點(diǎn)集拓?fù)渚毩?xí)題及答案.

1、點(diǎn)集拓?fù)渚毩?xí)題 5 T =X, ,a,a,b 2、設(shè)X =a,b,c，下列集族中，（ T=X,a, a,b, c T=X,a,b,a,c 3、已知X=a,b, c,d,下列集族中， T二X,a, a,b, a,c,d T=X,a,b,a,c,d 4、設(shè)X =a,b,c，下列集族中，（ T=X,b, c, a,b T=X,a,b,a,c 5、已知X=a,b, c,d,下列集族中, T二X,a,b,a,c, d T二X,a,b,a,c,d 6、設(shè)X -a,b,c，下列集族中，（ T=X,a, b,b,c T=X,a,a,c 7、已知 X 二a,b,c,d, 拓?fù)?T 二X, ,a,則b=（ 、單項(xiàng)

2、選擇題(每題 1分) 1、已知X =a,b,c,d,e,下列集族中，( )是X上的拓?fù)? T =X, ,a, a,b, a, c,e T =X, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,e T =X, ,a, b, c, d, e答案： ）是X上的拓?fù)? T =X , ,a, a,b, a,c T =X, ,a, b, c答案： （ ）是X上的拓?fù)? T =X, ,a,b,c, a, b,d T =X, ,a, b答案： ）是X上的拓?fù)? T =X , ,a, b, a,b, a,c T =X, ,a, b, c答案： （ ）是X上的拓?fù)? T =X, ,a,b, a,c, d T 二X,

3、,a,c,a,c答案： ）是X上的拓?fù)? T =X, ,a,b,b,c T =X, ,a, b,c答案： 0Xbb,c,d答案： 8、已知 X 二a,b,c,d，拓?fù)?T 二X, ,a,則b,c,d=() 0Xbb,c,d答案： 9、已知 X 二a,b，拓?fù)?T =X, ,a,則面=() 0Xab答案： 10、 已知 X -a,b，拓?fù)?T -X, ,a,則b=() 0Xab答案： 11、已知 X 二a,b,c,d，拓?fù)?T 二X, ,a,則面=() 0X a,bb,c,d答案： 12、已知 X 二a,b,c,d，拓?fù)?T 二X, ,a,則c=（） 0 X a, cb,c,d 13、設(shè) X P

4、bcd ，拓?fù)銽 工X, ,a, b,c,d 1 2 3 4答案： 14、設(shè) X 工a,b,c, 拓?fù)銽 二X, ,a, b,c,則 1 2 3 4答案： 答案： ,則X的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為() X的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為() 15、設(shè)X二a,b,c，拓?fù)銽二X,b, b,c,則X的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（） 0123答案： 16、設(shè)X -a,b，拓?fù)銽 -X, ,b,則X的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為（） 0123答案： 17、設(shè)X二a,b，拓?fù)銽 =X, ,a, b,則X的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為（） 1234答案： 18、設(shè)X =a,b, c，拓?fù)銽 =X沖,a,b,a b

5、 ,b c 則X的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為 （ ） 1 23 4 19、 在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集 Q的內(nèi)部0：是（ ） Q R -QR 答案： 20、 在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集 Q的邊界：（Q）是 （ ） Q R -QR 答案： 21、 在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集 Z的內(nèi)部Z】是（ ） Z F-ZR 答案: 22、 在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集 Z的邊界;（Z）是（ ） Z F-ZR 答案: 23、 在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,1）的邊界是（ ） 答案： 0,1 0,1 (0,1) 答案： 24、 在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間 2,3）的邊界是（ 25、 2,3 2,3 (2,3) 答案： 在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間 0,1）的

6、內(nèi)部是（ 0,1 0,1 (0,1) 答案： 26、 d(A 一 B) =d(A) - d(B) A=A答案： 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A B是X的子集，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ d(A 一 B) =d(A) 一. d(B) 27、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A B是X的子集，則下列關(guān)系中正確的是（ d(A B) =d(A) d(B) d(A - B) =d(A) - d(B) 28、設(shè) X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A B是X的子集，則下列關(guān)系中正確的是（ d(A B) = A B A-B=A-B d(A 一 B) =d(A) - d(B) d(d(A) A_. d(A) 答案： 29、已知X是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g, d

7、（A）二 A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是（ d(A) 二 X -A d(A)二 A d(A) =X 答案： A是X的子集，則下列結(jié)論中不正確的是（ 30、已知X是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g, 若A二二則d（A）= 若 A =x。,則 d(A) = X - A 若 A=x1,x2,則 d(A) =X 若A=X ,則d（A） = X 答案： 設(shè)X是至少含有兩個(gè)元素的集合, T的基 B = p, x| x X - p B = p,x| x X p X , T =G X | p G _.是 X 的拓?fù)?，則( B = x| x X B = x| x X -p 答案： ）是 31、 32、 33、 34、 35

8、、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 42、 43、 44、 已知X是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是（） 若 A 二,則 d(A) 若 A=x0,則 d(A)=X 若 A=xi,X2,則 d(A)二 X -A 若 A 二xi,X2,則 d(A) = A 答案： 設(shè)X二a,b,c,d，令B = a,b,c, c, d,則由B產(chǎn)生的X上的拓?fù)涫?) X,c,d,c,d,a, b,c X,c,d,c,d X, c, a, b, c X , d, b, c, b, d, b,c,d答案： 設(shè)X -a,b,c,則下列X的拓?fù)渲校?）以S -X, ,a為子基. X ,

9、, a, a, c X ,-, a X , , a, b,a, b X, 答案： 離散空間的任一子集為（） 開集 閉集即開又閉 非開非閉 答案： 平庸空間的任一非空真子集為（ ) 開集 閉集即開又閉 非開非閉 答案： 實(shí)數(shù)空間 R中的任一單點(diǎn)集是（ ) 開集 閉集既開又閉 非開非閉 答案： 實(shí)數(shù)空間 1 1 R的子集A =1, 1 ,則A =( ) 2 3 4 0 RAU 0 A答案： 在實(shí)數(shù)空間 R中，下列集合是閉集的是（ ) 整數(shù)集 a,b有理數(shù)集 無理數(shù)集 答案: 在實(shí)數(shù)空間 R中，下列集合是開集的是（ ) 整數(shù)集Z有理數(shù)集無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補(bǔ)集Z答案： 已知X -1,2,3上的拓?fù)銽

10、 -X, ,1,則點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是（） 1234答案： 已知X -a,b,則X上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?1個(gè) 2個(gè)3個(gè)4個(gè)答案： 已知X = a, b, c,則X上的含有4個(gè)元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€(gè) 3579答案： 設(shè)（X,T ）為拓?fù)淇臻g，則下列敘述正確的為 （） XT, T X T / T 答案： 當(dāng)T T時(shí)，U T 當(dāng)T T時(shí)， U T U T 45、 在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g R中，區(qū)間a,b)是( ) 開集閉集 既是開集又是閉集非開非閉 答案： 46、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 代B X ,且滿足d(A) B A,則B是( ) 開集閉集 既是開集又是閉集非開非閉答案： 47、 設(shè) X =1,2,3,

11、 T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A二1,2,則 X 的子空間 A的拓?fù)錇?48、 () T = ,2, 1,2 T 珂，X,1,2, 1,2 T = ,A,1,2 T = ,X,1,2 設(shè) X =1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)洌?答案： A=1,3,則 X 的子空間 A的拓?fù)錇?49、 T = ,1,3, 1,3 T = , A,1 T 訛,X,1,3, 1,3 T = ,X,1 設(shè) X =1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)? 答案： A=2,3,則 X 的子空間 A的拓?fù)錇?50、 () T = ,3,2,3 T

12、= ,A,2,3 T = ,X,2,3,2,3 T = ,X,3 = 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)? 答案： A=1,則X的子空間 A的拓?fù)錇?51、設(shè) 珂，1 T 珂，A,1,2 T 珂，X,1,3, = 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2 1,3 T 珂，X,1 答案： 52、設(shè) 珂,2, 1,2 T 珂，A T = 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2 珂，2, 1,2 訊,X ,3 53、 54、 55、 是X的拓?fù)? 珂，X,2 是X的拓?fù)? T Y是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的一個(gè)映射，若它是一個(gè)單射，并且是從X到它的象集f （X）的

13、一個(gè) 同胚，則稱映射 f是一個(gè)答案：嵌入 19、f : X Y是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且Y的拓?fù)涫菍?duì)于映射 f而言的 商拓?fù)?，則稱 f是一個(gè);答案：商映射 20、 設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X Y是一個(gè)映射，若 X中任何一個(gè)開集U的象集f(U)是Y中的一 個(gè)開集，則稱映射 f是一個(gè) ;答案：開映射 21、 設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X Y是一個(gè)映射，若 X中任何一個(gè)閉集U的象集f(U)是Y中的一 個(gè)閉集，則稱映射 f是一個(gè) ;答案：閉映射 22、若拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的閉子集代B ,使得A - B-, A 一 B = X則X是一 個(gè) ;答案：不連通空間 23、若拓

14、撲空間X存在兩個(gè)非空的開子集代B ,使得A* B-, A 一 B = X則X是一 個(gè) ;答案：不連通空間 24、 若拓?fù)淇臻gX存在著一個(gè)既開又閉的非空真子集，則X是一個(gè) ;答案：不連通空間 25、 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，Z二X滿足丫二Z二Y，則Z也是X的一個(gè); 答案：連通子集 26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則 稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ;答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì) 27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有，則稱這個(gè)性 質(zhì)是一個(gè) ;答案：可商性質(zhì) 28、 若任意n1個(gè)拓?fù)淇臻gXi, X

15、2,|l(,Xn,都具有性質(zhì)P,則積空間Xi X2川Xn也具有性質(zhì)P,則 性質(zhì)P稱為；答案：有限可積性質(zhì) 29、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集A, B ,使得A B= X,則稱X是一 個(gè) ;答案：不連通空間 30、 若Xi,X2滿足第一可數(shù)性公理，則積空間Xi X2滿足; 答案：第一可數(shù)性公理 31、 若Xi,X2滿足第二可數(shù)性公理，則積空間Xi X2也滿足 ;答案：第二可數(shù)性公理 32、如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P ,那么它的任何一個(gè)子空間也具有性質(zhì)P ,則稱性質(zhì)P 為; 答案：可遺傳性質(zhì) 33、 設(shè)D是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集，且 D = X ,則稱D是X的一個(gè);答案：稠密子

16、集 34、 若拓?fù)淇臻g X有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱X是一個(gè) ;答案：可分空間 35、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果它的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，則稱X是一個(gè) ; 答案：Lindel ?ff空間 36、如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P ,那么它的任何一個(gè)開子空間也具有性質(zhì)P ,則稱性質(zhì)P 為; 答案：對(duì)于開子空間可遺傳性質(zhì) 37、如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P ,那么它的任何一個(gè)閉子空間也具有性質(zhì)P ,則稱性質(zhì)P 為; 答案：對(duì)于閉子空間可遺傳性質(zhì) 38、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 則稱X是一個(gè)T0空間； 答案：X中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn) 39、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果

17、 則稱 X是一個(gè)T1空間; 答案：X中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一點(diǎn)都有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn) 40、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 則稱X是一個(gè)T2空間; 答案: 41、 正則的 Ti空間稱為 ;答案：T3空間 42、 正規(guī)的 空間稱為 43、完全正則的空間稱為 44、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g ;答案：T4空間 ;答案： T3.5空間或 Tychonoff 空間 .如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g X中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)各自有一個(gè)開鄰域使得這兩個(gè)開鄰域互不相交 答案：緊致空間 45、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g, Y是X的一個(gè)子集如果Y作為X的子空間是一個(gè)緊致空間，則稱 Y是拓?fù)?46、設(shè)X是-

18、 個(gè)拓?fù)淇臻g 如果X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g X是- 個(gè) 答案 :可數(shù)緊致空間 47、設(shè)X是 一個(gè)拓?fù)淇臻g .如果X的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是 個(gè) 答案 :列緊空間 48、設(shè)X是 個(gè)拓?fù)淇臻g .如果X中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻g X是- 個(gè) 答案 :序列緊致空間 答案：緊致子集 空間X的一個(gè) 三判斷(每題4分，判斷1分，理由3分) 1、 .從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射() 答案：V 理由：設(shè)X是離散空間，Y是拓?fù)淇臻g，f:X Y是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意 A Y，都有f(A) X , 由于X中的任何一個(gè)子集都是開集，從而f

19、(A)是工中的開集，所以f : X )Y是連續(xù)的. 2、設(shè)T1,T2是集合X的兩個(gè)拓?fù)?，貝U T T2不一定是集合 X的拓?fù)?) 答案：x 理由：因?yàn)?1) T1,T2是X的拓?fù)?，故X,、T1, X,、T2 ,從而X,、T T2 ; (2)對(duì)任意的 A, B T T2，則有A,B T1且A, B T2 ,由于T 2是X的拓?fù)?，?AB T1 且 B T2,從而 A B T T2 ； (3)對(duì)任意的 TTi - T 2，則TT1, TT 2，由于, T 2是X的拓?fù)?，從?u t u T, U二T U T2,故 u.二T U T Y是任一滿足條件的映射，由于Y是平庸空間，它中的開集只有 YJ,易

20、知它們?cè)趂 下的原象分別是 X,均為X中的開集，從而f:X Y連續(xù). 4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻g X的任意子集，則d A二( 理由：設(shè)p為X中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開集， d(A)=. )答案：x 所以 p是X的開子集，且有【pC A - p ?=即ps d A ,從而 且有y X - (A-x),從而 X (A -x) = ，因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但對(duì)于 y的唯一的鄰域 X，有X - (A - y)二二所以有 d A 二 X - A =. 5、 設(shè)A為平庸空間X ( X多于一點(diǎn))的一個(gè)單點(diǎn)集，貝Ud A二( 理由：設(shè)A二 y,則對(duì)于任意 x X, x = y , x有唯一的一個(gè)

21、鄰域X , 6、 設(shè)A為平庸空間X的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，貝Ud A = X ()答案： 理由：對(duì)于任意X,因?yàn)锳包含多于一點(diǎn)，從而對(duì)于 x的唯一的鄰域 X，且有X - (A_x) ，因 此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即xd(A)，所以有d A =X . 7、 設(shè)X是一個(gè)不連通空間，貝U X中存在兩個(gè)非空的閉子集代B,使得A - B = , A_. B二X ( )答 案： 理由：設(shè)X是一個(gè)不連通空間，設(shè)A, B是X的兩個(gè)非空的隔離子集使得A 一 B = X ,顯然 A|B二,并且這時(shí)有：B - X =(B - A) 一(B - B) =B從而B是X的一個(gè)閉子集，同理可證 A是X的一個(gè)閉子集，這就證明

22、了代B滿足A B = 1A B = X . 8、若拓?fù)淇臻gX中存在一個(gè)既開又閉的非空真子集，則 X是一個(gè)不連通空間() 案： 理由：這是因?yàn)槿粼O(shè) A是X中的一個(gè)既開又閉的非空真子集，令A(yù)，則A,B都是X中的非空閉 子集，它們滿足 A 一 B = X，易見代B是隔離子集，所以拓?fù)淇臻gX是一個(gè)不連通空 9、 設(shè)拓?fù)淇臻g X滿足第二可數(shù)性公理，則 X滿足第一可數(shù)性公理()答案： 理由：設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，B是它的一個(gè)可數(shù)基，對(duì)于每一個(gè)x X ,易知 Bx二BB|xB是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，它是 B的一個(gè)子族所以是可數(shù)族，從而 X在點(diǎn)x處有 可數(shù)鄰域基，故 X滿足第一可數(shù)性公理 10、 若拓

23、撲空間 X滿足第二可數(shù)性公理，則 X的子空間Y也滿足第二可數(shù)性公理()答案： 理由：由于X滿足第二可數(shù) 性公理，所以它有一個(gè) 可數(shù)基B ,因?yàn)閅是X的子空間，則 B | y二BY|BB是Y的一個(gè)可數(shù)基，從而 X的 子空間Y也滿足第二可數(shù)性公理 11、 若拓?fù)淇臻g X滿足第一可數(shù)性公理，則 X的子空間丫也滿足第一可數(shù)性公理()答案： 理由：由于X滿足第一可數(shù)性公理，所以對(duì)-X Y, X在點(diǎn)x處有一個(gè)可數(shù)鄰域基 V X，因?yàn)閅是X 的子空間，貝V V x 丫 =Vcy|v eV x是Y在點(diǎn)x的一個(gè)可數(shù)鄰域基，從而 X的子空間Y也滿足第 一可數(shù)性公理 12、 設(shè) X 二1,2,3 , T 二X, ,

24、2, 3,2,3，則(X,T )是 T3 空間.()答案：x 理由：因?yàn)?,3是X的一個(gè)閉集，對(duì)于點(diǎn)2和 1,3沒有各自的開鄰域互不相交，所以X不是正則 空間，從而不是 T3空間. 注：也可以說明 X不是T空間. 13、 設(shè) X 二1,2,3 , T Y是一個(gè)一一映射，并且f和 f J : Y X 都是連續(xù)映射，則稱 f是一個(gè)同胚映射或同胚. 2、 集合A的內(nèi)點(diǎn)答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X .如果A是點(diǎn)x X的一個(gè)鄰域，則稱點(diǎn) x 是集合A的一個(gè)內(nèi)點(diǎn) 3、 集合A的內(nèi)部答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X .則集合A的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為集合 A的內(nèi)部 4拓?fù)淇臻g(X,T)的基答案：設(shè)(X,

25、T )是一個(gè)拓?fù)淇臻g，B是T的一個(gè)子族如果T中的每一 個(gè)元素是B中的某些元素的并，則稱 B是拓?fù)銽的一個(gè)基 5閉包答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X .集合A與集合A的導(dǎo)集d(A)的并A_. d(A)稱為 集合A的閉包 6、 序列答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，每一個(gè)映射S:Z .X叫做X中的一個(gè)序列. 7、 導(dǎo)集答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，集合 A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集 8、 不連通空間答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集 代B ,使得A 一 B = X , 則稱X是一個(gè)不連通空間 9、 連通子集答案：設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集如果Y作為X的子空間是一個(gè)連通空間，則稱Y是

26、 X的一個(gè)連通子集 10、 不連通子集答案：設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集如果Y作為X的子空間是一個(gè)不連通空間, 則稱Y是X的一個(gè)不連通子集 11、 A1空間答案：一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一 個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡(jiǎn)稱為 A1空間 12、 A?空間答案：一個(gè)拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理 的空間，簡(jiǎn)稱為 A2空間 13、 可分空間答案：如果拓?fù)淇臻g X有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱X是一個(gè)可分空間 14、 To空間：答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開 鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g

27、X是T0空間. 15、 Ti空間：答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)開 鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是T1空間. 16、 T2空間：答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 X中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)各自有一個(gè)開鄰域使 得這兩個(gè)開鄰域互不相交，則稱拓?fù)淇臻gX是T2空間. 17、 正則空間：答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 X中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的 閉集都各自有一個(gè)開鄰域，它們互不相交，則稱X是正則空間 18、 正規(guī)空間：答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 X中的任何兩個(gè)無交的閉集都各自有一個(gè)開鄰 域，它們互不相交，則稱 X是正規(guī)空間 19、 完全正則空

28、間：答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果對(duì)于 -xX和X中任何一個(gè)不包含點(diǎn) x的 閉集B存在一個(gè)連續(xù)映射 f ：X 0,1使得f(x) =0以及對(duì)于任何 * B有f(y)=1，則稱拓?fù)淇臻gX 是一個(gè)完全正則空間 20、 緊致空間答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)?空間X是一個(gè)緊致空間 21、 緊致子集答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，Y是X的一個(gè)子集如果Y作為X的子空間是一個(gè)緊 致空間，則稱Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)緊致子集 22、 可數(shù)緊致空間答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則 稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間 23、 列緊空間答案：設(shè)X是一個(gè)

29、拓?fù)淇臻g如果X的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g X 是一個(gè)列緊空間 24、 序列緊致空間答案：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列， 則稱拓?fù)淇臻g X是一個(gè)序列緊致空間 五簡(jiǎn)答題(每題 4分) 1、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g， A, B是X的子集，且 A B.試說明d(A) d(B). 答案：對(duì)于任意d(A),設(shè)U是x的任何一個(gè)鄰域，則有 U - (A-x),由于A B，從而 U (B -x) = U (A -x ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B). 2、設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g f:X Y, g :Y Z都是連續(xù)映射，試說明gQf:X Z也是連續(xù)映射 答案：設(shè)

30、 W是Z的任意一個(gè)開集，由于 g：Y Z是一個(gè)連續(xù)映射，從而 g J(W)是丫的一個(gè)開集， 由f:X Y是連續(xù)映射，故f4(g(W)是X的一開集，因此(gQ f )(W)二f v(g(W)是X 的開集，所以gQ f : X Z是連續(xù)映射. 3、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g， A X 試說明：若 A是一個(gè)閉集，則 A的補(bǔ)集A是一個(gè)開集 答案：對(duì)于xA ,則 W A，由于A是一個(gè)閉集，從而 x有一個(gè)鄰域U使得U - (A-x)，因 此U - A - ，即卩UA ,所以對(duì)任何A , A是x的一個(gè)鄰域，這說明 A是一個(gè)開集 4、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g， A X 試說明：若 A的補(bǔ)集A是一個(gè)開集，則 A是一個(gè)閉集 答

31、案：設(shè)x A,則x A ,由于A是一個(gè)開集，所以 A是x的一個(gè)鄰域，且滿足 A、A二 ,因此 x - A ,從而A二A,即有A = A，這說明A是一個(gè)閉集. 5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy：= x,y (-：,1)或者 x, y 1,2)或者 x,y 2,：) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y = 0, 1, 2,試寫出Y的商拓?fù)銽. 答案：T 珂，丫,0,0,1 6、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy= x, y (-：，1或者 x, y (1,2或者 x, y(2/ -) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y = 1, 2, 3,試寫出Y的商拓?fù)銽 . 答案：T = ,Y,3,2,

32、3 7、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy：= x, y (-：,1)或者 x, y 1,2)或者 x,y 2,：) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y = -1,1,2,試寫出Y的商拓?fù)銽. 答案：T = ,Y, -1, -1,1 8、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy ：= x, y (一：,1)或者 x, y 1,2)或者 x, y 2,：) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y = -2,1,2,試寫出Y的商拓?fù)銽. 答案：T = ,Y, -2, -2,1 9、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy= x, y (-：，1或者 x, y (1,2或者 x, y(2/ :) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)

33、系下得到的商集Y二0,2,3,試寫出Y的商拓?fù)銽 . 答案：T 珂,Y,3,2,3 10、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy= x, y (-,1或者 x, y (1,2或者 x, y (2, 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集丫二0,2,4,試寫出Y的商拓?fù)銽 . 答案：T = ,丫,4,2,4 11、在實(shí)數(shù)空間 R中給定如下等價(jià)關(guān)系： xy= x, y (-二，1或者 x, y (1,2或者 x, y(2/ :) 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集丫 = -1,2,4,試寫出Y的商拓?fù)銽 . 答案：T 訊,Y,4,2,4 12、 離散空間是否為A2空間？說出你的理由. 答案：因?yàn)殡x散空間的每一個(gè)基

34、必定包含著單點(diǎn)集，所以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不是A2空間. 至多含有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間是A2空間. 13、 試說明實(shí)數(shù)空間R是可分空間.答案：因?yàn)镼是可數(shù)集，且 R的任何一個(gè)非空的開集至少包含一個(gè)球 形鄰域，從而與Q都有非空的交，因此Q = R，故實(shí)數(shù)空間R是可分空間 14、試說明每一個(gè)度量空間都滿足第一可數(shù)性公理 答案：設(shè)X是一個(gè)度量空間，對(duì)一xX，則所有的以x為中心，以正有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成x 處的一個(gè)可數(shù)鄰域基，從而 X滿足第一可數(shù)性公理 15、 設(shè)X是一個(gè)Ti空間，試說明X的每一個(gè)單點(diǎn)集是閉集 答案：對(duì)-xX，由于X是Ti空間，從而對(duì)每一個(gè) y X, y = x，點(diǎn)y有一

35、個(gè)鄰域U使得x U， 即U X = ，故y -而，因此x =.x,這說明單點(diǎn)集x是一個(gè)閉集 16、 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若 X的每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集，試說明 X是一個(gè)T1空間 答案：對(duì)于任意x,y：=X,x = y，x, y都是閉集，從而x 和 y 分別是y和x的開鄰域，并且 有x x , y y 從而X是一個(gè)T空間. 17、 設(shè)(X,T )是一個(gè)Ti空間，：是任何一個(gè)不屬于 X的元素令X* =X 一 ：和TT - X*，試 說明拓?fù)淇臻g(X*,T )是一個(gè)T0空間答案：對(duì)任意x, y X*,xy,若x, y都不是：，則 x, r X 由于X 是一個(gè)T1空間，從而x, y各有一個(gè)開鄰域U ,V

36、 ,使得x y V, y y U ;若x, y中有一 個(gè)是：，不妨設(shè)x =：,則y有開鄰域X不包含：由以上的討論知，對(duì) X*中任意兩個(gè)不同點(diǎn)必有 一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)，從而X是T0空間 18、 若X是一個(gè)正則空間，試說明：對(duì)-X及x的每一個(gè)開鄰域U，都存在x的一個(gè)開鄰域V,使得 V U 答案：對(duì)- x X ,設(shè)U是x的任何一個(gè)開鄰域， 則U的補(bǔ)集U 是一個(gè)不包含點(diǎn)x的 一個(gè)閉集由于X是一個(gè)正則空間，于是 x和U 分別有開鄰域 V和W,使得V - W，因此 V W，所以 V W=WU 19、 若X是一個(gè)正規(guī)空間，試說明：對(duì)X的任何一個(gè)閉集 A及A的每一個(gè)開鄰域U，都存在 A的一個(gè) 開鄰

37、域V ,使得V U 答案：設(shè)A是X的任何一個(gè)閉集，若 A是空集，則結(jié)論顯然成立下 設(shè)A不是空集，則對(duì) A的任何一個(gè)開鄰域 U，則U的補(bǔ)集U 是一個(gè)不包含點(diǎn) A的一個(gè)閉集由于 X是一個(gè)正規(guī)空間，于是A和U 分別有開鄰域 V和W,使得Y - W二，因此V W，所以 V W -=WU 20、 試說明T1空間X的任何一個(gè)子集的導(dǎo)集都是閉集 答案：設(shè) A是X的任何一個(gè)子集，若 A是空集，則d(A)二.，從而A的導(dǎo)集是閉集下設(shè)A不是 空集，則對(duì)-x (d(A),則x有開鄰域U ,使得(U -x) - A =，由于X是T-i空間，從而U -x 是開集，故 U -x(d(A),于是U (d(A)所以(d(A)

38、是它每一點(diǎn)的鄰域，故(d(A) 是開集，因此 d(A)是閉集 21、試說明緊致空間 X的無窮子集必有凝聚點(diǎn) 答案：如果X的無窮子集的A沒有凝聚點(diǎn)，則對(duì)于任意x X，有開鄰域Ux，使得 (UxA)-x二，于是X的開覆蓋Ux |x X沒有有限子覆蓋，從而 X不是緊致空間，矛盾 故緊致空間X的無窮子集必有凝聚點(diǎn) 22、如果X Y是緊致空間，則 X是緊致空間 答案：考慮投射R：X Y X，由于R:X Y X是一個(gè)連續(xù)的滿射，從而由X Y緊致知X是 一個(gè)緊致空間 23、如果X Y是緊致空間，則 Y是緊致空間 答案：考慮投射 P2：X Y Y，由于F2： X Y Y是一個(gè)連續(xù)的滿射，從而由 X Y緊致知Y

39、是 一個(gè)緊致空間 24、試說明緊致空間 X的每一個(gè)閉子集 丫都是緊致子集 答案：如果A是丫的任意一個(gè)由 X中的開集構(gòu)成的覆蓋，則B= A Y是X的一個(gè)開覆蓋設(shè)B1 是B的一個(gè)有限子族并且覆蓋 X .則B j 一丫 便是A的一個(gè)有限子族并且覆蓋 丫，從而丫是緊致子 集. 六、證明題(每題 8分) 1、設(shè)f：X Y是從連通空間 X到拓?fù)淇臻g丫的一個(gè)連續(xù)映射則f(X)是丫的一個(gè)連通子集. 證明：如果f (X)是丫的一個(gè)不連通子集，則存在丫的非空隔離子集代B使得 f (X) =A 一 B 3分 于是f J(A), f J(B)是X的非空子集，并且： (f-(Ap f(B). (f(Bp f (A) (

40、f (Ar f(B) 一(f(B廠十(A) 二 f，(A - B) 一(A - B)= 所 以 (A), f(B) 是 X 的 非 空 隔 離 子集此 外， f (A) f(B)二f(A B) = f (f (X) =X ,這說明X不連通，矛盾.從而f(X)是丫的一個(gè) 連通子集 8分 2、 設(shè)丫是拓?fù)淇臻g X的一個(gè)連通子集，證明：如果A和B是X的兩個(gè)無交的開集使得 Y A-. B, 則或者丫 A,或者丫 :_ B . 證明：因?yàn)锳,B是X的開集，從而 A Y, B Y是子空間Y的開集 又因 Y A_.B 中，故 Y =(A Y) 一(BY) 4分 由于Y是X的連通子集，則A Y , Y中必有一

41、個(gè)是空集若B Y =:,則Y A ;若 A Y=,則Y B 8分 3、 設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，證明：如果A和B是X的兩個(gè)無交的閉集使得 丫 A- B, 貝U或者丫二A,或者丫 B . 證明：因?yàn)锳,B是X的閉集，從而 AYBY是子空間Y的閉集 又因 Y A- B 中，故 Y =(A - Y) 一(B - Y) 4分 由于Y是X的連通子集，則A Y, Y中必有一個(gè)是空集若BY二；:,則Y A ;若 A Y=,則Y B 8分 4、 設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，Z X滿足丫 Z Y，則Z也是X的一個(gè)連通子集 證明：若Z是X的一個(gè)不連通子集，則在X中有非空的隔離子集代B使得Z = A_

42、B.因此 Y A B 3 分 由于丫是連通的，所以丫二A或者丫二B ,如果丫二A,由于Z二Y二A ,所以Z - B A - B =-, 因此Z - B =,同理可證如果 丫 B，則A二二均與假設(shè)矛盾.故Z也是X的一個(gè)連通子 集 8分 5、 設(shè)是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族 如果n ,則U Y是X的一個(gè)連 通子集 證明：若 U Y 是X的一個(gè)不連通子集則X有非空的隔離子集代B使得 U 丫二 A_. B 4 分 任意選取x.Y ,不失一般性，設(shè)x A,對(duì)于每一個(gè)三，由于Y連通，從而U Y A及 B二,矛盾, 所以U Y是連通的 8分 6、 設(shè)A是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，B是X的一個(gè)既開又

43、閉的集合證明：如果AB = r則A B 證明：若B = X ,則結(jié)論顯然成立 下設(shè)B = X ,由于B是X的一個(gè)既開又閉的集合，從而AB是X的子空間A的一個(gè)既開又閉的子 集 4分 由于A B = 及A連通，所以A - B二A，故A B 8分 7、 設(shè)A是連通空間X的非空真子集證明:A的邊界；:(AH 證明：若(A)二,由于：(A)二A - - A ：從而 =4一A(A- - A -廠(A _ A ) =(A- - A) 一(AA _), 故A , A是X的隔離子集 4分 因?yàn)锳是X的非空真子集，所以A和A均非空，于是X不連通，與題設(shè)矛盾所以 A) = 8分 8、 設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可

44、數(shù)補(bǔ)空間證明X不滿足第一可數(shù)性公理 證明：若X滿足第一可數(shù)公理，則在 X X處，有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為 V x ,因?yàn)閄是可數(shù)補(bǔ)空間， 因此對(duì)一討 X,y = x,X - y是x的一個(gè)開鄰域，從而Vy Vx，使得Vy X - y r 于是y Vy , 4分 由上面的討論我們知道： X -xpyVy yX%xyX%y 因?yàn)閄 - X 是- -個(gè)不可數(shù)集，而Vu是一個(gè)可數(shù)集，矛盾 伴- X 從而X不滿足第一可數(shù)性公理8分 9、 設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間證明：X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若X滿足第一可數(shù)公理，則在 X X處，有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為 V x ,因?yàn)閄是有限補(bǔ)空間，

45、 因此對(duì)-y X, y = x, X - y是x的一個(gè)開鄰域，從而Vy Vx，使得VyX - y r 于是y Vy, 4分 由上面的討論我們知道： X-xHy Vy y XJxy xjy F 因?yàn)閄 -x 是- -個(gè)不可數(shù)集，而Vu是一個(gè)可數(shù)集，矛盾 件4 x 從而X不滿足第一可數(shù)性公理 8分 10、 設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f :X Y是一個(gè)滿的連續(xù)開映射 X滿足第二可數(shù)性公理，證明：Y也 滿足第二可數(shù)性公理 證明：設(shè)X滿足第二可 數(shù)性公理，B是它的一個(gè) 可數(shù)基由于f : X Y是一個(gè)開 映射， B$二 f (B) | B B 是 由 Y 中 開 集 構(gòu) 成 的一個(gè) 可 數(shù) 族 3分 下面證

46、明 B是Y的一個(gè)基設(shè)U是Y的任意開集，則f(U)是X中的一個(gè)開集因此存在B 1 B , 使得f(U )二|Jb b . B 由于f是一個(gè)滿射，所以有 U = f (f(U )f(B),從而U是B中 B勺i 某些元素的并，故 B是Y的一個(gè)基這說明Y也滿足第二可數(shù)性公理8分 11、 設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : X Y是一個(gè)滿的連續(xù)開映射 X滿足第一可數(shù)性公理，證明：Y也 滿足第一可數(shù)性公理 證明：對(duì)一y Y ,由于f : X Y是一個(gè)滿射，所以存在 x X ,使得f (X) = y ,由于X滿足第一可 數(shù)性公理，故在點(diǎn)x處存在一個(gè)可數(shù)鄰域基，設(shè)為Vx,又由于f:XY是一個(gè)開映射，則 Vy二f(

47、V)|VVx是丫中點(diǎn)y的一個(gè)可數(shù)鄰域族 3分 下面證明V$是丫中點(diǎn)y的一個(gè)鄰域基設(shè)U是丫中點(diǎn)y的任意鄰域，貝y f J(U)是X中點(diǎn)x的一個(gè)鄰 域因此存在VVx,使得V f(U).因此f(V) U ,從而Vy是丫中點(diǎn)y的一個(gè)鄰域基這說明 丫也滿足第一可數(shù)性公理 12、A是滿足第二可數(shù)性公理空間X的一個(gè)不可數(shù)集。求證：A至少有一個(gè)凝聚點(diǎn) 證明：若A沒有凝聚點(diǎn)，則對(duì)任 x三A, 定存在x的一個(gè)鄰域 Ux 使得：Ux A二x,由于X滿足第二可數(shù)性公理，設(shè) B是它的可數(shù)基，故一定存在一個(gè)B x B 使得: xBxU 更有 Bx A=x, 若令 C= Bx I x A Bx B, Bx Ux ,則有 C

48、 B ,從而 C必可數(shù).于是 A =x=(Bx A).這樣A就是可數(shù)集，這與題設(shè) A為不可數(shù)集相矛盾，故A至少有一個(gè)凝聚 x ：zABx :-C 點(diǎn) 8分 13、證明滿足第二可數(shù)性公理的空間中每一個(gè)由兩兩無交的開集構(gòu)成的集族都是可數(shù)族 證明：設(shè)A是滿足第二可數(shù)性公理的空間X中由兩兩無交的開集構(gòu)成的集族，由于X滿足第二可數(shù) 性公理， 設(shè)B是X的可數(shù)基 3分 對(duì)A的每一個(gè)元素 A ,因?yàn)锽是X的基，存在B B使得B A.因?yàn)锳中的元素兩兩無交，從而 A 中不同元素包含B 中的元素也不相同因?yàn)锽 可數(shù)，故 A 是可數(shù) 族 8分 14、 設(shè)X是一個(gè)空間，A X,x d(A),證明：x的每一個(gè)鄰域U中都

49、含有A中的無限多個(gè)點(diǎn) 證明：設(shè)xd(A)，若x有一個(gè)開鄰域U含有A中的有限多個(gè)點(diǎn)，設(shè) B二U -A-x,則B是一個(gè) 有限集，從而B是一個(gè)閉集，故U-B是一個(gè)開集且是x的一個(gè)開鄰 域 4分 又易知(U - B) (A - x ),從而x d(A),矛盾故U含有A中的無限多個(gè) 占 八、- 15、設(shè)X是一個(gè)空間，A二X , x d(A),證明：對(duì)x的每一個(gè)鄰域U有U A是無限集 證明：設(shè)d(A)，若x有一個(gè)開鄰域U含有A中的有限多個(gè)點(diǎn)，設(shè) B=U - A-x,則B是一個(gè) 有限集，從而B是一個(gè)閉集，故U-B是一個(gè)開集且是x的一個(gè)開鄰 域 4分 又易知(U - B)， (A- x =從而d(A), 矛盾

50、故U - A是無限 集 8分 16、設(shè)xj是T2空間X的一個(gè)收斂序列，證明：人的極限點(diǎn)唯一 證明：若極限點(diǎn)不唯一, 不妨設(shè)lim Xj二, lim片二y2,其中 yr y,由于X是T2空間, 故y1和y2 各自的開鄰域U ,V，使得U7二.因lim_ x二如，故存在Nj 0 ,使得當(dāng)時(shí)，x U ；同 理存在N2 0 ,使得當(dāng)i N2時(shí)，人 V 令N二maxNi, N2,則當(dāng)i N時(shí)，xU V，從而U V八,矛盾，故x,的極限點(diǎn)唯 一 8 分 17、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，證明X是hausdorff 空間當(dāng)且僅當(dāng)積空間X X的對(duì)角線 .： 乂（x ,x ） X X |x 是一個(gè)閉集 證明：充分性：對(duì)

51、任意x, r X,x = y，于是（x, y） .，由于厶是閉集，所以是開集，從而有 X 的開鄰域U,V使得（x, y）U V .：，于是U,V分別是x,y的開鄰域，且U、V = ，從而X是 Hausdorff 空間 4 分 必要性：若 X是hausdo市 空間，對(duì)-（x, y）三 ，則x和y分別有開鄰域U ,V，使得U V = , 從而（x,y）U V .：,由于U V是X X中的開集，所以是其每一點(diǎn)的鄰域， 故.是開集， 從而厶是閉集 8分 18、設(shè)X是Hausdo市 空間，f : X X是連續(xù)映射證明A二xX | f（x）二x是X的閉子集 證明：對(duì)于-x A ,貝U f （x） =x ,

52、從而f （x）, x有互不相交的開鄰域U和V ,設(shè) W = f（U） - V , 4分 則W是x的開鄰域，并且 x W A ,故A是開集， 從而A是閉集 8分 19、設(shè)X是一個(gè)正則空間，A是X的閉子集，X A，證明：x和A分別有開鄰域U和V使得U 證明：由于X是一個(gè)正則空間，從而 x和A分別有開鄰域 W和V使得WY二，故V W , 因此V - 4分 又由正則空間的性質(zhì)知：存在 x 的開鄰域 U 使得U W ,從而 U V = 8 分 20、設(shè)X是一個(gè)正規(guī)空間， A , B是X的兩個(gè)無交的閉子集證明：A和B分別有開鄰域 U和V使得 證明：由于X是一個(gè)正規(guī)空間，從而 A和B分別有開鄰域 W和 V使

53、得W V = ,故V W , 因此V W 4分 由正規(guī)空間的性質(zhì)知：存在 A 的開鄰域 U使得U W ,從而 V = 8分 21、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，0,1是閉區(qū)間，若對(duì) X的任何兩個(gè)無交的閉集A, B都存在一個(gè)連續(xù)映射 f : X 0,1,使得當(dāng)x A時(shí)，f(x)=O,當(dāng)x- B時(shí)，f(x)=1.證明：X是一個(gè)正規(guī)空間 證明：設(shè)A, B是X的任意兩個(gè)無交的閉集，由題意知存在一個(gè)連續(xù)映射f:X 0,1,使得當(dāng)x. A 時(shí)，f (x) =0,當(dāng) x B 時(shí)，f (x) =1. 設(shè) U = f(0,0.5) , V = f J(0.5,1) , 4分 易知U ,V 分別是 A和 B的開鄰域且U -

54、 V =從而 X 是一個(gè)正規(guī)空 間 8分 22、證明T4空間中任何一個(gè)連通子集如果包含著多于一個(gè)點(diǎn)，則它一定是一個(gè)不可數(shù)集 證明：設(shè)C是T4空間X中的一個(gè)連通子集，如果 C不只包含一個(gè)點(diǎn)，任意選取 x,y C,x= y .對(duì) 于T4空間X中的兩個(gè)無交的閉集x, y,應(yīng)用Urysohn引理可見，存在一個(gè)連續(xù)映射 f : X 0,1，使得 f(x)=0 和 f(y)=1. 4 分 由于C是X的一個(gè)連通子集，從而f (C)連通，由于0,1 f(C), 所以f(C 0 ,由于0,1是一個(gè)不可數(shù)集，所以C也是一個(gè)不可數(shù) 集 8分 23、 X是T4空間，B為X的一個(gè)拓?fù)浠?，則對(duì)于每一個(gè)B B及x B,都有

55、一個(gè)B B使得瓦B. 證明：X是T4空間，必為的正規(guī)空間，對(duì)任意X,x為閉集. 對(duì)于BB且xBB就是x的一個(gè)開鄰域.由于X為正規(guī)空間，必存在x的一個(gè)開鄰域 U使得 U B . 4分 U也是x的開鄰域，一定存在一個(gè)B X是一個(gè)連續(xù)映射，且ff 證明：f (X)是X的閉集. 證明：對(duì)-x X - f (X)，則f (x) = x,由于X是Hausdorff空間，存在x和f (x)的鄰域U1 ,V , 使得5 V $；.又因?yàn)閒連續(xù)，故存在x的鄰域U 2,使得f (U 2) V ,令U = U勺U 2,則U是 x的鄰域，且U X - f (X ) 4分 事實(shí)上，若存在 Z- U 使得 z- f (X

56、),即 y X 使得 z=- f(y).于是 f (z) = f C f ( y) = f (y) = z , 而 f (z) f(U) V , 這樣,z U V U“ V =；i,矛盾所以U X_f(X),即f(X) 是閉 集 8分 25、 設(shè)X是Ti空間，A是X的至少含有兩點(diǎn)的連通子集，貝UA定是無 限集. 證明：若A為有限集，設(shè)a,bA且a = b,由于X為T1空間，于是a與A-a就是X的閉集且a- (A- a) = 及 A a = ，4 分 從而，A=a 一(A a),故A不是X的連通子集這與題設(shè)相矛盾，所以A必為無限 集 8分 26、 如果拓?fù)淇臻g的每一個(gè)緊致子集都是閉集，則X的每個(gè)

57、收斂序列xi的極限點(diǎn)唯一 證明：因?yàn)閱吸c(diǎn)集總是緊致子集， 從而拓?fù)淇臻gX的每一個(gè)單點(diǎn)集是閉集， 故X是T1空間，若xi的 極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè)收斂到a,b,a = b 易知X -b是包含a的開鄰域，因此它包含序列xi的幾乎 所有項(xiàng)，也就是說x只有有限項(xiàng)為 b 4分 設(shè)A =焉|焉Hbua,則A是緊致子集，從而是閉集故A是b的一個(gè)開鄰域，它最多只能含人 的有限多項(xiàng)，從而b不是xi的極限點(diǎn)，矛盾從而X的每個(gè)收斂序列xd的極限點(diǎn)唯一 8分 27、 設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : XY是一個(gè)連續(xù)映射如果A是X的一個(gè)緊致子集，證明f (A)是Y 的一個(gè)緊致子集 證明：設(shè)C是f (A)的一個(gè)由Y中的開集構(gòu)

58、成的覆蓋對(duì)于任意C C , f(C)是X中的一個(gè)開集， 由于U運(yùn)C二f(A)，從而有： U f(C)= fpC)二 f(f(A)二 A C-Cc 土 所以A= f tC) |C C是一個(gè)由X中的開集構(gòu)成的 A的覆蓋由于A是X的一個(gè)緊致子集，所以A 有一個(gè)有限子族，設(shè)為 f J(Ci)JII, f J(Cn)覆蓋A. 4分 因?yàn)?f(Ci2 川uf(Cn)=f(Ci5l2Cn)=A，從而 Ci5l2Cn= f(A)，即C,川Cn 是 C的一個(gè)子族并且覆蓋 f(A)，因此f(A)是Y的一個(gè)緊致子集 8分 28、 設(shè)X是一個(gè)正則空間，A是X的一個(gè)緊致子集， Y X 證明：如果 A二丫二A,則Y也是X的一 個(gè)緊致子集 證明：設(shè)A是任意一個(gè)由 X中的開集構(gòu)成的 Y的覆蓋，因此 A也是A的一個(gè)覆蓋，由于 A是X的緊致 n 子集，從而A有有限個(gè)成員 A1/ , An使得Aj二A. 4分 in _ nn_ 由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個(gè)開鄰域U，使得UAi ,從而有 Aj二A二Y, i =1i =1 從而A有有限子覆蓋AAn，因此Y是X