直線與圓錐曲線的綜合問題[稻谷書屋]

1、第32練直線與圓錐曲線的綜合問題題型分析高考展望本部分重點(diǎn)考查直線和圓錐曲線的綜合性問題，從近幾年的高考試題來看，除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外，在填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來.本部分的主要特點(diǎn)是運(yùn)算量大、思維難度較高，但有時(shí)靈活地借助幾何性質(zhì)來分析問題可能會(huì)收到事半功倍的效果.預(yù)測(cè)在今后高考中，主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題，有時(shí)會(huì)與向量的共線、模和數(shù)量積等聯(lián)系起來；對(duì)于方程的求解，不要忽視軌跡的求解形式，后面的設(shè)問將是對(duì)最值、定值、定點(diǎn)、參數(shù)范圍的考查，探索類和存在性問題考查的概率也很高.?？碱}型精析題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用例1(1)(

2、2015福建改編)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若AFBF4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是_.(2)設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為1 (b0)，其離心率為.求橢圓M的方程；若直線l過點(diǎn)P(0,4)，則直線l何時(shí)與橢圓M相交？點(diǎn)評(píng)對(duì)于求過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一是利用方程的根的判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為零；二是利用圖形來處理和理解；三是直線過定點(diǎn)位置不同，導(dǎo)致直線與圓錐曲線的位置關(guān)系也不同.變式訓(xùn)練1已知橢圓C：1(ab0)的焦距為4，且過點(diǎn)P(，).(1

3、)求橢圓C的方程；(2)設(shè)Q(x0，y0)(x0y00)為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E.取點(diǎn)A(0,2)，連結(jié)AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D.點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.題型二直線與圓錐曲線的弦的問題例2設(shè)橢圓C：1 (ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且焦距為6，點(diǎn)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，PF1F2的周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線l被橢圓C所截得的線段中點(diǎn)的坐標(biāo).點(diǎn)評(píng)直線與圓錐曲線弦的問題包括求弦的方程，弦長(zhǎng)，弦的位置確定，弦中點(diǎn)坐標(biāo)軌跡等問題，解決這些

4、問題的總體思路是設(shè)相關(guān)量，找等量關(guān)系，利用幾何性質(zhì)列方程(組)，不等式(組)或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，使問題解決.變式訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)A，B為橢圓C上滿足AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)t，求實(shí)數(shù)t的值.高考題型精練1.(2015北京)已知橢圓C：x23y23，過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x3交于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的離心率；(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；(3)試判斷直線BM與直

5、線DE的位置關(guān)系，并說明理由.2.如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0，0)，焦點(diǎn)為F(0,1).(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn).若直線AO、BO分別交直線l：yx2于M、N兩點(diǎn)，求MN的最小值.3.(2015南京模擬)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c0)到直線l：xy20的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求AFBF的最小值.4.已知點(diǎn)A，B是拋物線C：y22px (p0)上不同的

6、兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線C的準(zhǔn)線l上，且焦點(diǎn)F到直線xy20的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)現(xiàn)給出以下三個(gè)論斷：直線AB過焦點(diǎn)F；直線AD過原點(diǎn)O；直線BD平行于x軸.請(qǐng)你以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題，并加以證明.答案精析第32練直線與圓錐曲線的綜合問題?？碱}型典例剖析例1(1)解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.AFBF4，AFAF04，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e .(2)解因?yàn)闄E圓M的離心率為，所以2，得b22.所以橢圓M的方程為1.()過點(diǎn)P(0,4)的直線l垂直于x軸時(shí)，直線l與橢圓M相交.(

7、)過點(diǎn)P(0,4)的直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx4.由消去y，得(12k2)x216kx280.因?yàn)橹本€l與橢圓M相交，所以(16k)24(12k2)2816(2k27)0，解得k.綜上，當(dāng)直線l垂直于x軸或直線l的斜率的取值范圍為時(shí)，直線l與橢圓M相交.變式訓(xùn)練1解(1)由已知條件得橢圓C的焦點(diǎn)為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，PF121，PF221，2aPF1PF24，則a2.b2a2c24，因此橢圓C的方程為1.(2)設(shè)D(x1,0)，(x1,2)，(x0,2)；由，得0，則G(x1,0)x1x080，則x1，kQG，直線QG的方程為y(x0x8)，又1，y4(8x)，

8、可得y(x0x8)，將代入1整理得8x216x0x8x0，(16x0)2464x0，直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn).例2解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，則由題意，可得解得所以b2a2c2523216.故所求橢圓C的方程為1.(2)方法一過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線l的方程為y(x3)，將之代入C的方程，得1，即x23x80.因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)在橢圓內(nèi)，設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閤1x23，所以線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為(3).故所求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.方法二過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線l的方程為y(x3)，因?yàn)?3,0)在橢圓內(nèi)，所以直線l與橢圓有兩個(gè)交

9、點(diǎn)，設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有由，得，即.又y0(x03), 所以故所求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.變式訓(xùn)練2解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則解得a，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為xm，由題意得m0或0m0，所以t2或t.當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxn，由得(12k2)x24knx2n220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由16k2n24(12k2)(2n22)0得12k2n2.此時(shí)x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2n.所以AB2 .又點(diǎn)O到

10、直線AB的距離d.所以SAOBdAB2 .|n|.令r12k2代入上式得：3r216n2r16n40.解得r4n2或rn2，即12k24n2或12k2n2.又tt()t(x1x2，y1y2).又點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，所以t21，即t21.由得t24或t2.又t0，故t2或t.經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意.綜合得t2或t.常考題型精練1.解(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21，所以a，b1，c.所以橢圓C的離心率e.(2)因?yàn)锳B過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1，y1)，B(1，y1)，直線AE的方程為y1(1y1)(x2)，令x3，得M(3,2y1)，所以直線BM的斜率kBM1.(3)直線BM與直線D

11、E平行，證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(2)可知kBM1.又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE1，所以BMDE，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x1)(k1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AE的方程為y1(x2).令x3，得點(diǎn)M，由得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，直線BM的斜率kBM，因?yàn)閗BM10所以kBM1kDE.所以BMDE，綜上可知，直線BM與直線DE平行.2.解(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x22py(p0)，則1，所以拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykx1.由消去y，整理得

12、x24kx40，所以x1x24k，x1x24.從而|x1x2|4.由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM.同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN.所以MN|xMxN|8.令4k3t，t0，則k.當(dāng)t0時(shí)，MN2 2.當(dāng)t0，解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20，又點(diǎn)P(x0，y0)在切線PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的

13、兩組解，所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知AFy11，BFy21，所以AFBF(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，所以y1y2x2y0，y1y2y，所以AFBFy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，所以當(dāng)y0時(shí)，AFBF取得最小值，且最小值為.4.解(1)拋物線C：y22px (p0)的焦點(diǎn)為F，依題意得d，解得p2，拋物線C的方程為y24x.(2)命題.若直線AB過焦點(diǎn)F，且直線AD過原點(diǎn)O，則直線BD平行于x軸.設(shè)直線AB的方程為xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24ty40，y1y24.直線AD的方程為yx，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.y2.直線BD平行于x軸.命題：若直線AB過焦點(diǎn)F，且直線BD平行于x軸，則直線AD過原點(diǎn)O.設(shè)直線AB的方程為xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24ty40，y1y24，即點(diǎn)B的