第17講自主招生數(shù)學(xué)試題中的不等式證明

1、 第十七講:不等式證明 1 第十七講:自主招生數(shù)學(xué)試題中的不等式證明楊老師專論（電話號碼：2078159；手機號碼 不等式的證明(包括多元函數(shù)的最值):在高考中,主要與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列綜合,單純的不等式證明屬于選考;在聯(lián)賽中,不等式證明是聯(lián)賽中的重點題型,并且可能出現(xiàn)在一試,或二試中;在自招中,不等式的證明是重點、難點問題,其難度不底于聯(lián)賽一試中的不等式難度. .知識拓展 加權(quán)琴生不等式:如果函數(shù)f(x)在d內(nèi)是凸函數(shù),且=1,則x1,x2,xnd,不等式f()恒成立;如果f(x)在d內(nèi)是凹函數(shù),則x1,x2,xnd,不等式f()恒成立. .歸類分析 1.分析法:例1:(2

2、001年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)證明:方程x3-2y2=1的任一組整數(shù)解(x,y)(y0)都滿足:|-|.解析: 由x3-2y2=1()3-()3=(-)()2+()2=|-|()2+()2|=|;所以,|-|14(+)2+()214(+)2+3()21成立.練習(xí)1:1.(2009年中科大保送生考試數(shù)學(xué)試題)求證:對x,yr,x2+y2+xy3(x+y-1)恒成立. (2008年浙江大學(xué)保送生考試試題)已知a、b、c是abc的三個內(nèi)角,求證:cosb+cosc+4sin. (2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西初賽試題)abc的三條邊長為a,b,c,證明:+2.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試

3、題)設(shè)x0,y0,nn+.求證:+. (2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)非負實數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2+abc=4,求證:0ab+bc+caabc2. (2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)設(shè)a,b,c是正整數(shù),關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實數(shù)根的絕對值均小于,求a+b+c的最小值. 2.均值不等式:例2:(2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)已知x、y、z0,a、b、c是x、y、z的一個排列.求證:+3.解析:由a、b、c是x、y、z的一個排列abc=xyz;由均值不等式得:+3=3.練習(xí)2:1.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西初賽試題)設(shè)a,b,c(1,

4、+),證明:2(+). (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)求最小的正實數(shù)k,使得不等式ab+bc+ca+k(+)9對所有的正實 2 第十七講:不等式證明 數(shù)a,b,c都成立. (2012年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試題)已知正實數(shù)x,y,z滿足9xyz+xy+yz+zx=4.求證:()xy+yz+zx;()x+y+z2.2.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)設(shè)三個正實數(shù)x、y、z.試求代數(shù)式的最大值. (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東初賽試題)設(shè)非負實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3.求s=(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)的最大值. (2006年全國

5、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)設(shè)x,y,z為正實數(shù),求函數(shù)f(x,y,z)=的最小值. 3.柯西不等式:例3:(2009年南京大學(xué)保送生考試試題)p為abc內(nèi)一點,它到三邊bc、ca、ab的距離分別為d1、d2、d3,s為abc的面積.求證:+(這里a、b、c分別表示bc、ca、ab的長).解析:因s=ad1+bd2+cd32s=ad1+bd2+cd3,所以,+2s(+)(a+b+c)2(ad1+bd2+cd3)(+)(a+b+c)2,而這恰有柯西不等式可得.練習(xí)3:1.(2000年上海交通大學(xué)保送生考試試題)證明:1+,x0,. (2010年浙江大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)小于1的正數(shù)x1,x2,xn

6、,滿足x1+x2+xn=1,求證:+4. (2008年南開大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a、b、c為正數(shù),且a+b+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值.2.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北初賽試題)設(shè)a,b,cr+,且+=3,求證:+,并指明等號成立的條件. (2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)設(shè)a,b,c,d為正實數(shù),且a+b+c+d=4.證明:+4+(a-b)2. (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題)已知1ai0,y0,z0,且xyz=1.證明:1+4.解析:首先證明:當x(0,1)時,4x;事實上,4x14x2-4x4(2x2-1)0,等號當且僅x=時成立;由此得:

7、4xi(i=1,2,n),這個不等式疊加得:+4(x1+x2+xn)=4,等號當且僅xi=時成立,這顯然不可能,故+4.練習(xí)5:1.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)已知x、y、z均為正數(shù).()求證:+;()若x+y+zxyz,求u=+的最小值. (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)()設(shè)x0,y0,求證:;()設(shè)x0,y0,z0,求證:+. (2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)若a,b,c(0,+),求證:+.2.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)已知三個正實數(shù)x、y、z滿足x+y+z+=16.求證:()+7;()+4+. (2008年南開大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a

8、、b、c為正數(shù),且a+b+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值. (2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)設(shè)x,y,z均取正實數(shù)且x+y+z=1,求三元函數(shù)f(x,y,z)=+的 4 第十七講:不等式證明 最小值,并給出證明. 6.求和法:例6:(2008年浙江大學(xué)保送生考試試題)已知a0,b0,求證:+=a1;當n2時,bn=-=(-),則bnan(-)(a+nb)(-)(a+nb)(-),由a+nb知只須證:-.事實上:-n2a+ba+b+(n-1)2a+b+2(n-1) 2a+(n+1)b2(n+1)22n+1.練習(xí)6:1.(2003年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)a1,a2

9、,an是各不相同的自然數(shù),2,求證:()+()+()2. (2004年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)求證:1+n+-(nn*). (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)對于任意的正整數(shù)n,證明:+. (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)把正整數(shù)數(shù)列1,2,3,中含有數(shù)字9的項都刪除掉,剩下的項按原次序組成一個數(shù)列,記作a1,a2,an,證明:+80. 7.函數(shù)法:例7:(2009年中科大保送生考試數(shù)學(xué)試題)求證:對x,yr,x2+y2+xy3(x+y-1)恒成立.解析:因x2+y2+xy3(x+y-1)x2+(y-3)x+y2-3y+30,令f(x)=x2+(y-3)x+y2-3y+3,則

10、f(x)的最小值=f(-)=- 第十七講:不等式證明 5 ()2+y2-3y+3=(y-1)20x2+y2+xy3(x+y-1).練習(xí)7:1.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津初賽試題)設(shè)a,b,c,d,e,f為實數(shù),且ax2+bx+c|dx2+ex+f|對任意實數(shù)x成立,證明:4acb2|4dfe2|. (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)設(shè)實數(shù)a,b,求證:+,其中等號當且僅當a=,b=,或a=,b=成立,為正實數(shù). (2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)已知a,b,c,1,求證:()+;().2.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北初賽試題)已知a,b1,3,a+b=4,求證:+.解

11、析:()由f(1)=1,f()=a+b=2,a+2b=3a=b=1f(x)=xn+1=(+1)-=(-1)-1=()n-1xn=;()由x1x2xn2eln+ln+lnln2+1;由=1+()n-1ln=ln(1+()n-1),由導(dǎo)數(shù)易證:ln(1+x)xln=ln(1+()n-1)()n-1,疊加得:ln+ln+lnln2+()n-1ln2+1. 練習(xí)8:1.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在區(qū)間0,n(nn*)上的最小值為bn,令an=ln(1+n)-bn,pk=(kn*),求證:p1+p2+pn-1. (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題

12、)已知f(x)=ex-x-1(e為自然對數(shù)的底數(shù)). 6 第十七講:不等式證明 ()求證:f(x)0恒成立;()求證:()n+()n+()n+()n0.()求a的值;()若對任意的x0,+),有f(x)kx2成立,求實數(shù)k的最小值;()證明:-ln(2n+1)3a. 9.凸凹函數(shù)法:例9:(2008年南開大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a、b、c為正數(shù),且a+b+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值.解析:令f(x)=(x+)2(x0),則(x)=2(x+)(1-)(x)=2(1-)2+4(x+)0f(x)為凹函數(shù),由琴生不等式得:f(a)+f(b)+f(c)3f()=3f()=(a+)

13、2+(b+)2+(c+)2,等號當a=b=c=時成立.練習(xí)9:1.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅初賽試題)設(shè)a1,a2,an為正數(shù),且a1+a2+an=1.求證:(a1+)2+(a2+)2+(an+)2. (1976年英國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)正數(shù)a1,a2,an之和為s,求證:,n2. (第2屆友誼杯國際數(shù)學(xué)邀請賽試題)設(shè)a、b、cr+,求證:+(a+b+c).2.(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北初賽試題)銳角abc的外心為o,o到三角形三邊距離分別為da,db,dc,如果三角形外接圓半徑為2,求dadbdc的最大值及最大值存在的條件. (中等數(shù)學(xué).2013年4期.數(shù)學(xué)奧林匹問題(初342)

14、如圖: co是銳角abc的外接圓,o1、o2、o3分別與abc的邊bc、 gca、ab切于中點d、e、f,分別與o切于點g、h、i,記o、o1、 d oo2、o3的面積分別為s、s1、s2、s3.證明:s1+s2+s3s. b a (2005年法國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)x,y,z都是正實數(shù),且x+y+z=1,求證:+. 10.數(shù)學(xué)歸納法:例10:(2002年上海交通大學(xué)保送生數(shù)學(xué)試題)用數(shù)學(xué)歸納法證明以下結(jié)論:1+2-(n2,nn*); 解析:當n=2時,1+2-1+2-成立;假設(shè)當n=k時,1+2-成立,即1+2-,則1+2-+=2-2-=2-,即當n=k+1時, 第十七講:不等式證明 7 不

15、等式成立,由數(shù)學(xué)校歸納法原理知:當n2時,1+2-成立;練習(xí)10:1.(2010年南開大學(xué)自主招生試題)求證:()n！()n(n2);()n！n！()n,當自然數(shù)n6時成立. (2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)求證:13,其中,n為任意正整數(shù).2.(1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知a,b為正數(shù),且+=1,試證:對每一個nn,(a+b)n-an-bn22n-2n+1. (2001年第42屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選題)設(shè)x1,x2,xn是任意正實數(shù).證明:+b3.一方面,由f(a1)=g(a1)+b1b2b3-a1a2a3=0,f(a3)=g(a3)+b1b2b3-a1a2a3=0g(a1

16、)=g(a3);另一方面,g(a1)=(a1-b1)(a1-b2)(a1-b3),g(a3)=(a3-b1)(a3-b2)(a3-b3),由a1b1b2b3g(a1)0;由a3b3b2b1g(a3)0.矛盾;(法二)若b1b2b3a1a2a3,則 y yf(x)與g(x)的圖像如圖:由圖知,a3b3; 若b1b2b3a1a2a3,則 a1 b1 b2 a2 a3 b3 x b1 a1 a2 b2 b3 a3 xf(x)與g(x)的圖像如圖:與a1b1矛盾,不合題意.練習(xí)11:1.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知實數(shù)x、y、z滿足:實數(shù)xyz,x+y+z=1,x2+y2+z2=3,求實數(shù)x

17、的取值范圍. (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)已知a,br,關(guān)于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個實根,求a2+b2的最小值. (1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)若a1+a2+an=1,證明:+.2.(1999年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足:a+b+c=1,求證:a2+b2+c2+21. (2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧初賽試題)設(shè)0、滿足:cos2+cos2+cos2+2coscoscos=1.求證:|+|,與已知a1a2an=矛盾,所以,假設(shè)錯誤,故a1,a2,an中至少有一個小于1.練習(xí)12:1.(2004年同濟大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題

18、)求證:對于任何實數(shù)a、b,三個數(shù)|a+b|、|a-b|、|1-a|中至少有一個不小于. (2003年湖南高中數(shù)學(xué)夏令營試題)證明:對任何實數(shù)x,y,z,下述三個不等式不可能同時成立:|x|y-z|,|y|z-x|,|z|x-y|. (中等數(shù)學(xué).2010年12期.數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題(136)已知正實數(shù)a、b、c滿足a+b+cabc,求證:在不等式:+6,+6,+6中,至少有兩個成立.2.(2004年塞黑數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a、b、c是實數(shù),且滿足abc=1.證明:2a-、2b-、2c-中最多有兩個數(shù)大于1. (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧初賽試題)設(shè)實數(shù)a、b滿足:3a+13b=17a,

19、5a+7b=11b.證明:aa2+b2+c2+d2.證明:abcda+b+c+d+8. 第十七講:不等式證明 1 第十七講:不等式證明楊老師專論（電話號碼：2078159；手機號碼 不等式的證明(包括多元函數(shù)的最值):在高考中,主要與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列綜合,單純的不等式證明屬于選考;在聯(lián)賽中,不等式證明是聯(lián)賽中的重點題型,并且可能出現(xiàn)在一試,或二試中;在自招中,不等式的證明是重點、難點問題,其難度不底于聯(lián)賽一試中的不等式難度. .知識拓展 加權(quán)琴生不等式:如果函數(shù)f(x)在d內(nèi)是凸函數(shù),且=1,則x1,x2,xnd,不等式f()恒成立;如果f(x)在d內(nèi)是凹函數(shù),則x1,x2

20、,xnd,不等式f()恒成立. .歸類分析 1.分析法:例1:(2001年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)證明:方程x3-2y2=1的任一組整數(shù)解(x,y)(y0)都滿足:|-|.解析: 由x3-2y2=1()3-()3=(-)()2+()2=|-|()2+()2|=|;所以,|-|14(+)2+()214(+)2+3()21,這顯然成立.練習(xí)1:1.(2009年中科大保送生考試數(shù)學(xué)試題)求證:對x,yr,x2+y2+xy3(x+y-1)恒成立. 解:(法一)x2+y2+xy3(x+y-1)2x2+2y2+2xy6(x+y-1)(x2-2x+1)+(y2-2y+1)+(x2+y2+2xy)-4(x+y

21、)+40(x-1)2+(y-1)2+(x+y-2)20;(法二)x2+y2+xy3(x+y-1)x2+(y-3)x+(y2-3y+3)0(x+)2-()2+(y2-3y+3)0(x+)2+(y-1)20; (2008年浙江大學(xué)保送生考試試題)已知a、b、c是abc的三個內(nèi)角,求證:cosb+cosc+4sin.解:cosb+cosc+4sin2coscos+4cos2coscos+4cos2coscos+4cos(cos0,cos0)cos2-2cos+10(cos-1)20. (2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西初賽試題)abc的三條邊長為a,b,c,證明:+解:由于+(注意:sin2a-sin

22、2b= 2 第十七講:不等式證明 -=(cos2b-cos2a)=-2sin(a+b)sin(b-a)=sincsin(a-b)|sin(a-b)|+|sin(b-c)|sin(c-a)|;而|sin(c-a)|=|sin(c-b)+(b-a)|=|sin(c-b)cos(b-a)+cos(c-b)sin(b-a)|sin(c-b)cos(b-a)|+|cos(c-b)sin(b-a)|sin(c-b)|+|sin(b-a)|=|sin(a-b)|+|sin(b-c)|,取等號當且僅當a=b=c,此時abc為正三角形,即a=b=c.2.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)設(shè)x0,y0,n

23、n+.求證:+.解:+(考慮到次數(shù)相等),故只須證:(1+x2)(1+y2)(1+xy)2,且xn(1+y2)+(1+x2)yn(xn+yn)(1+xy);而(1+x2)(1+y2)(1+xy)21+x2+y2+x2y21+2xy+x2y2x2+y22xy;xn(1+y2)+(1+x2)yn(xn+yn)(1+xy)xn+xny2+yn+x2ynxn+yn+xn+1y+xyn+1(x-y)(xny-xyn)0xy(x-y)(xn-1-yn-1)0. (2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)非負實數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2+abc=4,求證:0ab+bc+caabc2.解:易知a,b,c

24、中必有一個不超過1,不妨設(shè)a1,所以ab+bc+caabc=a(b+c)+bc(1a)0;另一方面,1a,1b,1c中必有兩個同號,不妨設(shè)(1b)(1c)0;由題設(shè)得a2+2bc+abc4bc(2+a)4a2bc2-aab+bc+caabcab+2a+ca(1b)=2+a(b+cbc1)=2a(1b)(1c)2. (2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)設(shè)a,b,c是正整數(shù),關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實數(shù)根的絕對值均小于,求a+b+c的最小值.解:設(shè)方程兩根分別為x1,、x2,則x1+x2=-0x10,x20;由|x1|,|x2|-x1,x26bcb6c6b7a+9c3b2

25、1a12a13;當a=13,14時,由3b26b=7,8,由知,只有b=8,c=1,不滿足;當a=15時,由3b30b=7,8,9,由知,只有b=8,9,c=1,不滿足;當a=16時,由3b0,a、b、c是x、y、z的一個排列.求證:+3.解析:由a、b、c是x、y、z的一個排列abc=xyz;由均值不等式得:+3=3.練習(xí)2:1.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西初賽試題)設(shè)a,b,c(1,+),證明:2(+).解:因a,b,c(1,+)logba,logcb,logac,都是正數(shù),并且它們的乘積等于1+3=2(+). (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)求最小的正實數(shù)k,使得不等式ab

26、+bc+ca+k(+)9對所有的正實數(shù)a,b,c都成立. 第十七講:不等式證明 3 解:當a=b=c=1時,可得k2;下面證明:不等式ab+bc+ca+2(+)9對所有的正實數(shù)a,b,c都成立.由平均不等式得ab+3=3,同理bc+3,ca+3,把上面三個不等式相加得ab+bc+ca+2(+)9,綜上,k的最小值為2. (2012年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試題)已知正實數(shù)x,y,z滿足9xyz+xy+yz+zx=4.求證:()xy+yz+zx;()x+y+z2.解:()由均值不等式得:(xyz)2=(xy)(yz)(zx)()3,設(shè)=t,則xy+yz+zx=3t2,xyzt3,由9xyz+

27、xy+yz+zx=49t3+3t24(3t-2)(3t2+3t+2)0txy+yz+zx;()由(x+y+z)23(xy+yz+zx)4x+y+z2.2.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)設(shè)三個正實數(shù)x、y、z.試求代數(shù)式的最大值.解:由16x+9+9=16x+(其中,ab=292,cde=393)16x+(ax+by)+(cx+dy+ez)=(16+a+c)x+(b+d)y+ez(令(16+a+c):(b+d):e=1:2:1a=9,b=54,c=9,d=54,e=233)=18(x+2y+z),當且僅當x:y:z=36:2:1時,等號成立最大值=18. (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

28、廣東初賽試題)設(shè)非負實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3.求s=(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)的最大值.解:不妨設(shè)abc,則b2-bc+c2b2,c2-ca+a2a2s=(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)(a2-ab+b2)b2a2=(a2-ab+b2)3=(a+b)6(a+b+c)6=13,其中等號當且僅當a=2,b=1,c=0時成立所以s的最大值為12. (2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)設(shè)x,y,z為正實數(shù),求函數(shù)f(x,y,z)=的最小值.解:在取定y的情況下,=8x+6y+44+6y+4=(+2)2,其中等號當且僅當x=時成

29、立;同樣,=6z+8y+34+8y+3=(2+)2,其中等號當且僅當z=z=時成立.所以,f(x,y,z)=(+7)2(2+7)2=194+112,其中等號當且僅當=,即y=時成立,故當x=,y=,z=時,f(x,y,z)取得最小值194+112. 3.柯西不等式:例3:(2009年南京大學(xué)保送生考試試題)p為abc內(nèi)一點,它到三邊bc、ca、ab的距離分別為d1、d2、d3,s為abc的面積.求證:+(這里a、b、c分別表示bc、ca、ab的長).解析:因s=ad1+bd2+cd32s=ad1+bd2+cd3,所以,+2s(+)(a+b+c)2(ad1+bd2+cd3)(+)(a+b+c)2

30、,而這恰有柯西不等式可得. 4 第十七講:不等式證明 練習(xí)3:1.(2000年上海交通大學(xué)保送生考試試題)證明:1+,x0,.解:由x0,sin2x,cos2x+sin2x+cos2x=1;又由柯西不等式:(+)4(12+12)(sinx+cosx)2=4(sinx+cosx)24(12+12)(sin2x+cos2x)=8+. (2010年浙江大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)小于1的正數(shù)x1,x2,xn,滿足x1+x2+xn=1,求證:+4.解:由xi(0,1)xixi3(x1+x2+xn)n24(n2). (2008年南開大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a、b、c為正數(shù),且a+b+c=1,求(a+)2+(b+

31、)2+(c+)2的最小值.解:由柯西不等式:(12+12+11)(a+)2+(b+)2+(c+)2(a+)+(b+)+(c+)2=(a+b+c+)2=(1+)2(a+)2+(b+)2+(c+)2(1+)2;又由柯西不等式:+=(a+b+c)(+)9(a+)2+(b+)2+(c+)2(1+)2,等號當且僅a=b=c=時成立.2.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北初賽試題)設(shè)a,b,cr+,且+=3,求證:+,并指明等號成立的條件.解:由柯西不等式得:2(3+a+b+c)(+)=(2+a+b)+(2+b+c)+(2+c+a)(+)(+)2=2(a+b+c)+2(+)=2(a+b+c)+2+2(a+b

32、+c)+2+=2(a+b+c)+2(b+)+(c+)+(a+)=3(a+b+c)+(+)2=3(3+a+b+c)+,等號成立條件是a=b=c=1. (2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)設(shè)a,b,c,d為正實數(shù),且a+b+c+d=4.證明:+4+(a-b)2.解:因+-4=+-(a+b+c+d)=(+b-2a)+(+c-2b)+(+d-2c)+(+a-2d)=(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2=(a+b+c+d)(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2(|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|)2 第十七講:不等式證明 5 |a-b|+|(b-c)+

33、(c-d)+(d-a)|2=(a-b)2. (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題)已知1ai0,y0,z0,且xyz=1.證明:1+0,b0,c0,則+=+=1;又因+0,y4.解析:首先證明:當x(0,1)時,4x;事實上,4x14x2-4x4(2x2-1)0,等號當且僅x=時成立;由此得:4xi(i=1,2,n),這個不等式疊加得:+4(x1+x2+xn)=4,等號當且僅xi=時成立,這顯然不可能,故+4.練習(xí)5:1.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)已知x、y、z均為正數(shù).()求證:+;()若x+y+zxyz,求u=+的最小值.解:()由+=(+),+=(+),+=(+),三

34、式疊加得:2(+)2(+)+; 第十七講:不等式證明 7 ()因x、y、z均為正數(shù),由x+y+zxyz+1;所以,u2=(+)2(+)2=()2+()2+()2+2(+)3(+)3,等號當且僅x=y=z=1時成立u的最小值=. (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)()設(shè)x0,y0,求證:;()設(shè)x0,y0,z0,求證:+.解:()4x2(x+y)(3x-y)(x-y)20;()由()得,同理可得:,三式疊加得:+3(x2+y2+z2)-(xy+yz+zx)3(xy+yz+zx)-(xy+yz+zx)=. (2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)若a,b,c(0,+),求證:+.解:由(

35、a+b)(+)4+,同理可得:+,+,三式疊加得:+.2.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)已知三個正實數(shù)x、y、z滿足x+y+z+=16.求證:()+7;()+4+.解:()由x+44,y+44,z+4,三式疊加得:x+y+z+124(+)28-4(+)+7;()由16-z=x+y+2+=(4-)4+4+z,同理可得:4+x,4+y,三式疊加得:4(+)+(x+y+z)4(+)+16-+4+. (2008年南開大學(xué)保送生考試試題)設(shè)a、b、c為正數(shù),且a+b+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值.解:令f(x)=(x+)2(x0),則(x)=2(x+)(1-)曲線y=f(x)在x=處的切線方程:y-f()=()(x-),即y=-x+;先證:f(x)-x+,事實上,f(x)-x+(x+)2-x+(3x-1)2(x2+54x+9)0;所以,(a+)2+(b+)2+(c+)2=f(a)+f(b)+f(c)-(a+b+c)+3=,等號當且僅a=b=c=時成立. 8 第十七講:不等式證明 (2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)設(shè)x,y,z均取正實數(shù)且x+y+z=1,求三元函數(shù)f(x,y,z)=+的最小值,并給出證明.解:令g(x)=,則(x)=曲線y=g(x)在x=處的切線方程:y=(x-),先證: