九年級數(shù)學_第二十七章_相似三角形_難題易錯題

1、1如圖所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF2如圖，ABCD的對角線相交于點O，在AB的延長線上任取一點E，連接OE交BC于點F若AB=a，AD=c，BE=b，則BF= 3如圖所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求證：4如圖所示，ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G求證：5一條直線截ABC的邊BC、CA、AB（或它們的延長線）于點D、E、F求證：6如圖所示P為ABC內(nèi)一點，過P點作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d7如圖

2、所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O點，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF8已知：P為ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q點，求證：9如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN與對角線BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN10P為ABC內(nèi)一點，過P點作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA（如圖所示）求證：11如圖所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB12已知P為

3、ABC內(nèi)任意一點，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F(xiàn)求證：（1）（2）三者中，至少有一個不大于2，也至少有一個不少于213如圖所示在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F求證：EFAB14如圖所示P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，BHPC于H求證：QHDH15已知M是RtABC中斜邊BC的中點，P、Q分別在AB、AC上，且PMQM求證：PQ2=PB2+QC216如圖所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求證：EFBC17如圖所示在ABC內(nèi)有一點P，滿足APB=BPC=C

4、PA若2B=A+C，求證：PB2=PAPC（提示：設法證明PABPBC）18已知：如圖，ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點，E在AB上，且AE：EB=2：1求證：CEAD19如圖所示，ABC中，M、N是邊BC的三等分點，BE是AC邊上的中線，連接AM、AN，分別交BE于F、G，求BF：FG：GE的值20.在ABC中，ABC=124求證：1AB+1AC=1BC提示：要證明如幾何題的常用方法：比例法：將原等式變?yōu)?，故構造成以a+b、b為邊且與a、c所在三角形相似的三角形。通分法：將原等式變?yōu)?，利用相關定理將兩個個比通分即：2013初中相似三角形難題易錯題參考答案與解析一填空題（共2小題）

5、1如圖所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF考點：平行線分線段成比例 專題：計算題分析：由于BC是ABC與DBC的公共邊，且ABEFCD，利用平行線分線段成比例的定理，可求EF解答：解：在ABC中，因為EFAB，所以EF：AB=CF：CB，同樣，在DBC中有EF：CD=BF：CB，+得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1設EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得x：6+x：9=1，解得x=故EF=厘米點評：考查了平行線分線段成比例定理，熟練運用等式的性質(zhì)進行計算2如圖，ABCD的對角線相交于點O，在AB的延長線上任取一點E，連接OE交BC于點F若

6、AB=a，AD=c，BE=b，則BF= 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì) 專題：計算題分析：首先作輔助線：取AB的中點M，連接OM，由平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)，即可求得：EFBEOM與OM的值，利用相似三角形的對應邊成比例即可求得BF的值解答：解：取AB的中點M，連接OM，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OB=OD，OMADBC，OM=AD=c，EFBEOM，AB=a，AD=c，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答案為：點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識解此題的關鍵是準確作出輔助線，合理應用數(shù)形結合思想解題二解答

7、題（共17小題）3如圖所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求證： 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定 專題：證明題分析：過D引DEAB，交AC于E，因為AD平分BAC（=120），所以BAD=EAD=60若引DEAB，交AC于E，則ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可實現(xiàn)求證的目標解答：證明：過D引DEAB，交AC于EAD是BAC的平分線，BAC=120，BAD=CAD=60又BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，EA=ED=AD由于DEAB，所以CEDCAB，=1由，得=1，從而+=點評：本題考查了相似三角形對應邊比值相等的性質(zhì)，

8、考查了相似三角形的判定，考查了等邊三角形的判定，考查了角平分線的性質(zhì)，本題中求證CEDCAB是解題的關鍵4如圖所示，ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G求證： 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì) 專題：證明題分析：應利用平行四邊形的性質(zhì)，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證解答：證明：延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構造平行四邊形AIHB在EIH中，由于DFIH，=IH=AB，=，從而，=1+在OED與OBH中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，OEDOBH（AAS）從而DE=BH=AI，=1

9、由，得=2點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，此題的關鍵是延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構造平行四邊形AIHB這是此題的突破點，也是一個難點，因此屬于一道難題5一條直線截ABC的邊BC、CA、AB（或它們的延長線）于點D、E、F求證： 考點：三角形的面積 專題：證明題分析：連接BE、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比，然后約分即可求證解答：證明：如圖，連接BE、AD，BDE與DCE等高，=，DCE與ADE等高，=，ADF與BDF等高，=，AEF與BEF等高，=，=，=1點評：此題考查學生對三角形面積的理解和掌握，解答此題的關鍵是連接BE

10、、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比6如圖所示P為ABC內(nèi)一點，過P點作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì) 專題：計算題分析：由FGBC，HICA，EDAB，易證四邊形AIPE、四邊形BDPF、四邊形CGPH均是平行四邊形，利用平行線分線段成比例定理的推論可得IHBAFGABC，于是=，=，再結合=，先計算式子右邊的和，易求+=2，從而有+=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可解答：解：FGBC，HICA，

11、EDAB，四邊形AIPE、四邊形BDPF、四邊形CGPH均是平行四邊形，IHBAFGABC，=，=，+=，又DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，DE+AF+BI=2（AI+IF+FB）=2AB，+=2，DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，+=+=2，+=2，解得d=306點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、平行四邊形的判定和性質(zhì)7如圖所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O點，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF考點：平行線分線段成比例 分析：由平行線

12、的性質(zhì)可得=，得出OE與BC，OF與AD的關系，進而即可求解EF的長解答：解：ADBC，EFBC，=，又=，=，OE=BC=，OF=AD=，EF=OE+OF=15點評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡單的計算問題8已知：P為ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q點，求證：考點：相似三角形的判定與性質(zhì) 專題：證明題分析：由于AB=CD，所以將轉(zhuǎn)化為，再由平行線的性質(zhì)可得=，進而求解即可解答：證明：在平行四邊形ABCD中，則ADBC，ABCD，=1點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握9如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，

13、MNBC，且MN與對角線BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形 專題：計算題分析：由平行線分線段成比例可得對應線段的比，再由題中已知條件即可求解線段MN的長解答：解：MNBC，在ABD中，=，即OM=，同理ON=，MN=OM+ON=點評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，能夠熟練掌握10P為ABC內(nèi)一點，過P點作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA（如圖所示）求證：考點：平行線分線段成比例 專題：證明題分析：（1）由平行線可得PIFCAB，得出對應線段成比例，即=，同理得出=，即可證明結論；（2）證明方法與（1）相同解答：證明：（1

14、）DEAB，IHAC，F(xiàn)GBC，可得PIFCAB，=，同理=，+=+=1（2）仿（1）可得=，=，+=+=1點評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)通過線段之間的轉(zhuǎn)化，證明一些簡單的結論11如圖所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形 專題：計算題分析：由平行線可得對應線段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分別求出線段AB、CD與AE、CJ的關系，進而可求解結論解答：解：ABCD，EF=FG=CH=H

15、I=IJ，=，=，=，DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，AB=CJ，EB=4CJ，=，CD=5CJ，AB：CD=：5=1：2點評：本題主要考查了相似三角形對應邊成比例或平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，應熟練掌握12已知P為ABC內(nèi)任意一點，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F(xiàn)求證：（1）（2）三者中，至少有一個不大于2，也至少有一個不少于2 考點：平行線分線段成比例 專題：證明題分析：（1）第一問可由三角形的面積入手，即PBC+PAC+PAB=ABC，通過化簡可得面積與線段之間的關系，進而即可求解（2）由（1）中得出，則其中至少有一個不大于，可設，即3ADPD，而AD=

16、AP+PD，進而通過證明即可得出結論解答：解：（1）由面積概念得：SPBC+SPAC+SPAB=SABC整理等式得：+=1，由面積概念得：=，=，=，即=同理得：=把式、代入式得：；（2）由，知，中至少有一個不大于，不妨設即3ADPD而AD=AP+PD，AP2PD，2，即不小于2，同理可證三式中至少有一個不大于2點評：本題主要考查了三角形的面積比與對應邊的比值之間的關系，能夠熟練掌握其內(nèi)在聯(lián)系，并能求解一些比較復雜的問題13如圖所示在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F求證：EFAB考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì) 專題：證明題分

17、析：利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構造三角形，設法證明MEFMAB，從而EFAB解答：證明：過B作BGAC交AE的延長線于G，交AM的延長線于HAE是BAC的平分線，BAE=CAEBGAC，CAE=G，BAE=G，BA=BG又BDAG，ABG是等腰三角形，ABF=HBF，F(xiàn)到AB與BH的距離相等，SABF：SHBF=AB：BH，SABF：SHBF=AF：FH，AB：BH=AF：FH又M是BC邊的中點，且BHAC，易知ABHC是平行四邊形，從而BH=AC，AB：AC=AF：FHAE是ABC中BAC的平分線，AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即（AM+MF）：（AMMF）=

18、（BM+ME）：（BMME）（這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC）由合分比定理，上式變?yōu)锳M：MB=FM：ME在MEF與MAB中，EMF=AMB，MEFMABABM=FEM，所以EFAB點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的理解和掌握，證明此題的關鍵是過B引BGAC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H和利用合分比定理14如圖所示P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，BHPC于H求證：QHDH考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì) 專題：證明題分析：要證QHDH，只要證明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且

19、BHPC，熟知PBH=PCB，從而HBQ=HCD，因而BHQ與DHC相似解答：證明：在RtPBC中，BHPC，PBC=PHB=90，PBH=PCB顯然，RtPBCRtBHC，=，由已知，BP=BQ，BC=DC，=，=ABC=BCD=90，PBH=PCB，HBQ=HCD在HBQ與HCD中，=，HBQ=HCD，HBQHCD，BHQ=DHC，BHQ+QHC=DHC+QHC又BHQ+QHC=90，QHD=QHC+DHC=90，即DHHQ點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，難度適中，關鍵是掌握相似三角形的判定方法15已知M是RtABC中斜邊BC的中點，P、Q分別在AB、AC上，且PMQ

20、M求證：PQ2=PB2+QC2考點：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理 專題：證明題分析：以M點為中心，MCQ順時針旋轉(zhuǎn)180至MBN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可得MCQ與MBN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形對應角相等可得，MBN=C，再連接PN，可以證明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后證明PBN為直角三角形，根據(jù)勾股定理即可證明解答：證明：如圖，以M點為中心，MCQ順時針旋轉(zhuǎn)180至MBN，MCQMBN，BN=QC，MN=MQ，MBN=C，連接PN，PMQM，PM垂直平分NQ，PN=PQ，ABC是直角三角形，BC是斜邊，ABC+C=90，ABC+MBN=90，

21、即PBN是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，PQ2=PB2+QC2點評：本題考查了直角三角形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)，勾股定理的應用，利用旋轉(zhuǎn)變換把構造出以PQ、PB、QC轉(zhuǎn)化為同一個直角三角形的三邊是證明的關鍵16如圖所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求證：EFBC考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定 專題：證明題分析：由題中條件可得AC=AF，即ACF是等腰三角形，所以EC=EF，進而得出ECF=EFC，結論得證解答：證明：ACB=90，CDAB，CAD=BCD，又AE平分CAB，CF平分BCD，BCF=CAE，B=ACD，B

22、+ECF=B+BCF，即ACF=AFC，又AE平分CAB，AC=AF，CE=EF，即ECF=EFC，EFC=BCF，即EFBC點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定問題，應熟練掌握17如圖所示在ABC內(nèi)有一點P，滿足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求證：PB2=PAPC（提示：設法證明PABPBC）考點：相似三角形的判定與性質(zhì) 專題：證明題分析：用APB=APC=120，CBP=BAP兩個對應角相等證明PABPBC，根據(jù)相似比可證到結論解答：證明：APB=120，ABP+BAP=60，又ABC=60，ABP+CBP=60，CBP=BAP，又APB=APC=120，ABPBC

23、P，=，BP2=PAPC點評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，先用判定定理證明相似，然后根據(jù)相似對應邊成比例證明結論18已知：如圖，ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點，E在AB上，且AE：EB=2：1求證：CEAD考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形 專題：證明題分析：過B作BC的垂線交CE的延長線于點F，從而可推出ACBF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組對應角相等從而可判定ACEBFE，根據(jù)相似三角形的對應邊對應成比例可得到AC=2BF，進而得到CD=BF，再利用HL判定ACDCBF，由全等三角形的性質(zhì)得其對應角相等，再根據(jù)等角的性質(zhì)不難證得結論解答：證明：過B作BC的垂線交CE的延長線于點F，（1分）FBC=ACB=90ACBFACEBFE（3分）AC=2BF（4分）AC=BC，CD=