半焦距；a、b、c之間滿足c2a2be叫做橢圓的離心率，eca且ee越大，雙曲線的張口就越大.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線為yx離心率ea2

15、雙曲線的第二定義當平面內(nèi)點m到一個定點f(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線lxc的距離的比是常數(shù)eca(e1)時，這個點的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.直線與雙曲線位置關系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個公共點，除相切外還有當直線與漸進線平行時，也是一個公共點.4拋物線一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.注意當定點f在定直線l上時，點的軌跡為過點f與直線l垂直的直線.二、拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形焦點坐標(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)準線方程xpppp2x2y2y2范圍x0x0y0y0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0,0