傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應用

1、傅里葉變換和拉普拉斯變換的 性質(zhì)及應用作者:日期:1.刖日1.1背景利用變換可簡化運算，比如對數(shù)變換，極坐標變換等。類似 的，變換也存在于工程，技術領域，它就是積分變換。積分變換 的使用，可以使求解微分方程的過程得到簡化，比如乘積可以轉(zhuǎn) 化為卷積。什么是積分變換呢？即為利用含參變量積分，把一個屬 于a函數(shù)類的函數(shù)轉(zhuǎn)化屬于b函數(shù)類的一個函數(shù)。傅里葉變換和 拉普拉斯變換是兩種重要積分變換。 分析信號的一種方法是傅立葉變換，傅里葉變換能夠分析信號的成分，也能夠利用成分合成信號。 可以當做信號的成分的波形有 很多，例如鋸齒波，正弦波，方波等等。傅立葉變換是利用正弦波 來 作 為 信 號 的 成 分。

2、拉普拉斯變換最早由法國數(shù)學家天文學家 pierre simon laplace (拉普拉斯)(174 9- 1 82 7 )在他的與概率論相關科學研究中引 入，在他的一些基本的關于拉普拉斯變換的結果寫在他的著名作 品概率分析理論之中。即使在 19世紀初，拉普拉斯變換已經(jīng) 發(fā)現(xiàn)，但是關于拉普拉斯變換的相關研究卻一直沒什么太大進展 直至一個英國數(shù)學家，物理學家，同時也是一位電氣工程師的o l 1 v er hea v i side 奧利弗亥維賽(18 5 0-1925)在電學相關 問題之中引入了算子運算，而且得到了不少方法與結果，對于解 決現(xiàn)實問題很有好處，這才引起了數(shù)學家對算子理論的嚴格化的 興

3、趣。之后才創(chuàng)立了現(xiàn)代算子理論。算子理論最初的理論依據(jù)就 是拉普拉斯變換的相關理論，拉普拉斯變換相關理論的繼續(xù)發(fā)展 也是得益于算理理論的更進一步發(fā)展。這篇文章就是針對傅里葉 變換和拉普拉斯變換的相關定義，相關性質(zhì)，以及相關應用做一 下簡要討論，并且分析傅里葉變換和拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián) 系。1. 2預備知識定理121(傅里葉積分定理)若在(8, +oo)上，函數(shù)？?兩足一下條件：(1)在任意一個有限閉區(qū)間上面？?加西足狄利克雷條件；，一 、 +oo 一 一 _ 4(2 )心 |?+oo,即？?依(-oo, +oo)上絕對可積;則？?冽勺傅里葉積分公式收斂，在它的連續(xù)點？?+ oo+oo r (/

4、 ?(?)?= ?qqqj 丁v /*,八/-8- oo在它的間斷點？?1 1二-入？?+ 0) + ? 0) r ( r ?(?)?= -v j v q2-oo - oo2定義1.2. 1 (傅里葉變換)設函數(shù)？?刪足定理1.2. 1中的條件，則稱廣？?；為？?？勺傅里葉變換，記作？(?？= /+o ? -0 定義1.2.2 (傅里葉級數(shù))設函數(shù)？?？勺周期為t則它的傅里葉級數(shù)為：+ 8? 一陽？=才 + 匯(?cos + ?sin t)?=1上式中，?2?2二無?= /?(?- 2? 2?=?+ f?(?cos?7?7?=(?2,3,?) i 2? 22?= -+ /?(?)?sin?=

5、(1?,2,3,?)-2定義1.2 . 3 (傅里葉逆變換)/|+0?)?= j?，？ 八 cnt1/2?-定義1. 2 . 4 (拉普拉斯變換)若函數(shù)？?)?兩足?(?)?收斂，那么該積分記作+oo?(?= ? = r?嚴?0式中s為復數(shù)，？?為積分核，上式稱為拉普拉斯變換.定義1.2.5 (拉普拉斯逆變換)?)稱為f ( s )的拉普拉斯逆變換?廬?-1?定義1.2 . 6(卷積)假如？ 1(t )和？ 2(t )是(-8, +oo)上面有定義的函數(shù)，則+8_ _ _ 一一l ?1(c ?2(t- cdp稱為？ 1(t )和?2(t)的卷積，記為？ 1( t )* ?2 (t)?l( t

6、)* ?2(t)=廣?：( r) ?2 (t-t)d t2 .傅里葉變換的性質(zhì)及應用2 .1傅里葉變換的性質(zhì)性質(zhì)2.1 . 1(線性性質(zhì))設 % b 為常數(shù)，？i(3)= ? ?i(t) , ?2(必)=? ?2(t)則：?a?i(t)+ b?2(t) = a?i(co)+ b?2()?-1 a?- b?2(m = a?i(t)+ b&(?)性質(zhì)2.1 . 2 (位移性質(zhì))設？?1?月=?()，則?(?性嗣=ej 30可?(?)?-1 ?(? ?) = ej。?(?)性質(zhì)2. 1 .3 (微分性質(zhì))設？()=?(? ,?依(-oo, +oo)連續(xù)或可去間斷點僅有有限個，且|?口+?(?)0,則

7、：?(附=？砌。?=(?。證明 由傅里葉變換的定義有?-?(?)=?詢,+oo3 t| -oo+ 8+ ? j ?(?)? ? u ?-8+oo+oo?(?)? = f?彳？?？?？ r/il/、/ +oo /, _ oo則:?()? r ?(?)?- , l j , , / j , , , qqqq證明因為?/ ?(?)?,-8故由微分性質(zhì)得?(g) = (? / ?-oo? / ?(?)? _ oo?定理2. 1.1（卷積定理）如果fi(q= ?1伏?？，f2(q= ?(?,則有:?第?？況？ = fi()f()? -1 fi()？f2(=2 兀 1?以？證明+ 8?(?(? = /?(?

8、;?(?)?-?+ 8+go+8+8=r/ ?才？?(？ ?-? r ?(? ?界？ ?-?ji j | b / / / j | b / j n -00- 00- co-oo+oo+oo=r?(?夕？ ？?-?(?)?- oo- co+oo=/f2()留？?”? f1()f()- oo性質(zhì)2. 1 .6 (pa r s eval恒等式)如果有f (=?,則有+ 8i |?(?2?-8+ 001i |?2?ji 七.八 i , , , qqq,_ oo4這個式子又叫做 par seval等式。2 .2 ?例數(shù)及其傅里葉變換定義2.2. 1(?函數(shù))滿足：(1) ?=產(chǎn)？華0, ? 0,+ 8(2

9、) f ? 1-8的函數(shù)是詢數(shù)。定義 2.2.2 （? ?0）函數(shù)）滿足：(1) ?眼= 0 ?字？?oo ?全？? 0,+ 8(2) /? ?0)?1-8的函數(shù)是？?？ ？0）函數(shù)。定義223（ ?函數(shù)的數(shù)學語言表述）1 0? ? ?（?=?0, 其他，p0時，？?（?？勺極限叫做涵數(shù)，記作8（沖lim ?）?定義224（ ?掰函數(shù)的數(shù)學語言表述）12-、? ?印+ ?（?嗣=? 000, 其他，p0時，？?（？間的極限叫做？?？ ？0）函數(shù)，記作？?？相=|imo?（? ?0）性質(zhì)221（ ?函數(shù)的篩選性質(zhì)）對任意連續(xù)函數(shù)？?，有? ?)?)? ?0)-8+ 8? ? ? ? ?(?)-8

10、性質(zhì)2 . 2.2（ ?函數(shù)的相似性質(zhì)）設a為實常數(shù)，則：1?=麗?？(？?* ) | r定義2.2. 5 （單位階躍函數(shù)）詢數(shù)是單位階躍函數(shù)在2?0時的導數(shù)?= ?乳？)這里?(?)1 2?-0(八0 ? 0稱為單位階躍函數(shù)。性質(zhì)223（ ?函數(shù)的傅里葉變換）因為+ 8? ?)? = /?”?？? ？-?=0= 1-8?+ 8? ?(?) = /? ?(?)?/?=?=-8所以?1, ? ?的？?二-1 ,1 ,即？?刑1,?附和？/?紛別構成了傅里葉變換對。2.3傅里葉變換的應用2.3. 1求微分積分方程依據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)2. 1 .1,2 . 1. 3，對需要求解的微分 方程的兩邊取傅

11、里葉變換，把它轉(zhuǎn)換成像函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個方 程求解得到像函數(shù)，接著繼續(xù)取傅里葉逆變換即可以得到原方程的解 下圖是此種解法的步驟，是解這種類型的微分方程的主要方法。例 2.3.1求積分方程+ 8? ? ?=?)0的解？?(?其中?=?2sin? ?0,0 ?箕? ?冗2解該積分方程可改寫為?)、， )?2?(?為的傅里葉正弦逆變換，故有+ oo?冗? = /有？?？?？ ?？1?=-/ cos(1 -2 0020? ? cos(1 + ? ? 1一萬例 2.3.2求積分方程+ 8?= ?(?+ ? ? v t / v , % t -8其中？?加 ？(?現(xiàn)已知函數(shù)，而且？?，？?，？(？勺傅

12、里葉變換存解 設？ ? = ?(,？ ?(? = ?(j由定義1.2. 6(卷積)可知，方程右端第二項=?加 故 對方程兩邊取傅里葉變換，根據(jù)卷積定理可得：?)=?nq + ?)？q,所以?5 =?7q1 - ?)由傅里葉逆變換，求出原方程的解:1?沙+ 8?)?=-oo+?)?2 九-oo1 - ?). .例 2. 3.3求微分積分方程_ 2?+ ?+ ? ? ?(?)的解，其中-oo ?殳+oo , ? ? ?均為常數(shù)，？(?為已知函數(shù)分性解根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)2. 1 .1(線性性質(zhì))，性質(zhì)2.1.3 (微質(zhì))，性質(zhì)2.1 . 4 (積分性質(zhì)),且記? = x(?, ?(? = h(?)

13、對原方程兩邊取傅里葉變換：一 .一 ?. 一h(?)x(?=?x + ?x? + ?x(? = h(?),?.?+?(?展)?/而上式的傅里葉逆變換為1+occcccc1+oh(?dcccccc?= 一/ x(?= 一，？?2?-m2?-r ?+ ?習3.2解偏微分方程例2.3. 4 (一維波動方程的初值問題)用傅里葉變換求定解問題:? ?3oo ? 0?，?=0= ?于0=?解 由于未知函數(shù)？?(?？，呼？?勺變化范圍為(- oo , + oo),故對方程和初值條件關于？取傅里葉變換，記?(? ?)= ?(? ?)l，- /j ，?oo?一2=(?(? ?)= -?2?(? ?)21/,廠7

14、7?嬴?= ?(? ?)= ?(? ?)?+ 1) + ?- 1),? ?!?+ 1) - ?- 1)0定解問題已經(jīng)改變?yōu)榍蠛瑓⒆兞浚可壮踔祮栴}:? c-=-?2?，?=0 = ?+ 1) + ?- 1), ?金?=0= ?怎?+1) - ?- 1)。?（? ?很一個關于t的二階常系數(shù)齊次微分方程，求得通解為?(? ?= ?由初值條件可知：?= ?+ 1) - ?- 1), ?= ?+ 1) + ?- 1)0因此初值問題的解為：?(? ?= ?+ 1)- ?- 1)?+ 1) + ?- 1) ?=(?)1) + (?)1)。對上面的解取傅里葉逆變換，根據(jù)性質(zhì)2. 2. 4 （?函數(shù)的篩選性質(zhì)）

15、原定解問題的解為:?= ?-1 ?(? ?)、,/ l) /j?2?+ (?-?)1) ?-?=? ?一?+ ?-?2?+ ?- 2(?+?(r?)1)?* “ -oo=?)3.拉普拉斯變換的性質(zhì)及應用3.1 拉普拉斯變換的性質(zhì)性質(zhì)3.1. 1(存在性)假如在0, +oo)這個區(qū)間上？?(?加以滿足如下的條件: 在任意的一個有限的區(qū)間上面？?(?分段連續(xù);(2)?m0, m是常數(shù)，？0,使得| ?(?) ?0上,?(?/ , /?存在，由這個積分確定的f(s)解析。性質(zhì)3.1.2(線性性質(zhì))設 ki,k2 是常數(shù)，?(? = ?(? ?(? = ?(?則:?留？+ ?2(?月=?(?+ ?(?

16、.?(?+ ?(? = ?a?？+ ?21?性質(zhì)3. 1. 3 （微分性質(zhì)）若？? = ?且？?）（t）連續(xù),則:?一.?卓=?- ?0) (re sc).更一般的，？n c才，有:? = ?- ?-1 ?0) - ?-2 ? 0) - ? - ?-1 (0) (re sc)更一般的，？ncz+,有:?(?=?- ?-1 ?0- ) - ?-2?(0-)- ?- ?-1(0-)證明由拉普拉斯變換的定義，分部積分法得:+o ?二?e-st dt?=?)?e-st | 營+oo+ ?f?)?e-st dto= lim ?)?e-st - ?0) + ? f +oo=?)?- ?0)性質(zhì)3 .1.4

17、 （積分性質(zhì)）若？?)? = ?,則:?= 答。證明?令？(?？= 0 ?貝汁？(?？= ?, ?(0) = 0,貝上_ _ / _ ? (? = ?(? - ?(0) = ?(? ,?0?/?貴?)? 二0?性質(zhì)3.1.5 (延遲性質(zhì))若？?=?rt0,為常數(shù)，有:? ? ? =e-s?定理3. 1. 1 (卷積定理)如果？?(?？= ?(?,?(?= ?(羽，那么?(?)?夕?)？ = ?(?(?或者?-1 ?(?)?式?？ = ?ix?(?證明由定義有：+oo? ? ? ? = i ?(? ?2( ? ?-?0+ oo?= 7 ?%?(? ?12 / j 00由于二重積分絕對可積，可交換

18、積分次序：+oo+oo?(?p?2(? = r?？? r ?2(? ?-? 1 1 / 2 / j1 12 / !0? ? ?f ?8？ ？-? r ?r?-?(?+?)? ?0=?-?(?故：?1x?(?+ 8=?( ? r ? ?0=?(?(?3 .2應用3.2.1解線性微分方程(組)解線性微分方程及微分方程組的基本思路如下變換微分方程-初始條件,、，代數(shù)方程厚解變換像解 |例3.2.1(線性微分方程). 、 .、 ，求？ + ?= ? ? (? 0)滿足初始條件y(0) = ?的特解解對方程兩端取拉普拉斯變換，得像方程sy(s)- ?+y(s)= ?-?于是取逆變換，得y(s)?(?1)

19、 + ?+ 1?= 1 -?-?)?7? ?+ ?-?=1?-?,0? ? ?例3.2. 2(常系數(shù)線性微分方程組)求_ / /? + ?+?= 1 ?+ ? + ?= 0?+ 4? = 0滿足？?0) = ?0) = ?0) = 0 的解解設？? = ?(?)? = ?(? = ?(?) 對每個方程兩側(cè)取拉普拉斯變換，得像方程組：1 ?+ ?+ ? = , , , /, v / qq ?+ ?+ ?= 0?+ 4?= 0解得：4?- 11? = . ?=.? 4?(? - 1) ?- 1)1?7? = 4?(?- 1) 對每個像函數(shù)取逆變換:14?- 11131?歐=?-14? = 4?-1

20、小+?!=4 (3? ? ?)?= ?-1 - -1 = ?-1 - ?(? 1)? ?- 1=1 - ? ?.11.11?(?=?-1 4?k = 4?-1 m-41 =4(? ?)例3 . 2 . 3（變系數(shù)線性微分方程組） _l _ ? (1 - ? + ?= 0 (? 0, ? 0)滿足？?0) = ?(0) = 0的解解 由性質(zhì)3 .1.3 (微分性質(zhì))可知?= - ? c=?- ?) - ?(0) =-2sx(s)- ?(?對原方程兩邊做拉普拉斯變換得：?(?+ (1 + ? 1x(s) = 0解這個分離變量方程：? 一 1?=赤？?？將?展開為收斂的幕級數(shù)，而后逐項取拉普拉斯變換

21、: ?_?t) = ?(2 v?)4.傅里葉變換和拉普拉斯變換的關系對于函數(shù)f t ,設t 0時，？?(?笄0,當 孤夠大時, 函數(shù)f t e t的傅里葉變換就有可能存在，即?-? = / ?-?-? / ?+?*? 1、， i j w y j 9u 再根據(jù)傅立葉逆變換可得cccc 1? = 2?+ 8?1?個?寫？-8記？ ?+ ?(?= ?,注意到? ?是可得+ooi ?+? oo?= r?-?=r?(?)?lj v /尸 /oooo) /02(?-? 8當？?？= 0,實際上就是f t的傅里葉變換,所以在一些時 候把傅里葉變換稱為拉普拉斯變換的特殊情形。引入b的緣故是：f t不一定可以符合傅里葉變換的狄利克雷條件，而?)?1?在？足夠大時能夠符合傅里葉變換的條件。f t的拉 普拉斯變換的本質(zhì)是？?的傅里葉變換，對于f t來 說，這種變換改變了傅里葉正變換里的原函數(shù)(原函數(shù)乘以指數(shù)衰減函數(shù)項)，同時也改變了傅里葉逆變換的積分因子(?這種變換就