從簡約中走向豐富胡才千歐友松

1、從簡約中走向豐富幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與思考胡才千 歐友松 團(tuán)風(fēng)縣團(tuán)風(fēng)小學(xué) 438800 摘要 : 隨著全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）提出要注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育中的一個(gè)關(guān)注問題。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。本文從幾何直觀的本質(zhì)意義出發(fā)，探討如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，反思教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀應(yīng)注意的問題，讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從簡約中走向豐富。關(guān)鍵詞:幾何直觀；課程標(biāo)準(zhǔn)；本質(zhì)把握；培養(yǎng)能力；注意問題當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注新版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制訂與實(shí)施，關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革，而幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動(dòng)的

2、、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對(duì)幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！迸囵B(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，要充分利用幾何直觀來揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實(shí)在課程內(nèi)容之中、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中。使學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，同時(shí)也學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。要以保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀潛質(zhì)作為起點(diǎn)，以有效提升學(xué)生的幾何直觀能力作為目標(biāo)，最終形成敏銳的洞察力和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為此，我在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，

3、力從幾何直觀的本質(zhì)意義出發(fā)，就如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，進(jìn)行了有益的嘗試，對(duì)教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀應(yīng)注意的問題有了更多的思考。一、幾何直觀的本質(zhì)把握 對(duì)于何為“直觀”，可能有很多說法，但本質(zhì)基本相同。所謂直觀，現(xiàn)代漢語詞典2002版解釋是：用感官直接接受的；直接觀察的。對(duì)于數(shù)學(xué)直觀，數(shù)學(xué)家克萊因指出，“數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握”；而西方哲學(xué)家通常認(rèn)為“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)”；心理學(xué)家則認(rèn)為“直觀是從感覺的具體的對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動(dòng)，是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別

4、或猜想的心理狀態(tài)。徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對(duì)自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。綜上，我們認(rèn)為直觀要體現(xiàn)兩點(diǎn)：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)，可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢(shì)。幾何直觀是指借助于見到的或想象出來的幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，即空間形式和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。既有形象思維的簡約，又有抽象思維的豐富。二、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力20世紀(jì)最偉大數(shù)學(xué)家希爾伯特

5、（Hilbert）在名著直觀幾何一書中談到，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。我國拓?fù)鋵W(xué)家張素誠曾說過：“對(duì)數(shù)學(xué)中的許多問題來說，靈魂往往來自幾何?！睅缀渭ぐl(fā)學(xué)生這種“靈感”，首先教師自身在教學(xué)中只要在有可能的地方，盡量借助幾何直觀分析講解，這樣既能逐步培養(yǎng)學(xué)生在解決問題中具有借助幾何直觀解決問題的意識(shí)，又能為學(xué)生創(chuàng)造便于用幾何直觀去尋找解題方法的條件。小學(xué)生的思維水平只處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡，離不開具體事物的支持。標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀

6、可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！睘榇?，對(duì)于在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，我從以下幾方面進(jìn)行了嘗試，收到了良好的效果。（一）識(shí)圖中感知幾何直觀。幾何直觀是借助圖形對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，那么對(duì)圖形的學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)以及運(yùn)用圖形的意識(shí)和能力就是幾何直觀的基礎(chǔ)了。教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的基本生活經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)歷，注重引導(dǎo)學(xué)生把生活中對(duì)圖形的感受與有關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系。如在教學(xué)線段、射線、直線一課時(shí)，通過展示科學(xué)家用激光器發(fā)送到月球的一束激光圖片，視覺上給學(xué)生直觀的認(rèn)識(shí)，引出射線是一條線段將它的一

7、端無限地延長所形成的圖形。讓學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)射線的特點(diǎn)，尤其射線是一個(gè)理想化的概念，幾何直觀的感受凸顯的更加重要。日常教學(xué)中要多采用學(xué)生喜愛的“看一看、擺一擺、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、畫一畫”等具體、實(shí)際的活動(dòng)方式，引導(dǎo)學(xué)生通過親自觸摸、觀察、測(cè)量、制作和實(shí)驗(yàn)，把視覺、聽覺、觸覺、動(dòng)覺等協(xié)同起來，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動(dòng)的內(nèi)化，從而使學(xué)生掌握?qǐng)D形特征，更好地感知幾何直觀。（二）畫圖中培養(yǎng)幾何直觀。幾何直觀在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力，通過畫圖可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的畫圖興趣，促進(jìn)幾何直觀能力的發(fā)展，是十分重要的。

8、數(shù)學(xué)興趣是推動(dòng)學(xué)生不懈追求的一種內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，而畫圖興趣則是幾何直觀教學(xué)的載體。教學(xué)中要善于啟發(fā)和創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的畫圖興趣，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。如在教學(xué)二年級(jí)幾倍一課時(shí)，創(chuàng)設(shè)游玩動(dòng)物園的情景：動(dòng)物園里有6頭小獅子，2頭大獅子，小獅子的頭數(shù)是大獅子的幾倍？讓學(xué)生嘗試用自己喜歡的圖形畫一畫，來表示6是2的幾倍？然后再匯報(bào)展示，如下：通過畫圖，學(xué)生很直觀地看出6里面有3個(gè)2，也就是說6是2的3倍，這樣為抽象的倍的概念建立了具體形象的表象，理解起來輕松很多，以后在學(xué)習(xí)較復(fù)雜的“和倍、差倍”問題時(shí)，學(xué)生會(huì)很容易想到畫直觀圖幫助解決問題。課上通過用自己喜歡的方式畫圖，激發(fā)了孩子畫圖的興趣，并抓住教學(xué)

9、契機(jī)讓學(xué)生展示自己的作品，說出自己的想法，及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)鼓勵(lì)，激發(fā)學(xué)生作圖的熱情。在日常教學(xué)中，我還采取了一系列的措施，來激發(fā)學(xué)生的畫圖興趣：比如上課時(shí)讓學(xué)生在黑板上畫圖，然后師生共同評(píng)析，看哪個(gè)同學(xué)畫得好，優(yōu)點(diǎn)在哪里，存在哪些毛病；印發(fā)常見的基本直觀圖給學(xué)生，讓學(xué)生反復(fù)觀摩，然后再畫出來；課外組織學(xué)生進(jìn)行“畫直觀圖比賽”。這些措施激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到規(guī)范作圖的重要性，增強(qiáng)了學(xué)生的作圖能力。在日常的教學(xué)中，要幫助學(xué)生從小養(yǎng)成良好的畫圖習(xí)慣。首先，要通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)畫圖對(duì)理解概念、尋求解決思路帶來的益處。其次，要求學(xué)生解決問題時(shí)能畫圖的盡量畫圖，將相對(duì)抽象的思考

10、對(duì)象“圖形化”，盡量把數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維。再次，要讓學(xué)生規(guī)范畫圖，能準(zhǔn)確直觀的表達(dá)題意。例如關(guān)于求面積的問題，關(guān)鍵要使學(xué)生想到畫圖、正確畫圖、用圖分析和體驗(yàn)畫圖解決問題的好處。首先向?qū)W生呈現(xiàn)例題：一塊正方形試驗(yàn)田，如果長和寬都增加5米，面積將比原來增加875平方米。原來試驗(yàn)田的面積是多少平方米？面對(duì)比較難理解的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生想到用畫圖的方法來解決。接著鼓勵(lì)學(xué)生嘗試畫示意圖，讓學(xué)生的思維集中于用畫圖來表達(dá)題意，并通過師生交流，進(jìn)一步完善畫出的示意圖（如下圖所示：注意邊長比例，增加的長度用虛線表示，標(biāo)出數(shù)據(jù)），使學(xué)生感受到畫圖能清楚地理解題意。5米5米 (875-55

11、)25 =(875-25) (25) ? b =85010 =85（米） 8585=7225（平方米） a c 答：原來試驗(yàn)田面積是7225平方米。然后借助示意圖分析數(shù)量關(guān)系，明確增加面積為a、b、c三部分面積之和，并且a與b面積相等，再列式解答。最后回顧整個(gè)解題的過程，突出示意圖對(duì)解決有關(guān)面積問題的重要作用，感受畫圖策略的價(jià)值。畫圖可以通過圖形的直觀性質(zhì)來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡捷明了，還開拓解題思路，讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣，不但可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)結(jié)論，而且有利于掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，使數(shù)學(xué)從簡

12、約中走向豐富。（三）數(shù)形結(jié)合中發(fā)展幾何直觀。華羅庚先生的談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題一書中，有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”這首詞形象生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值。其實(shí)質(zhì)是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形與直觀圖像結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而順利、有效地解決問題。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)特別注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，從而更好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。1、在低年級(jí)運(yùn)算教學(xué)中，借助

13、數(shù)射線將抽象的“數(shù)”直觀形象化，有助于理解運(yùn)算，將運(yùn)算直觀形象化。例如：“加法”就是在數(shù)射線上繼續(xù)向右數(shù)；“減法”就是在數(shù)射線上先找到“被減數(shù)”，然后再向左數(shù)；“乘法”就是在數(shù)射線上幾個(gè)幾個(gè)地向右數(shù)；“除法”就是在數(shù)射線上先找到“被除數(shù)”，然后向左幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)，如果恰好數(shù)到“0”，就是除盡，數(shù)了幾次，商就是幾，當(dāng)不能恰好數(shù)到“0”，就產(chǎn)生了余數(shù)，數(shù)射線是理解“有余數(shù)除法”的形象化載體。2、在解決問題教學(xué)中，借助線段圖將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象化，有助于理解抽象的數(shù)量關(guān)系。例如教學(xué)四年級(jí)第二學(xué)期解決問題中“增加幾倍、增加到幾倍”一課時(shí)，探究：小胖帶了3個(gè)蘋果，把小胖的蘋果增加到3倍是幾個(gè)蘋果？引導(dǎo)

14、學(xué)生借助線段圖來分析數(shù)量關(guān)系，明確增加到3倍就是原數(shù)的3倍，再列式解答，最后結(jié)合算式和線段圖說說解題思路。 列式：3 3 = 9（個(gè)） 答：把小胖的蘋果增加到3倍是9個(gè)蘋果。3、在分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算的教學(xué)中，借助“面積模型”將抽象的思維過程直觀形象化，有助于對(duì)分?jǐn)?shù)意義的透徹理解，既知其然又知其所以然。如在四年級(jí)分?jǐn)?shù)的大小比較一課中，充分利用分?jǐn)?shù)的直觀圖（圖1），將數(shù)與形結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)比較分子相同的分?jǐn)?shù)的大小時(shí)，分母小的分?jǐn)?shù)就大；在分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算一課中，借助分?jǐn)?shù)直觀圖（圖2）理解同分母分?jǐn)?shù)相加，分母不變，分子相加，從而更直觀的理解分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。 圖1 圖2 利用數(shù)形結(jié)合的方法，將許多抽象的數(shù)學(xué)概

15、念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，使學(xué)生表象清晰，記憶深刻，是形象思維與抽象思維協(xié)同應(yīng)用的一種過程，為發(fā)展幾何直觀開辟了條重要的途徑。（四）運(yùn)用模型和多媒體信息技術(shù)豐富幾何直觀。借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。模型可以讓學(xué)生直接接觸到幾何的知識(shí)，直觀而有效。如在教學(xué)“圓柱的認(rèn)識(shí)”時(shí)，直接出示薯片包裝盒、水杯等實(shí)物，給學(xué)生造成強(qiáng)烈的視覺沖擊，圓柱的基本特征映入眼簾，一覽無遺。多媒體輔助教學(xué)是運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)有機(jī)結(jié)合的一種教學(xué)方式，它可以把抽象的知識(shí)通過形、聲、情、意形象化，讓學(xué)生直觀感知和理解數(shù)學(xué)問題，有利于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀

16、能力。因此，教學(xué)中要深入淺出、化難為易、運(yùn)用多媒體給學(xué)生提供一些具體的、生動(dòng)的直觀材料做支柱。如在“認(rèn)識(shí)直線”教學(xué)中，通過多媒體演示，直線是將一條線段的兩端無線延長所形成的圖形。這樣利用多媒體化虛為實(shí)、化抽象為具體、化模糊為清晰、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)的特殊功能為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了直觀例證，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生多種感官的協(xié)同參與，不僅給學(xué)生滲透了極限思想，而且豐富了學(xué)生的幾何直觀?？傊?，幾何直觀的培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，通過對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式，以促進(jìn)學(xué)生能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，讓學(xué)生的幾何直觀能力從簡約的圖形中走向豐富的 數(shù)學(xué)思考。三、運(yùn)用幾何直觀應(yīng)

17、注意的問題。幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路和預(yù)測(cè)結(jié)果。蘇霍姆林斯基在給教師的建議一書談?wù)勚庇^性問題中，寫到物體的直觀形象本身，也可能把學(xué)生的注意力吸引住一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間，但是運(yùn)用直觀性的目的絕不是為了整節(jié)課地抓住學(xué)生的注意不放。在課堂上引進(jìn)直觀手段，倒是為了在教學(xué)的某一個(gè)階段上使兒童擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規(guī)律性上去。因此，在教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀時(shí)應(yīng)該注意一些問題，從而更好的發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。首先，要適時(shí)運(yùn)用幾何直觀。在教學(xué)中常常會(huì)遇到一些出乎預(yù)料的情況，就是直觀教具以其某一個(gè)細(xì)節(jié)束縛住了學(xué)生的注意力，不僅沒有幫助反而妨礙了學(xué)生去思考老師

18、本來想引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎嫉某橄笳胬怼缀沃庇^應(yīng)當(dāng)使學(xué)生把注意力放在最主要、最本質(zhì)的東西上去。其次，要適度運(yùn)用幾何直觀。在運(yùn)用幾何直觀時(shí)，必須考慮到怎樣由具體過渡到抽象，直觀手段在教學(xué)的哪一個(gè)環(huán)節(jié)上將是不再需要的，那時(shí)學(xué)生已經(jīng)不應(yīng)當(dāng)把注意力放在直觀手段上。幾何直觀只是在促進(jìn)思維積極化的一定階段上才是需要的。第三，要準(zhǔn)確運(yùn)用幾何直觀。在運(yùn)用幾何直觀的實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生往往由于畫圖不準(zhǔn)確、討論不全面、理解片面等原因?qū)е鲁鲥e(cuò)，或有一定的誤差干擾，失去數(shù)學(xué)問題原有的科學(xué)性與嚴(yán)密性。因此教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生掌握畫圖技巧，準(zhǔn)確運(yùn)用幾何直觀解決問題。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。“刪繁就簡三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花”，要讓簡約的幾何直觀真正充滿張力，成為師生生命成長的棲息地，要讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從幾何直觀中的簡約中，真正走向更為深刻的思維價(jià)值的豐富，還需要我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)實(shí)踐中不斷地思考和探索。參考文獻(xiàn)：1中華人民共和國教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）M.北京：北京師范大學(xué)出