固定收益證券定價(第六講)

1、固定收益證券定價（四）在實際的投資交易中，會遇到很多含權債券，例如可贖回債券、可轉換債券、抵押債券等等，債券中所含的期權對于債券定價會有很大的影響。含權債券定價的一般方法期權定義及其特征期權是一種選擇的權利，它授予期權購買者在特定的時間以確定的價格向期權賣出者購 買或者出售一定數量某種資產的權利。期權購買者可以執(zhí)行期權， 也可以不執(zhí)行期權，而一旦期權執(zhí)行，那么期權的出售者必 須履行合約上指定的義務。投資者由于取得期權而付出的費用稱為期權的價格，在期權合約中規(guī)定的買賣資產的價格稱為執(zhí)行價格，期權失效的時間稱為到期日。如果期權只能在到期日執(zhí)行，稱為歐式期權；如果期權在到期日之前的任何有效時間都可以

2、執(zhí)行，稱為美式期權? 期權有兩種基本的類型：看漲期權和看跌期權?？礉q期權是指可以在特定的時間以確定的價格買入一定數量某種資產的權利?？吹?期權是指可以在特定的時間以確定的價格賣出一定數量某種資產的權利。從回避風險角度來看，看漲期權可以使得期權持有者能夠鎖定未來資產的購買價格， 從而有效地回避了未來資產價格上漲帶來的風險。? 看跌期權則可以使期權持有者能夠鎖定未來資產的賣出價格，可以回避未來資產價 格下跌帶來的風險【例】某投資者未來 1年后需要購買債券 A，購買價格不能超過 110元，投資者可以買入 1 年期以債券A為標的的看漲期權，執(zhí)行價格為110元。? 當1年后債券A價格上漲到110元以上時

3、，投資者還是可以以執(zhí)行價格110元購買債券A，對于債券價格的上漲風險進行了有效的規(guī)避?！纠磕惩顿Y者未來 1年后需要購買債券 A，購買價格不能超過 110元，投資者可以買入 1 年期以債券A為標的的看漲期權，執(zhí)行價格為110元。? 當1年后債券A價格上漲到110元以上時，投資者還是可以以執(zhí)行價格110元購買債券A，對于債券價格的上漲風險進行了有效的規(guī)避。以歐式期權為例，四種期權頭寸的損益情況（損益不包括購買期權的費用 ）。喪莎看探朋權譽頭旳掾益為- jFC , O冋樣看詵朋權斗頭旳拒益為minC 一 S t , O ）宥跌朗枚茅挾:的懾盔為 St , Omin （ St , O對于期權空頭來說

4、，其收益最大不超過期權的價格。對于看漲期權空頭來說，其損失是 隨著到期日資產價格增加而增加的；對于看跌期權空頭來說， 其損失是隨著到期日資產價格下跌而增加的。由于期權只是一種衍生品.和股票債券等資產不一樣，除了交易雙方，并沒有其他現金流入，因此期權交易雙方的損益之和是等于零的，也就是說，空頭的虧損金額總是等于多頭期權的定價原理期權的價格包括兩部分：期權的內在價值、期權的時間價值。內在價值：期權立即執(zhí)行時的收益和零之間的最大值當期權立即執(zhí)行時收益為正時，內在價值等于該收益；當期權立即執(zhí)行時收益為負時，內在價值等于零? 實值期權：立即執(zhí)行收益為正的期權? 虛值期權：立即執(zhí)行收益為負的期權? 兩平期

5、權：立即執(zhí)行收益為零的期權期權的價格一般要大于期權的內在價值，因為如果期權的價格小于其內在價值的話，那么投資者可以買入期權.然后執(zhí)行期權可得到大于期權價格的收入，這樣投資者就可以獲得無風險的利潤，這種情況在有效市場中是不可能存在的。期權價格和期權的內在價值之間的差值就是期權的時間價值。時間價值實際上是期權購買者為什么持有期權的理由，如果期權沒有時間價值，那么投 資者不可能持有虛值期權，當期權為虛值和兩平期權的時候內在價值為零，所以此時期權的時間價值就等于期權的 價格。期權(以固定收益證券為標的物)價格主要受下面的因素影響：(1) 標的債券的現價(2) 執(zhí)行價格；(3) 到期時間；(4) 期權期

6、限內的無風險利率；(5) 債券息票利率；(6) 期權期限內預期的利率波動率。 債券的現價和執(zhí)行價格反映了債權的內在價值。? 對于看漲期權來說，債券的現價越高，內在價值越大，期權的價格越高；? 對于看跌期權來說，債券的現價越低，內在價值越大，期權的價格越高。到期期限對于歐式期權和美式期權價格的影響是不同的。對于歐式期權來說，出于期權的執(zhí)行時間只能為到期日所以到期期限對價格的影響沒有特定的規(guī)律；對于美式期權，由于到期時間越長，投資者獲得更大的收益的可能性就越大，所以期權 的價格越高。其他條件不變時，當市場的無風險利率增加的時候，會產生兩種效應：? 一是資產的價格增長率（即收益率）傾向于增加? 二是

7、期權的持有者未來的現金流的現值將減少。這兩種效應都會使得看跌期權的價 格減少。對于看漲期權來說，第一種效應將會使得期權價格升高，第二種效應將會使得期權價格減少，但是第一種效應起主導作用，因此看漲期權的價格將升高。其他條件不變時.債券的息票利率越大， 利息支付后債券價格降低得越多，那么看跌期權的價格會升高，而看漲期權的價格會降低。如果利率的波動性增加，那么債券的價格上升很高和下降很低的可能性都會增加，對于看漲期權的持有人來說，將從債券價格上升中獲利，債券價格下跌時其最大的損失等于期權 的價格。對于看跌期權的持有人來說，將從債券價格下跌中獲利，債券價格上升時其最大的損失 也等于期權的價格這就是說，

8、利率的波動率增大可以增加期權多頭獲利的可能性，這將導致期權的價格的增加。期權定價的理論公式是建立在套利定價的基礎上的，通過構造無套利的資產組合、可以對期權進行定價。期權定價方法有解析方法和數值方法兩種。解析方法中最經典的是 Blackscholes模型，數值方法有二叉樹方法、蒙特卡羅方法和有限差分法。Black scholes模型假設資產的價格分布服從對數正態(tài)過程（指價格的自然對數服從正態(tài)分布 ），這意味著資產的價格可能到達任何正值。但是對于債券來講，其價格不可能大于其所有利息和到期償還價值之和，除非存在負的利率，這顯然是不大可能發(fā)生的。Blackscholes模型無法限制債券價格的大小不超過

9、其最大值，因此在對以債券為標的物的期權進行定價的時候會有很大的局限性。根據期權定價模型，可以求得期權理論價格對各個影響因素的敏感性。般我們考慮三個因素：標的債券價格，到期時間，預期利率波動率。? 標的債券價格超過執(zhí)行價格E的那一部分就是期權的內在價值。? 內在價值應該為一條 45的直線（直線方程為內在價值=標的債券價格E）。?當標的債券價格小于執(zhí)行價格 E的時候，期權的內在價值為零。? 期權理論價格和內在價值之間的差就是期權的時間價值，期權的內在價值越大，期權的理論價格就越接近于其內在價值，從圖中兩條曲線之間的距離的變化可以看到 這一點。? 圖中期權理論價格曲線的切線就是期權理論價格對于標的債

10、券價格的敏感性，反映 了標的債券價格變動對期權價格的影響，即期權價格對標的債券價格的一階導數。令D加疇 其中C為期權價林P為標的債券的怖 曲即為圖問中切線的斜甕? 當標的債券價格遠遠小于執(zhí)行價格時，即期權處于深度虛值時，Delta(切線的斜率)幾乎等于零，因為在這種情況下內在價值為零，期權的價格等于時間價值，標的債 券價格變化的時候對期權價格的影響很小。? 當標的債券價格遠遠大于執(zhí)行價格時，即期權處于深度實值時，Delta接近于I，因為此時內在價值很大，占期權價格的絕大部分比率、標的債券價格的變動幾乎就等 于期權價格的變動? 期權的Delta值在0 1之間變動，深度虛值期權的Delta接近于零

11、，平價期權的Delta 近似等于0. 5,深度實值期校的Delta接近于1尸 Q標的債券價桔 5 3刮t期板的值般還用另外一個指標來衡垠標的債券價格対朋權價格的觀響，即債 券價格變謹】的時侯*期權價格變動的百分LambdaA)o用公我如艇面的章節(jié)所迅，債券價屬劉十收益率的二【如導數稔為哉券的門度 期叔對亍標的債券價格的一：阱尋數冋杠也稱為期權的凸度，石y直來本示到垮:時間對尸期權價整的影響月丁仏Z ( (?)來表靈：由于到期時間越快，標的債券的價格往有利于授協者方法變動的可能 性就越大，那么期權的價格就越高i反之到期時間越新期權的價格越低和 因此。幾乎都是負值。利率波動率對于期權價格的塞響用K

12、appa(K)來表示;其中口為利率的標準差、用來表示利率的波動率前面提列利車波動率越大期權的價格越高，所以K是大于零的=債券用久期來表示價格對千收益率變化的敏博性，標的資產為懺券的 期權的久期可以用債券的久期來表示；期權的久期=標的債券的修TE久期)XSX (標*欝需幫格)(6.5)采用微積分里面的讎式法則可以很容曷地證明上面的公式口dC dC dP 1一石2而X石X芒十(警)50修正久期X占X (自我們稱P/C為期權的杠桿tt$5可以這樣來理解:某期權的價格為& 元，標的債券的價格為110兀，那幺斎味著付出咅元的費用，莽收益是價將 為110元的債券價格變動所帶來的如果直接購買債券，必級忖出1

13、】。元才 能獲得同樣的收益，期權就起到了杠桿的作用“對于具有相同到期日、相同標的慣労、相同執(zhí)行價格的歐式看鍛期權和 歐式看跌期權，具有下面的平價公式；看跌期權價格冷 標的債券價培=看漲期權價格+執(zhí)行價格的現值十票面利息的現值(乳。我們令JV為看漲期叔價格F為看跌期杈的價格、執(zhí)行價格為匕票 樹利息的現賣為cF .標的憤券價培為p5朋權到期口標的債券的價格為 Pt.那么我們構造下面兩個組合：俎合輕歐戎看漲期權+執(zhí)行價格現值和票面利息現僮的現金 組合d鉗歐式石跌雉權十一他慣券當期權到期的時候，根據前面的歐式看漲期權的損益公式6. 1，可以得到：到絆L合國的價信為票面利息終値加h max(, KXma

14、xCP. K, O) + K) 同杠，根裾歐式看跣期權的損益會式乩乩組合B的枷伍為粟面利息的終怛 加卜mE.x(P； , K) 求導數.円 以得到尹尸色丄- 凸異-1丄一刀DwcPg （-器）込a2 P啟.T 冷 -&） -f-lzd3 Pg f 1一占一一君、一CDg嚴r*紅7（丄巧口毗： i -一嚴尸加那么有Conc（1 一古一。汕護沖7得到劉L 10%呂匹期即期利率設為用、刈于3年朋他弄來說每年支忖局聽為去60 匸J有4. 60_燭 丁 + 咖丄4,0 = -)(1亠工阻必)U +4. 1仃騎十1 +恥尸丄W兀得到 yt = 4-%? 利用遠期利率和即期利率的關系式，可計算各期的隱含遠期

15、利率。? 1年期的遠期利率就等于 3. 6%, 1年后的1年期隱含遠期利率設為 fl .那么有i.-F 3.4- LyL) = ：1 H- 4, IO% )s得到 i/Y = 4. 60%牛年后的1年期隱為遠潮利卒設為：/_那么有1 -H 3, 60% XI + 吐.60? )C 1 -+ 2 jfi ) ( 1 H 4* 6甘 ) 得到工手 j 5V0 %-現在分別利用即期利率和遠期利率對某不含期權的耳年朗舉崗利率為 &站旳熾養(yǎng)進行宦價1)以各堆即期利率為貼現率可以得到債券前價格為嶺.2弓(L 2E10S, 25丄七工50% )十口 + h也先嚴十。亠L石:? ”(2)以賂含遠期利簾為帖規(guī)率

16、可以得到債券的枷格為匕朗 ,色2 5 _ +SO%) ?! + 1 O(1 +60 )(14豆6玄沢44.曲瑋)L J 7U沼)=縱兀106.25當對含期權的債券進行定價的時候，因為債券未來的現金流是不確定的， 與利率的變動有關,所以有必要對利率的波動性進行研究。首先介紹在期權定價中常用的工具 一一二叉樹，將其應用在債券的定價中，我們稱為利 率二叉樹。利率二叉樹用來描述基于某種利率波動模型上的各期的遠期利率。ffl利章二更搠? 二叉樹假定利率只有兩個變動的方向：用向上的箭頭表示利率增加，用向下的箭頭表示利率減少而且增大和減少的概率在 每次變動的時候都是一樣的。? 下標u表示和上一個節(jié)點相比，利

17、率是上升的；下標d表示和上一個節(jié)點相比，利率是下降的。? 圖中每一個節(jié)點都表示利率變動的一種結果，利率都是指從前一個節(jié)點到當前節(jié)點 之間的遠期利率假設兩個節(jié)點之間的時閆為1年，那憶N対表示1年后的1年期遠貳 利率為初始利率下降兩次得到的口一般我忙!假設利率的運動服從對數証態(tài)過程即利電的対數服從正態(tài)啜 布,且假設其方差（波動率）不隨琶同變化、每灰上升后的利率和下隆后的利潯 的比為占，稱西為利率勝波動率,反映利堡的波動性。如圖中的入土詁。在統計學屮，隨肌變呈的加準差也是用來表示波動大小的*那么彼功 率和標準苯有什么關系呢？根擁函數b在工=0點的一階事暇展開式可以知道事十1 + 2兒那 么1年翩的遠

18、期劇率變動的標準趙為仝尹 =* 蓮然利率的波功率是 指單也利率的標準差。設波動率為10,1年期和褰為8X*J么1年期遠 期利率的標準*0,8%.二叉州中的毎個節(jié)心都表示一種利率變化的可能性，在節(jié)點處利率是 確定的j那么,如何計算在節(jié)點處的債券價慳呢？莊例6-5可以知道，慣券的價格等于同時喬的現金沆的粘現值。如在 ffi 豐，要確定節(jié)譏M處債券的價格需要知道節(jié)點N-和節(jié)點Ne處 時債券價格，因為債券的現金流為節(jié)點川釣處詢債券價格加上利息或者節(jié) 點N辺處的債券價格加利息“每個節(jié)點可以有兩笙現金流，那么就雷要 對兩菩現金流求期望宣。握為一叉樹最后的節(jié)點上的現金流是胸宦的，所以可以制用活直肉節(jié) 點來計

19、算前面節(jié)點葩憤券價格.然后依次的逆推出各個節(jié)點的怖格口以節(jié)點汕處的像券價搟計算為例=利冃仃點Z處飯遠薙利率g可 陰得到現金詭的現蚯為未來遠期利率卜升哲最券的現值=令土1十口未來遠期和率下降時債券的現值=冬J 那么節(jié)點Nu處債巻的價旌為兩者的期荃值腳 寺（備嚴+磊乎L珂一以看出二皿定價需要確定各個節(jié)點上的遠期科率，節(jié)點上的遠期? 利率確定下來就可以構建出完整的二叉樹。下面以例6 5中的債券為例來說明二叉樹的具體構建過程。假設波動率為10%以息票率為4.1 %的債券來構造二叉樹， 初始利率為1年期利率3.6%。V 100C4. 1根據前面所述的一叉耐求債券價格的方怯可以知道:如果知灌利率 口，就可

20、以知道毎個節(jié)點的被券的價悔而ra的選取則要満足便節(jié)點N*處 現金流的現值和處現金流的現值的期望值等于節(jié)點N處的憤券價格少 一般采用試儲法來確定和的值。先假設一個值，計算得到的節(jié)點N處 的債券價格,然后和實際債券價格相比較，如果人于實際價格那么說明冷 的值取導太小，將其后再重新計算債券價格。這樣反復計算I知道 計算出來的債券價格等于實際的價格為止，見圖6-60首先我們取r為41%,得到圖 JPB 474, 1%時:L買對精況出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣