運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件

1、摘要本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題目:運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件東（部） 學(xué)科門類專 業(yè)學(xué) 號姓 名 指導(dǎo)教師職 稱年 月目運用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件摘要嫡判據(jù)是討論熱力學(xué)系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)的最基本判據(jù)，但在實際熱力學(xué)過程中可以 引入其它判據(jù)進行討論。本文探討了系統(tǒng)在熠和體積不變時，由內(nèi)能判據(jù)出發(fā)，再結(jié)合雅 克比行列式，詳細推證了平衡穩(wěn)定性條件。該方法條理清楚，步驟簡明，便于理解。關(guān)鍵詞：端判據(jù) 內(nèi)能判據(jù) 雅克比行列式 平衡穩(wěn)定性條件abstractentiopy ciitenon is the most basic ciiterion in discussmg the equil

2、ibrium state of thennodynamic system, but we can uitroduce other ciitenon fbr discussion ui the actual theimodynamic process. tlus essay discusses the requirement fbr a system to reacli a equilibnum stability in detail. the discussion is in condition of constant entropy and volume, and on the basis

3、of the internal eneigy cntenon and the jacobian. this method is clear, concise, and easy to master.key words: entropy cntenon mtenial eneigy ciitenon jacobian the equilibnum stabilitycondition目錄目錄1引言12系統(tǒng)的平衡判據(jù)12. 1熠判據(jù)12.2內(nèi)能判據(jù)23平衡的穩(wěn)定性條件24雅克比行列式44.1 定義44.2 表達式及相關(guān)內(nèi)容45由內(nèi)能判據(jù)推證系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件5結(jié)論8參考文獻9致謝10畢業(yè)論文（設(shè)

4、計）1引言經(jīng)典熱力學(xué)是建立在系統(tǒng)處于平衡態(tài)基礎(chǔ)上的，因此，研究某一個實際系統(tǒng)，分析它 是否處于平衡態(tài)具有極其重要的實踐意義。熱力學(xué)系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù), 實際情況中要依據(jù)系統(tǒng)所處的條件而采用相應(yīng)的平衡判據(jù)，得到系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn) 定性條件,用來判斷某一個理論過程的各個狀態(tài)是否真實存在。如圖所示：ou范魯瓦爾斯等溫圖在由氣體的范德瓦爾斯方程畫出的等溫線圖中，利用平衡穩(wěn)定性條件可以判斷其中ab 段曲線是不存在的，與實驗所得出的結(jié)果不相符，這也正說明了范德瓦爾斯氣體方程理論 上有很大的缺陷性。另外研究平衡體系的穩(wěn)定條件,在生產(chǎn)實踐中也具有較高的實際應(yīng)用 價值，可以解決諸如合金、高分

5、子、溶液等的至關(guān)重要的穩(wěn)定性問題。在熱力學(xué)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的平衡條件與平衡穩(wěn)定性條件一般都是由熠判據(jù)推導(dǎo)出來的。 熠判據(jù)是最基本的平衡判據(jù)，它只適用于孤立的系統(tǒng)。在實際情況中遇到的特定物理條件 下，應(yīng)用其它判據(jù)比較方便，且其對應(yīng)的平衡判據(jù)也是唯一的。當系統(tǒng)的皤和體積不變時, 可以用內(nèi)能判據(jù)推證平衡穩(wěn)定性條件。熱力學(xué)理論中關(guān)系式的證明與推導(dǎo)離不開數(shù)學(xué)手段和方法，而且采用不同的數(shù)學(xué)手段 與方法總會得到異曲同工的效果。其中，應(yīng)用雅克比行列式可以解決熱力學(xué)關(guān)系式的證明 及其熱力學(xué)函數(shù)中一階偏導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換問題，可以簡化推導(dǎo)步驟，易于掌握。需要說明的是, 在推導(dǎo)平衡穩(wěn)定性條件時并不是所有的函數(shù)判據(jù)都可用此法推導(dǎo)

6、，它只適用于用兩個廣延 量為變量表述的函數(shù)判據(jù)，而內(nèi)能判據(jù)符合這一條件。因此，本文將由內(nèi)能判據(jù)出發(fā)，再 結(jié)合雅克比變換的方法詳細推證系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件。2系統(tǒng)的平衡判據(jù)熱力學(xué)系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù)，如在內(nèi)能和體積不變時有燧判據(jù)，端 和體積不變時有內(nèi)能判據(jù)，等溫等壓條件下有吉布斯函數(shù)判據(jù)，等嫡等壓條件下有熠判據(jù), 等溫等容條件下有自由能判據(jù)等。本文將主要介紹燧判據(jù)和內(nèi)能判據(jù)。2.1熠判據(jù)在熱力學(xué)中，嫡增加原理表明，孤立系統(tǒng)的嫡永不減少。孤立系統(tǒng)中發(fā)生的趨向平衡 畢業(yè)論文（設(shè)計）的過程，一定沿著嫡增加的方向進行。當孤立系統(tǒng)的端增加到極大值時，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì) 不再發(fā)生變化，這時系統(tǒng)就達

7、到了平衡狀態(tài)。在判定孤立系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時可以利用 熠函數(shù)這一性質(zhì)，即為燧判據(jù)。在體積和內(nèi)能不變時，圍繞某一狀態(tài)發(fā)生的各種變動所導(dǎo)致的嫡變as0,那么這一 狀態(tài)的焰就具有極大值，其所處的平衡狀態(tài)也是穩(wěn)定的。由數(shù)學(xué)知識可知鑒=o, *50 時，嫡函數(shù)有極大值，由方二o可以導(dǎo)出平衡條件，由*so可以導(dǎo)出平衡穩(wěn)定性條件。2. 2內(nèi)能判據(jù)根據(jù)熱力學(xué)基本微分方程duka/s-pc/v可知，若ds = 0, c/v = 0時，則c/u 0,即為平衡條件 和平衡的穩(wěn)定性條件。3平衡的穩(wěn)定性條件由于不同的熱力學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件有不同的形式，下面 以孤立系統(tǒng)為例，根據(jù)燧判據(jù)分析系統(tǒng)平衡

8、的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件。假設(shè)某一孤立系統(tǒng)由兩部分組成，設(shè)匕、u乂和匕、u2. n?分別表示兩部分的體 積、內(nèi)能和粒子數(shù)。令：(1)s1=s(q,匕，nj s, =s,(u、，匕，n,)設(shè)系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動可、刻、n、必、電、胡二，則有:-9-(2)(3)(4)二 l 犯1+7 i tt, 1四+以=0 皿+距=0 朔+取=0 由焰平衡判據(jù)可知，主平衡態(tài)時系統(tǒng)加燃取極大值，即：貳=況|+8，=0(5)x一32s =0(6)x.把(2)式、(3)式代入(5)式：= f w=0(7)1( tj 7； t2)7； rj因為虛變動均為任意，要使（7）式成立，則有： =12p1=p?氏=zz2即

9、熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學(xué)勢相同。對于粒子數(shù)不變的孤立系統(tǒng)，有：s = s（u）,將其展開到二級項，有:s =dsdu漢/+vdu2)2 +2v6usv +d2 sdv= 8 + 5”結(jié)合（9）式，由（6）式得:會口犯八2（募即得:d2s前00r+0-sdudv因為uw可以任意的變化，為使上式能夠成立，則須滿足:d2s八r 0 o假設(shè)某一均勻孤立系統(tǒng)，焙為s,體積為v,內(nèi)能為u,粒子數(shù)為n,將其分為兩部分, 匕、nrs和匕、u、n,、s,分別表示兩部分的體積、內(nèi)能、粒子數(shù)和嫡，則應(yīng)滿足:u+u、=u v1+k =v m+m =n（1）.x4*x設(shè)系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動可、叫、歌

10、、8、以、漢a、sn、，則有:風(fēng) + 必=0=0亂0,則：3-2仁，產(chǎn))+2以卜皿+ (2對此系統(tǒng),有特性函數(shù)t = t(sw),則：燈=)w + f 嗎 wds)v dv)s將(噂j =r代入上式，得：0吧(包在ds2 ) dvds j則：吁謂明“第思hi有：卜皿+愕(8)0(9)空( r (10)dsdv )7畢業(yè)論文(設(shè)計)-#-結(jié)合(10)式，(9)式可變?yōu)?(12)(13)結(jié)合償?shù)?式可變?yōu)?(14)以上的推證過程與許多優(yōu)秀教材中的過程相比，思路清嘶，通俗易懂。為使推導(dǎo)的步 驟更加簡潔明了，下面本文將依據(jù)內(nèi)能判據(jù)，結(jié)合雅克比行列式推證平衡穩(wěn)定性條件結(jié)合(12)式，(13)式可變?yōu)?d

11、2u (d2ud2u dsdv 0利用雅克比行列式定義將上式變?yōu)?叫 fd2ud(s,v)(15)畢業(yè)論文（設(shè)計）由熱力學(xué)基本方程du = tds-p”得:du結(jié)合（2二=丁，代入（15）式，得:i s ）v斷,-尸)、0(s,v)利用雅克比行列式性質(zhì)得：d（t-p）_ d（t-p）d（t,v）_ （ 6p （ 67 d（s,v）= 6（tw）d（s,d = dv）tds）v0即得:-13-綜上可得，系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件即為:cv 0 及dp)t0 及dpdv0/t否則系統(tǒng)平衡狀態(tài)很難維持穩(wěn)定。該方法條理清楚，步驟簡明，便于理解。參考文獻1馬本坤，高尚惠，孫煌.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)小.北京：高等

12、教育出版社，1986.2汪志誠.熱力學(xué)統(tǒng)計物理學(xué)m.北京：高等教育出版社，1980.3龔昌德.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)m.北京：高等教育出版社，1982.4王竹溪.熱力學(xué)m.北京：高等教育出版社，1955年9月第一版.5孫延.防論平衡態(tài)的均勻系的體積無償自發(fā)收縮不可能j.鄭州工學(xué)院學(xué)報，1986年第二期.l6倪致祥.一個統(tǒng)計物理問題的多種解法j.大學(xué)物理，2000年11期.7言經(jīng)柳.巨正則系綜的最可幾統(tǒng)計法j.廣西物理，1998年04期.8潘宏利.耗散結(jié)構(gòu)靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)研究j.漢中師范學(xué)院學(xué)報，1999年06期.9任亞杰.熱力學(xué)系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性條件的研究j.首都師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2001年0

13、4 期.10張凱莉，朱孟正，尹新國.力學(xué)系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件的研究j.科技資訊，2012.11肖波齊，林紫霞，蔣國平.運用3種判據(jù)推導(dǎo)熱力學(xué)系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性條件j.華南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2010年01期.12呂依穎.熱力學(xué)系統(tǒng)平衡判據(jù)和平衡穩(wěn)定條件推導(dǎo)的研究j.魯東大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2012, 28 （2）: 126-128.13穆軼.雅克比行列式在平衡穩(wěn)定性條件中的應(yīng)用j.四川師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008, 31（4） : 487-190.14曾丹苓.復(fù)相系平衡條件及平衡穩(wěn)定性條件的分析j.工程熱物理學(xué)報，1996年01期.15周貴興.熱力學(xué)平衡判據(jù)的穩(wěn)定條件j,紡織基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報，1990年04期.致謝經(jīng)過半年的忙碌和工作，畢業(yè)論文的寫作已經(jīng)接近尾聲，作為一個本科生，由于經(jīng)驗 的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有導(dǎo)師的督促指導(dǎo)，想要順利完成論文是 難以想象的。在這里首先要感謝我的導(dǎo)師。老師雖然工作繁忙，但在我從論文選題到