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文檔簡介
1、陳紀(jì)修教授數(shù)學(xué)分析九講學(xué)習(xí)筆記與心得云南分中心昆明學(xué)院周興偉此次聽陳教授的課,收益頗多。陳教授的這些講座,不僅是在教我們?nèi)绾翁幚頂?shù)學(xué)分析中一些教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn),更是幾堂非常出色的示范課。我們不妨來溫習(xí)一下。第一講、微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史法國著名的數(shù)學(xué)家h.龐加萊說過: “如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來,適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀?!蹦敲矗绻阋獙W(xué)好并用好數(shù)學(xué)分析 ,那么,掌故微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史是非常必要的。陳教授就是以這一專題開講的。在學(xué)校中,我不僅講授數(shù)學(xué)分析 ,也講授數(shù)學(xué)史,所以我非常贊同陳教授在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的想法,這應(yīng)該也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑。在這一講中
2、, 陳教授脈絡(luò)清晰,分析精當(dāng), 這是我自嘆不如的。講數(shù)學(xué)史也有些年頭,但僅滿足于史料的堆砌, 沒有對一些精彩例子加以剖析。 如陳教授對祖暅?zhǔn)侨绾斡?“祖暅原理”求出球的體積的分析,這不僅對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是有益的(以疑激趣、以奇激趣) ,而且有利于提高學(xué)生的民族自豪感(陳教授也提到了這一點(diǎn))。在這一講中,陳教授對 weierstrass的“ - n”、“ - ”語言的評述是“它實(shí)現(xiàn)了靜態(tài)語言對動態(tài)極限過程的刻畫” 。這句話是非常精當(dāng)?shù)模绻庾R不到這一點(diǎn),你就很難理解這一點(diǎn)。在此我還想明確一點(diǎn): 數(shù)學(xué)分析的研究對象是函數(shù),主要是研究其分析性質(zhì),即連續(xù)性、可微性及可積性,而使用的工具就是極限。
3、如果仔細(xì)盤點(diǎn)一下,在數(shù)學(xué)分析中,無論是數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)列,數(shù)項(xiàng)級數(shù),函數(shù)項(xiàng)級數(shù)等相關(guān)問題,無不用到這一語言,你應(yīng)該能理解陳教授的“對于數(shù)學(xué)類學(xué)生來說,沒有“ - n”、“ - ”語言,在數(shù)學(xué)分析中幾乎是寸步難行的”這一觀點(diǎn)。第二講、實(shí)數(shù)系的基本定理在這一講中,陳教授從實(shí)變函數(shù)中對集合基數(shù)的討論展開,對實(shí)數(shù)系的連續(xù)性作了有趣的討論。首先是從紳士開 party 的禮帽問題,帶我們走進(jìn)了“無窮的世界”。我在開數(shù)學(xué)賞析時有一個專題就是“無窮的世界” ,我給學(xué)生講禮帽問題、也講希爾伯特?zé)o窮旅館問題, 但遺憾的是,當(dāng)我剖析 “若無窮旅館住滿了人,再來兩個時,可將住號房間的移往號房間, 住號房間的移往號
4、房間, 從而空出兩個房間”時,學(xué)生對我“能移”表示懷疑。這一點(diǎn)我往往只能遺憾的說“跳不出有限的圈子,用有限的眼光來看無限,只能是只在此山中,云深不知處”。當(dāng)然,我還是會進(jìn)一步考慮如何來講好這一講。 若陳教授或其他老師有好的建議,能指點(diǎn)一下,則不勝感激。對于集合 0,1 與 (0,1)的對等關(guān)系,包括 q 與的對等關(guān)系,或者說他們之間雙射的構(gòu)造。關(guān)鍵在于“求同存異” ,找一個可數(shù)集來“填補(bǔ)”他們之間的差距,這相當(dāng)于希爾伯特?zé)o窮旅館問題中來了兩個人和來了可數(shù)個人。對于實(shí)數(shù)集中的有理數(shù), “廖若晨星”是非常形象的描述。一聲集合的哨響,我們發(fā)現(xiàn), 有理數(shù)在實(shí)數(shù)軸上幾乎是沒有位置的 ( mq=0),用一
5、系列的帽子來蓋住這些點(diǎn),而這些帽子的大小是,這是非常精彩的結(jié)果。從可數(shù)集到不可數(shù)集,再加上無最大基數(shù)定理,讓我們看到了“無窮的層次性”,由此我們不難理解“人外有人,天外有天,無窮之外有無窮” 。我們不能不發(fā)出“哀吾生之須臾,羨長江之無窮”的感慨。陳教授對單調(diào)確界原理的證明非常清晰明了,幾何直觀的描述形象直觀。第三講數(shù)學(xué)分析課程中最重要的兩個常數(shù)法國著名雕塑家羅丹曾經(jīng)說過“生活中從不缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”。我想說:“數(shù)學(xué)中并不缺少美,缺少的是揭示數(shù)學(xué)美的老師” 。陳教授是一個出色的老師,他不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美,而且為我們展示了數(shù)學(xué)的美。著名的歐拉公式: e i10 ,實(shí)現(xiàn)了有理數(shù)、無理數(shù)、
6、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)完美統(tǒng)一,獲得 “最美的數(shù)學(xué)定理 ”稱號。歐拉建立了在他那個時代,數(shù)學(xué)中最重要的幾個常數(shù)( 0,1,i ,e, )之間的絕妙的有趣的聯(lián)系,被認(rèn)為是數(shù)學(xué)奇異美的典例。在本講中,陳教授以李大潛院士訪問法國“引入”的一個有趣例子開講,讓我們體會了數(shù)學(xué)中的美, 這個不等式還有許多有意思的地方, 無論是不等式的形式,還是他的證明,都非常深刻地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。 pi 是無理數(shù)的證明,吸引了與會學(xué)員的眼球,贊嘆之余,有學(xué)員問這一證法的出處,我也還真想知道,請陳教授不吝指教。本講最后將函數(shù) sinx/x 展成無窮乘積形式,并妙用此形式求出p 級數(shù)中 p 為偶數(shù)值時的和,對我而言是耳目一新的。
7、 在我記憶中好像菲爾金哥爾茨的 微積分學(xué)教程 (第二卷 )中也有求出的方法,而 p 為奇數(shù)的情形好像至今尚未解決。對 p=2 的情形,歐拉至少用兩種方法得到結(jié)果,其中一種方法妙用了 lhospital 法則 (數(shù)學(xué)譯林 09.3)。第四講級數(shù)與反常積分收斂的a.d 判別法恰逢這個學(xué)期講數(shù)學(xué)分析 (3) ,在講授含參變量反常積分時,先復(fù)習(xí)了反常積分,再復(fù)習(xí)了函數(shù)項(xiàng)級數(shù),并將幾個判別法列表比較,尤其是a.d 判別法,能與陳教授不謀而合,真是倍感榮幸。陳教授對 abel 引理的直觀刻畫,也是深得學(xué)員好評。我對陳教授從 abel 引理分析 anbn 收斂條件的分析而得到 dilichlet 判別法和
8、abel 判別法的相關(guān)條件深感佩服,尤其是分析得絲絲入扣。第五講函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與含參變量反常積分的一致收斂一致收斂性無疑是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念。陳教授對“點(diǎn)點(diǎn)收斂”與“一致收斂” 的剖析是非常到位的, 學(xué)生在學(xué)習(xí)時如果是只能注意到在定義的陳述“ x”的位置不相同,而不明其所以時,這樣的教學(xué)肯定是失敗的。陳教授例子選擇精當(dāng),語言使用精辟,問題分析精準(zhǔn)。請注意陳教授的這句話: “毛病出在點(diǎn)態(tài)收斂的情況下,在某些點(diǎn)附近, n 無法控制”(類似的話在第九講中說過) 。第六講weierstrass 函數(shù):處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)陳教授分析了為何在 weierstrass之前的數(shù)學(xué)家不能構(gòu)造出這樣的函數(shù)。
9、 原來在此之前,數(shù)學(xué)家們所掌握的函數(shù)是不足以構(gòu)造出這樣的函數(shù)的。weierstrass在 1872 年構(gòu)造出了如下處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù):ansin(b nx)0a11陳教授選用 1930 年 van der waerden給出的例子進(jìn)行了剖析。 所講自是精當(dāng),本人很是受益。第七講條件極值問題與lagrange 乘數(shù)法本講陳教授從一個幾何問題入手,得到一個條件極值問題。考慮了條件極值的必要條件,引入 lagrange 乘數(shù)法,化條件極值問題為無極條件極值問題。這部分內(nèi)容中,本人認(rèn)為幾何解釋最有啟發(fā)性。對于具體使用 lagrange 乘數(shù)法的例子中,如何解方程組,陳教授給了很好的建議。第二個例
10、子,即求平面 x+y+z=0 與橢球面 x2+y2+4z2 =1 相交而成的橢圓面積。這個例子我很喜歡,只可惜不能用來做期末考題(不要問我為什么! )。第八講重積分的變量代換本講陳教授從定積分的換元的計(jì)算公式分析入手,對二重積分的相應(yīng)的代換公式作出類比猜想(在教學(xué)中注重滲透數(shù)學(xué)思想方法,如此妙哉?。┰僮鞣治?,然后得出代換公式。為證明代換公式,陳教授引入本原映射,化“矩形”為“梯形” ,化變換 t 為兩個本原變換的復(fù)合,實(shí)現(xiàn)了化復(fù)雜為簡單,化困難為容易。第九講數(shù)學(xué)分析課程中的否定命題數(shù)學(xué)分析教學(xué)中,說說“反話”很重要?。ㄕ埐灰`解?。﹥蓚€命題 a 與 b 如果既不能同時成立, 也不能同時不成立,
11、 就稱 a 與 b 互為否定命題 。若 a與 b 互為否定命題,則 a 與 b 一定滿足:一個成立,另一個必然不成立;一個不成立,另一個必定成立。 (廢話!)有界與無界、收斂于 a 與不收斂于 a、收斂與不收斂、(注意前邊兩對的區(qū)別?。?、可導(dǎo)與不可導(dǎo)、 cauchy 收斂準(zhǔn)則及其否定命題,等等。這些“反話”不說,大量的題做不了。我在講數(shù)學(xué)分析 (1)時會有一講(幾個概念的否定敘述)就是來講否定命題的。陳教授在這部分的例子非常好,分析得也清楚!陳教授的九講,給了我們太多的啟示:一、在我們的教學(xué)中, 不僅要教其所以然, 而且要教其所以然。 陳教授的這九講,應(yīng)該是我們講授數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典案例,當(dāng)然,我們不一定是講這一些內(nèi)容!正確的思想從哪里來,是從天上掉下來的嗎?不是!二、在我們的教學(xué),不僅要傳授知識,而且要傳授思想方法,也就是教學(xué)中要注重思想方法的滲透。
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