中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

1、中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模摘 要：通過對中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，可以更精確的對溫度進(jìn)行控制，從而得到電源功率與溫升的最佳方案，使電能得到最高效的利用，從而在最快的時(shí)間內(nèi)達(dá)到所需要的最準(zhǔn)確的溫度，減少工件的廢品率，并提高生產(chǎn)效率。本文運(yùn)用電磁學(xué)及熱學(xué)的知識，研究中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)電源輸出功率與被加熱材料電渦流的關(guān)系；電渦流與發(fā)熱量的關(guān)系；發(fā)熱量與溫升的關(guān)系。從而得出電源的輸出功率與被加熱材料溫升的電-熱學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型中運(yùn)用金屬材料學(xué)的知識考慮材料電阻、比熱隨溫度變化而變化的影響，得出在這些條件影響下的數(shù)學(xué)模型。簡化得出的加熱爐溫度控制系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng)。以某中頻

2、感應(yīng)加熱爐為例，計(jì)算各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)關(guān)系并建立其溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這些研究工作為系統(tǒng)的仿真、技術(shù)培訓(xùn)及控制優(yōu)化提供了理論基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：中頻感應(yīng)加熱爐；溫度控制系統(tǒng)；數(shù)學(xué)模型；感應(yīng)線圈；渦流；發(fā)熱量；溫升the mathematical modeling of temperature control system about medium frequency induction heating furnaceabstract：based on the medium frequency induction heating furnace temperature control system mo

3、deling, can be more accurate temperature control, so as to obtain the power and temperature rise is the best solution, so that electricity can be the most efficient use, resulting in the fastest time to meet the needs of the most accurate temperature, reduce the reject rate, and improve production e

4、fficiency. in this paper, using the electromagnetic and thermal knowledge, study of the medium frequency induction heating furnace temperature control system power supply and the material to be heated electric eddy current; eddy current and heat; heat and temperature relationship. thus the power out

5、put and the material to be heated temperature electro thermal model. a mathematical model using metal material science knowledge considering material, heat resistance changes with temperature effects obtained in these conditions, mathematical model. simplify the heating furnace temperature control s

6、ystem as an inertial system. a medium frequency induction heating furnace as an example, the mathematical relationship between the calculated to establish the mathematical model of the temperature control system. the research on the system provides theoretical basis for simulation, technical trainin

7、g and control optimization theoretical basis .keywords：medium frequency induction heating furnace;temperature control system;mathematic model;induction coil;eddy current;calorific value目 錄1 緒論11.1 感應(yīng)加熱的基本原理11.2 感應(yīng)加熱爐的作用11.3 數(shù)學(xué)模型和一般建模方法21.3.1 數(shù)學(xué)模型的定義及分類21.3.2 一般的建模方法31.4 常規(guī)加熱爐的數(shù)學(xué)模型41.4.1 簡易的加熱爐溫度系統(tǒng)數(shù)學(xué)

8、模型41.4.2 連續(xù)加熱爐的數(shù)學(xué)模型51.5 課題研究的內(nèi)容和目的61.6 論文安排72 中頻感應(yīng)加熱爐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析82.1 中頻感應(yīng)加熱爐系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)82.2 中頻電源的結(jié)構(gòu)分析92.3 加熱爐的結(jié)構(gòu)分析102.4 被加熱材料的輸送裝置113 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模123.1 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)123.2 加熱爐感應(yīng)線圈的數(shù)學(xué)模型133.2.1 溫度對加熱爐感應(yīng)線圈電阻的影響133.2.2 線圈電流與電源輸出功率的關(guān)系153.2.3 電源輸出功率與線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系163.2.4 感應(yīng)線圈數(shù)學(xué)模型的簡化173.3 被加熱材料渦流的數(shù)學(xué)模型173.3.1 感應(yīng)線

9、圈與被加熱材料渦流的關(guān)系173.2.2 被加熱材料渦流的簡化數(shù)學(xué)模型183.3 被加熱材料渦流與熱功率的關(guān)系模型183.4 被加熱材料電阻率隨溫度變化對系統(tǒng)的影響193.4.1 材料被加熱部分受溫度影響下的電阻193.4.2 受溫度影響下的的簡化值203.4.3 電阻隨溫度變化對材料渦流的影響213.4.4 電阻隨溫度變化對材料自發(fā)熱的影響213.5 熱功率與發(fā)熱量的關(guān)系223.5.1 傳送速度與加熱時(shí)間的關(guān)系223.5.2 材料發(fā)熱量的數(shù)學(xué)模型223.5.3 傳送速度為時(shí)材料發(fā)熱量的數(shù)學(xué)模型233.6 被加熱材料出口溫度的數(shù)學(xué)模型233.6.1 發(fā)熱量與出口溫度的關(guān)系233.6.2 出口溫度

10、的簡化數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)243.6.3 材料比熱隨溫度變化對材料導(dǎo)熱的影響253.7 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型273.7.1 溫度控制系統(tǒng)的框圖273.7.2 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型283.7.3 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的s傳遞函數(shù)283.8 本章小結(jié)294 某型號的中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型304.1 某型號中頻感應(yīng)加熱爐結(jié)構(gòu)304.2 a加熱爐各參數(shù)及說明304.3 a加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型324.3.1 a加熱爐感應(yīng)線圈的數(shù)學(xué)模型324.3.2 a加熱爐材料渦流的數(shù)學(xué)模型324.3.3 a加熱爐材料渦流與熱功率的關(guān)系334.3.4 a加熱爐i材

11、料（自發(fā)熱）環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)334.3.5 a加熱爐材料（熱導(dǎo)）環(huán)節(jié)模型334.3.6 a加熱爐的數(shù)學(xué)模型335 總結(jié)與展望35參考文獻(xiàn)361 緒論1.1 感應(yīng)加熱的基本原理感應(yīng)加熱的基礎(chǔ)是法拉第發(fā)現(xiàn)的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，即交變的電流會在導(dǎo)體中產(chǎn)生感應(yīng)電流使導(dǎo)體周圍產(chǎn)生感應(yīng)磁場，被加熱的材料(即坯料)的內(nèi)部在磁場的作用下產(chǎn)生電渦流,依靠這些渦流的能量達(dá)到加熱目的。感應(yīng)加熱的過程實(shí)際上是電磁感應(yīng)過程和熱傳導(dǎo)過程的綜合體現(xiàn)。其中,電磁感應(yīng)過程具有主導(dǎo)作用,它影響并在一定程度上決定著熱傳導(dǎo)過程。熱傳導(dǎo)過程中所需要的熱能量實(shí)際上是由電磁感應(yīng)過程中所產(chǎn)生的渦流功率所提供。感應(yīng)加熱所遵循的主要依據(jù)是電磁感應(yīng)、“趨

12、膚效應(yīng)”、和熱傳導(dǎo)這3項(xiàng)基本原理1。任一導(dǎo)體通過電流時(shí),在其周圍都會同時(shí)產(chǎn)生磁場。當(dāng)線圈中的電流是交變電流時(shí),在線圈內(nèi)部和周圍就產(chǎn)生一個(gè)交變的磁場。在感應(yīng)加熱時(shí),置于感應(yīng)線圈內(nèi)的工件就被這個(gè)交變磁場的磁力線所切割。在工件的內(nèi)部產(chǎn)生電渦流（工程上規(guī)定從導(dǎo)體表面到電流密度為導(dǎo)體表面的1/e0.368的距離為趨膚深度2，即電渦流只產(chǎn)生在距導(dǎo)體表面深度為的區(qū)域），使工件表面溫度升高，達(dá)到加熱的效果。而工件內(nèi)部則是通過熱傳遞的方式進(jìn)行加熱的，表面溫度高于內(nèi)部的溫度，所以他們之間進(jìn)行溫度的融合而使工件表芯溫度近似相等。中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的工作原理是，系統(tǒng)根據(jù)設(shè)定的加熱溫度、生產(chǎn)的線速度等參數(shù)，把加

13、熱材料所需的熱能換算成電能，根據(jù)所需的電功率設(shè)定整流電壓，然后由電壓電流雙閉環(huán)系統(tǒng)控制晶閘管完成直流電壓的調(diào)節(jié)。逆變器為自激系統(tǒng)，不可調(diào)。這樣系統(tǒng)就把電能轉(zhuǎn)變成熱能，使材料加熱到所需的溫度。1.2 感應(yīng)加熱爐的作用其主要應(yīng)用有1：有色金屬的冶煉，金屬材料的熱處理，鍛造、擠壓、軋制等型材生產(chǎn)的透熱，焊管生產(chǎn)的焊縫；各種機(jī)械零件的淬火，以及淬火后的回火、退火和正火等熱處理的加熱；罐頭以及其他包裝的封口；電子管真空除氣的加熱。因此感應(yīng)加熱的應(yīng)用十分廣泛，它最大的特點(diǎn)是將工件直接加熱，優(yōu)點(diǎn)是工人勞動條件好、工件加熱速度快、溫度容易控制、加熱過程中不會混入金屬雜質(zhì)及金屬損耗小、易于實(shí)現(xiàn)自動化和在線生產(chǎn)、

14、生產(chǎn)效率高等。感應(yīng)加熱屬非接觸加熱方式，能提供高的功率密度，在加熱溫度和深度上有高度靈活的選擇性，能在各種載氣（空氣、保護(hù)氣、真空）中工作 ，損耗極低，不產(chǎn)生任何物理污染，符合環(huán)保和可持續(xù)發(fā)展方針，是綠色環(huán)保型加熱工藝之一。加熱爐的種類很多，其中感應(yīng)電爐按結(jié)構(gòu)分，有坩堝式（通常稱無芯感應(yīng)電爐）和溝槽式（通常稱有芯感應(yīng)電爐）兩大類。溝槽式又可分為臥式和立式。感應(yīng)加熱爐有工頻、中頻和高頻之分，我們主要研究的是中頻感應(yīng)加熱爐。感應(yīng)電源按頻率范圍可分為以下等級：500hz以下為低頻，110khz為中頻，20khz以上為超音頻和高頻。中頻感應(yīng)加熱爐一般采用的頻率范圍為0.58khz。我們所研究的感應(yīng)加熱

15、爐為有芯中頻感應(yīng)加熱爐，其額定功率為400kw。目前感應(yīng)加熱制造業(yè)的服務(wù)對象主要是汽車制造業(yè)，今后現(xiàn)代冶金工業(yè)將對感應(yīng)加熱有較大需求。尤其是現(xiàn)在國內(nèi)感應(yīng)淬火工藝裝備制造業(yè)也日益擴(kuò)大，產(chǎn)品品種多，原來需要進(jìn)口的裝備，逐步被國產(chǎn)品所取代，在為國家節(jié)省外匯的同時(shí)，發(fā)展了國內(nèi)的相關(guān)企業(yè)。如今，感應(yīng)加熱與可控氣氛熱處理、真空熱處理少無氧化技術(shù)已成為熱處理技術(shù)的發(fā)展主流。1.3 數(shù)學(xué)模型和一般建模方法1.3.1 數(shù)學(xué)模型的定義及分類所謂數(shù)學(xué)模型3（mathematical model）是指通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際現(xiàn)象的一個(gè)近似刻畫，以便于人們更深刻地認(rèn)識所研究的對象。數(shù)學(xué)模型也不是對現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的簡

16、單模擬，它是人們用以認(rèn)識現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)和解決實(shí)際問題的工具。數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果。它使用數(shù)學(xué)語言精確地表達(dá)了對象的內(nèi)在特征。通過數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析求解，使得深化對所研究的的實(shí)際問題的認(rèn)識。 例如，描述人口隨時(shí)間的增長過程的數(shù)學(xué)模型，盡管由于它忽略了性別、年齡、社會經(jīng)濟(jì)和自然界的約束條件等許多與人口增長有關(guān)的因素，相對于實(shí)際人口的動態(tài)來說大大的被簡化了，雖然這個(gè)數(shù)學(xué)模型有一定的偏差，但是他所揭示出的人口指數(shù)增長的結(jié)論是人們不得不面對的嚴(yán)酷事實(shí)。這種應(yīng)用知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模（mathematical modeling）。不論是

17、用數(shù)學(xué)方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實(shí)際問題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學(xué)模型，并加以計(jì)算求解。數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)技術(shù)在知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代的作用可謂是如虎添翼。 數(shù)學(xué)模型主要是使用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題。一個(gè)好的模型不在于它使用了多么高深的數(shù)學(xué)，而是要用較強(qiáng)的實(shí)際背景，最好是直接針對某個(gè)實(shí)際問題。模型應(yīng)該經(jīng)過實(shí)際檢驗(yàn)表明是可以接受的，他應(yīng)該能讓我們對所研究的問題有進(jìn)一步的了解，而且應(yīng)該是盡可能的簡單以利于使用者理解和接受。數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方法分類。按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域可以分為數(shù)量經(jīng)濟(jì)模型、醫(yī)學(xué)模型、地質(zhì)模型、社會模型等，更具體有人口模型、交通模型、環(huán)境模型

18、、生態(tài)模型等。數(shù)學(xué)模型的初衷是洞察源于數(shù)學(xué)之外的事物或系統(tǒng)。通過選擇數(shù)學(xué)系統(tǒng)，建立原系統(tǒng)的各個(gè)部分與描述其行為的數(shù)學(xué)部分之間的對應(yīng)，達(dá)到發(fā)現(xiàn)事物運(yùn)行的基本過程的目的。因此，通常也有如下的分類。1. 觀察模型和決策模型；2. 確定型模型和隨機(jī)型模型；3. 連續(xù)模型和離散模型；4. 解析模型和仿真模型。1.3.2 一般的建模方法建立一個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的方法大致有兩種：一種是實(shí)驗(yàn)歸納的方法，即根據(jù)測試或計(jì)算數(shù)據(jù)，按照一定的數(shù)學(xué)方法，歸納出問題的數(shù)學(xué)模型；另一種是理論分析的方法，即根據(jù)客觀事物的本身性質(zhì)分析因果關(guān)系，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下用數(shù)學(xué)工具描述其數(shù)量特征。建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟為： 1. 建模準(zhǔn)備

19、 首先要了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準(zhǔn)備工作情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實(shí)際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料. 2. 建模假設(shè) 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設(shè)，可以說是建模的關(guān)鍵一步一般地說，一個(gè)實(shí)際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題，即使可能，也很難求解不同的簡化假設(shè)會得到不同的模型假設(shè)作得不合理或過份簡單，會導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對象的各方面因素都考

20、慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用寫出假設(shè)時(shí)，語言要精確，就象做習(xí)題時(shí)寫出已知條件那樣3. 模型建立 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應(yīng)

21、用數(shù)學(xué)方面的知識，以開拓思路.當(dāng)然不能要求對數(shù)學(xué)學(xué)科門門精通,而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法建模時(shí)還應(yīng)遵循的一個(gè)原則是，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟憬⒌哪Ｐ涂偸窍Ｍ苡懈嗟娜肆私夂褪褂?而不是只供少數(shù)專家欣賞.4. 模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)5. 模型檢驗(yàn) 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來對

22、待當(dāng)然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿意6. 模型應(yīng)用 用已建立的數(shù)學(xué)模型分析解釋已有現(xiàn)象，并預(yù)測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考。 應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分明建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班，重要的是根據(jù)對象的特點(diǎn)和建模的目的，去粗取精，去偽存真，從簡到繁，不斷完善。在實(shí)踐中，能夠直接運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的情形是很少見的。也就是說，實(shí)際問題很少直接以數(shù)學(xué)

23、的語言出現(xiàn)在我們面前。而且對于如何使用數(shù)學(xué)語言來描述所面臨的實(shí)際問題也不是輕而易舉的。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題的第一步必須要面對實(shí)際問題中看起來雜亂無章的現(xiàn)象，并從中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，也就是組建這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模。1.4 常規(guī)加熱爐的數(shù)學(xué)模型1.4.1 簡易的加熱爐溫度系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 加熱材料所需的熱功率與材料穿過線圈速度的關(guān)系4： (1.1) (1.2) (1.3) 式中： 材料的截面積， ； 材料的體積質(zhì)量， k g / ； 材料的質(zhì)量熱容， j / ( k g k ) ； 材料的人口溫度， ； 材料的出口溫度， ； 材料穿過加熱線圈的速度， m / s ； 加熱

24、材料所需的熱功率， w； 轉(zhuǎn)換成熱功率所需的電功率， w； 加熱l m材料所需的能量， j / m； 能量轉(zhuǎn)換效率， %。由式( 1.3 ) 可知，電功率與材料的相對速度成正比。不同規(guī)格的鋼絲在處理之前， 都必須通過調(diào)試設(shè)置各參數(shù)值，設(shè)定的值保存在工控機(jī)中，而后生產(chǎn)不同規(guī)格的產(chǎn)品，只需調(diào)用相應(yīng)的加熱曲線即可。中頻爐控制系統(tǒng)接受選用的加熱參數(shù)，從而控制整個(gè)加熱過程。以上就是中頻感應(yīng)加熱爐的一個(gè)很簡易的加熱模型，從這幾個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式中可以得出加熱材料所需的熱功率與被加熱材料的截面積、質(zhì)量熱容、人口溫度、出口溫度以及材料穿過加熱線圈的速度的關(guān)系。1.4.2 連續(xù)加熱爐的數(shù)學(xué)模型1） 爐溫模型5通過

25、對測點(diǎn)爐溫進(jìn)行線性插值定義，沿長方向的一維空間爐溫分布用下式表示： (1.4)其中一爐溫，一沿爐長方向坐標(biāo)；一時(shí)間2) 鍋錠內(nèi)部導(dǎo)熱模型由于鋼錠在爐內(nèi)緊密排列及對爐溫模型簡化假設(shè)，可以認(rèn)為爐內(nèi)鋼錠溫度分布是維空間的，既是沿厚度方向坐標(biāo)x的函，又是沿爐長方向坐標(biāo)夕的函數(shù)，后者由鋼節(jié)奏確定.所以就某一鋼錠而言，其內(nèi)部傳熱可用一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱的偏微分方程加以描述： (1.5)式中t一鋼錠溫度；一鋼錠材料的汁溫系數(shù)。根據(jù)有限差分原理把式(1.5)描述的連續(xù)系統(tǒng)在時(shí)間和鋼錠沿厚度方向離散化，式（1.5）改寫為： (1.6)式中一空間離散節(jié)點(diǎn)序列；一時(shí)間間離散序列。為了減少計(jì)算量，采用完全隱式差分格式，則鋼

26、錠內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)溫度與表面溫度的關(guān)系可表示為如下矩陣形式： (1.7)其中為階方陣;b為個(gè)元素的行陣，m為空間離散的節(jié)點(diǎn)數(shù)。t為鋼錠內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)溫度;為鋼錠表而溫度。從式(1.7)可知表面溫度與點(diǎn)溫度的關(guān)系，這一性質(zhì)為式(1.6)的求解帶來方便，當(dāng)表面溫度己知時(shí)可用追趕法對該不穩(wěn)定導(dǎo)熱問題進(jìn)行數(shù)值求解。通過對加熱爐的簡易模型及連續(xù)加熱爐溫度模型的舉例，我們了解了加熱爐的數(shù)學(xué)建模方法。但是上述的加熱模型都主要集中在研究加熱爐的部分，但都不是對感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，雖然大體的建模方法與之相似但是還有很大的不同，不過以上的工作還是為我們的研究提供了很好的參考。所以我們有必要對中頻感應(yīng)加熱爐的溫

27、度控制系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行分析，建立其數(shù)學(xué)模型。所以對感應(yīng)加熱系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模研究其加熱過程中各變量的關(guān)系是十分必要的。1.5 課題研究的內(nèi)容和目的對中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，就是剖析加熱爐的結(jié)構(gòu)，分析其加熱原理，研究其從電到熱的轉(zhuǎn)換過程，確定電源輸出與線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，建立被加熱材料渦流的數(shù)學(xué)模型，基于能量守恒定律建立熱量與溫升的關(guān)系模型。從而寫出中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在建立感應(yīng)加熱爐感應(yīng)線圈的數(shù)學(xué)模型時(shí)，線圈本身的發(fā)熱會影響這個(gè)溫度控制系統(tǒng)，而其電阻率隨溫度的變化也是系統(tǒng)中的干擾因素之一。在研究電渦流與發(fā)熱量之間的關(guān)系時(shí)，因被加熱材料的形狀、種類和溫度的

28、不同而有著不同的阻抗，則其電渦流與發(fā)熱量之間的關(guān)系也就不一樣。除此之外研究發(fā)熱量與溫升之間的關(guān)系時(shí)，影響因素有加熱停留時(shí)間，入口溫度和環(huán)境溫度。只有發(fā)現(xiàn)問題才能解決問題，所以對中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模就是發(fā)現(xiàn)問題并分析他。所以只要弄清楚了這些關(guān)系就能更清楚的了解電源電壓、電流頻率與溫升之間的關(guān)系，清楚影響溫度調(diào)節(jié)的各個(gè)因素，從而更好地對溫度進(jìn)行控制。通過對其控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，我們就可以更精確的對溫度進(jìn)行控制，從而得到電源功率與溫升的最佳方案，使電能得到最高效的利用，從而在最快的時(shí)間內(nèi)達(dá)到所需要的最準(zhǔn)確的溫度，減少工件的廢品率，并提高生產(chǎn)效率。1.6 論文安排 通過第1章對感應(yīng)加熱

29、爐的了解，我們知道感應(yīng)加熱爐對我們的作用和意義以及對其數(shù)學(xué)模型研究的重要性。我們就要對但應(yīng)加熱爐的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了解與分析，這樣我們才能更好地建立感應(yīng)加熱爐的溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。接下來的第3章就是整篇論文最重要的部分，即對中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)進(jìn)行分析并寫出他的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù),而且還要考慮被加熱材料的電阻及比熱在溫度升高的時(shí)候的變化，并計(jì)算出其變化量從而使加熱爐的溫度模型更加的精確。 第4章就根據(jù)第3章中推導(dǎo)出的廣義對象各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)計(jì)算出某一個(gè)特定感應(yīng)加熱爐的溫度系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及他的傳遞函數(shù)。第5章就要對上幾章進(jìn)行分析并得出結(jié)論，然后對這個(gè)研究課題的未來進(jìn)行展望。在文章的最后

30、將給出本文所用到的參考文獻(xiàn)。 2 中頻感應(yīng)加熱爐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析 2.1 中頻感應(yīng)加熱爐系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)中頻感應(yīng)加熱爐是由電源部分、傳送部分、加熱和保溫部分構(gòu)成的1。電源部分又可以分為整流濾波部分、逆變部分、控制與保護(hù)部分以及負(fù)載部分。電源的負(fù)載就是感應(yīng)加熱爐的線圈及其附屬結(jié)構(gòu)（比如電阻和電容）。被加熱材料的輸送是靠電機(jī)傳動的，所以這一部分用到電機(jī)以及調(diào)節(jié)電機(jī)速度的變頻調(diào)速器。這個(gè)調(diào)速器可以調(diào)節(jié)材料進(jìn)入爐膛的速度，也可以說是材料的輸出速度。這個(gè)速度是由軋鋼機(jī)的運(yùn)動速度決定的。其材料的出口溫度可以反饋至電源部分使其通過對頻率的調(diào)節(jié)來調(diào)節(jié)材料的溫度，其總體結(jié)構(gòu)如圖2-1所示。 圖2-1 中頻感應(yīng)加熱爐系統(tǒng)

31、總體結(jié)構(gòu)框圖上圖中各部分的名稱及作用：1. ac/dc整流電路：把輸入的交流電轉(zhuǎn)化成直流輸出至濾波環(huán)節(jié)；2. 濾波環(huán)節(jié)：濾掉諧波使直流更為穩(wěn)定；3. dc/ac逆變電路：把整流輸出的直流電轉(zhuǎn)化為所需要的交流電；4. 控制與保護(hù)電路：控制電源使其輸出合適的電壓、電流；5. 負(fù)載線圈：加熱爐的加熱部分；6. 被加熱材料：需要加熱到特定溫度的圓柱形金屬材料；7. 傳送帶：用來輸送被加熱材料；8. 電機(jī)：用來驅(qū)動傳送帶； 9. 變頻調(diào)速器：根據(jù)需要調(diào)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)速；10. 保溫透熱部分：使材料充分透熱至其表芯溫度均勻。被加熱材料的加熱過程是，首先通過傳送帶把以一定速度運(yùn)動的材料送入加熱爐，材料在爐內(nèi)產(chǎn)生

32、渦流使其溫度升高，并從表面向內(nèi)部透熱。加熱后，材料在保溫透熱部分中進(jìn)行充分地透熱，使工件的表芯溫度幾乎相等。在材料的出口中有檢測材料溫度的裝置，并把它變?yōu)?-5v的電壓信號送入電源與給定電壓作比較，用其偏差來調(diào)節(jié)電源的輸出頻率使得材料產(chǎn)生的渦流變化而使材料的溫度達(dá)到預(yù)定值，這就是材料溫度的控制過程。在出口也有檢測材料出口速度的，也會通過儀表把速度轉(zhuǎn)化為1-5v的電壓信號，與給定的速度進(jìn)行比較來調(diào)節(jié)材料的出口速度。若想要改變材料的出口速度只需要改變調(diào)速變頻器的輸出頻率就好了。2.2 中頻電源的結(jié)構(gòu)分析中頻電源已廣泛應(yīng)用于工業(yè)加熱領(lǐng)域。新型晶閘管感應(yīng)加熱電源采用成熟的變頻技術(shù), 由全控型器件構(gòu)成串

33、聯(lián)諧振式逆變電路, 解決了工頻加熱效果差和浪費(fèi)電能等問題。中頻感應(yīng)加熱電源采用igbt作為開關(guān)器件,可工作在 20khz,具有功率調(diào)節(jié)范圍寬、頻率變化小的優(yōu)點(diǎn),適用于中小功率系統(tǒng)。感應(yīng)加熱電源的主電路是由一個(gè)整流電路，一個(gè)濾波環(huán)節(jié)以及一個(gè)逆變電路構(gòu)成。如圖2-2所示6： 圖2-2 igbt并聯(lián)感應(yīng)加熱電源主電路原理圖由圖可知整流部分由一個(gè)三相橋式全控整流電路構(gòu)成，通過整流電路可以吧三相的交變電流輸出電壓為電流為的近似直流電，通過濾波環(huán)節(jié)濾掉諧波，然后再通過逆變電路把直流電變成特定頻率的交流電，就可以輸出至負(fù)載了。但是一個(gè)完整的中頻感應(yīng)加熱電源還要包括控制與保護(hù)環(huán)節(jié)，才能更好地對工件進(jìn)行準(zhǔn)確的加

34、熱，其結(jié)構(gòu)如圖2-3所示。 圖2-3 感應(yīng)加熱電源的主電路結(jié)構(gòu)圖如上圖所示，感應(yīng)加熱電源主要有四個(gè)環(huán)節(jié)組成：整流及濾波環(huán)節(jié)；逆變環(huán)節(jié)；負(fù)載；控制與保護(hù)環(huán)節(jié)。根據(jù)以上的兩個(gè)圖可知，中頻感應(yīng)加熱電源由以下的幾個(gè)方面構(gòu)成7：a、三相電源，； b、三相全控整流器，由晶閘管-組成；c、濾波電感、；d、逆變器由四個(gè)igbt構(gòu)成并聯(lián)型橋臂結(jié)構(gòu)，-是串聯(lián)快速恢復(fù)二極管,-構(gòu)成緩沖電路；e、負(fù)載電路由感應(yīng)器l，補(bǔ)償電容c，負(fù)載r組成。通過給加熱爐提供可調(diào)的，相對穩(wěn)定的電源使得其可以在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)把工件加熱所需要的溫度。2.3 加熱爐的結(jié)構(gòu)分析感應(yīng)加熱爐由感應(yīng)線圈，保溫部分以及內(nèi)外隔熱層組成。如圖2-4所示， 圖

35、2-4 感應(yīng)加熱爐加熱部分結(jié)構(gòu)圖圖中：l-為加熱爐的總長度； -為感應(yīng)線圈（即加熱部分）長度； -為保溫爐膛的長度； -為爐膛是的直徑； -為感應(yīng)加熱爐的外經(jīng)。加熱爐的感應(yīng)線圈的主要作用是自身通電產(chǎn)生磁場使工件在線圈中產(chǎn)生渦流，從而使其表面溫度升高。保溫部分的作用是使工件更進(jìn)一步地透熱，使得表芯溫度近似一致。工件先按一定的速度通過線圈段進(jìn)行加熱，再以同樣的速度穿過保溫段進(jìn)行透熱。在加熱及透熱的過程中因?yàn)槭褂昧溯^好的保溫隔熱材料，我們可以近似地認(rèn)為爐膛中的工件并沒有對外界環(huán)境做功。2.4 被加熱材料的輸送裝置材料的輸送裝置其實(shí)很簡單即利用電機(jī)帶動齒輪使傳送帶運(yùn)動，從而使放置在傳送帶上的工件可以運(yùn)

36、動，并傳送至爐膛中其結(jié)構(gòu)如圖2-5所示。 圖2-5 材料輸送裝置結(jié)構(gòu)示意圖圖中，工件即被加熱材料，本次使用的被加熱材料為圓柱形的銅和鋼；傳送帶環(huán)繞在轉(zhuǎn)動齒輪外部在齒輪轉(zhuǎn)動的過程中以固定的速度向一個(gè)方向運(yùn)動；電機(jī)m是帶動齒輪轉(zhuǎn)動的裝置；變頻調(diào)速器是通過改變自身的輸出頻率來改變電機(jī)的轉(zhuǎn)速的。輸送裝置的工作流程，首先材料的輸送裝置是由變頻調(diào)速器調(diào)節(jié)電機(jī)的速度，從而使齒輪以一定的速度轉(zhuǎn)動，帶動傳送帶使傳送帶轉(zhuǎn)動，這樣就能使在傳送帶上的材料以一定的速度勻速運(yùn)動。如果要調(diào)節(jié)材料的速度，就可以通過調(diào)節(jié)變頻器的頻率來調(diào)節(jié)。 3 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模3.1 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)中頻感

37、應(yīng)加熱爐的溫度控制系統(tǒng)由對象、測量變送器、plc控制器及變頻電源組成，其中，對象細(xì)分為：感應(yīng)線圈和被加熱材料。中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)組成如圖3-1所示。 圖3-1 中頻感應(yīng)加熱爐溫度控制系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖 各環(huán)節(jié)的說明：1. 控制器：其輸入信號為偏差值而其輸出為控制電壓，他通過分析偏差信號從而輸出相應(yīng)的控制電壓信號；2. 電源：其輸入為控制器的控制電壓信號，輸出為變頻電源輸出功率，他的作用是接收控制電壓信號輸出相應(yīng)的功率；3. 線圈：是電源的負(fù)載，其輸入信號為電源的輸出功率信號，輸出為線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的平方，他是由于通電而發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象在爐膛內(nèi)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的電磁場；4. 材

38、料(渦流)：其輸入信號為線圈產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的平方，而輸出信號為被加熱材料表面電渦流的平方，他是由于在線圈產(chǎn)生的磁場中，距材料本身表面深度為的區(qū)域形成渦旋電流。5. p材料（自發(fā)熱）：其輸入信號為被加熱材料電渦流的平方，輸出信號為被加熱材料的熱功率，他表示單位時(shí)間內(nèi)材料表面有渦流的區(qū)域吸收的熱量；6. i材料（自發(fā)熱）：其輸入信號為熱功率，輸出信號為材料發(fā)熱量，他表示在加熱時(shí)間內(nèi)材料所吸收的所有熱量；7. 材料（熱導(dǎo)）：其輸入信號為材料發(fā)熱量而輸出信號為被加熱材料的出口溫度，他的作用是被加熱材料表芯溫度傳導(dǎo)。8. 檢測變送:其輸入信號為材料的出口溫度輸出信號為1-5v的電流信號，通過這個(gè)環(huán)

39、節(jié)把溫度轉(zhuǎn)化成電流信號與給定電壓信號作比較產(chǎn)生偏差作為控制器的輸入信號。從圖中可以看出，中頻感應(yīng)加熱爐的溫度控制系統(tǒng)是把給定信號與檢測信號的差值輸入plc控制器，通過控制器輸出相應(yīng)的控制電壓信號使電源輸出相應(yīng)的輸出功率，電源把這個(gè)功率信號輸出到線圈上使線圈產(chǎn)生感應(yīng)強(qiáng)度為的磁場，被加熱材料在線圈的磁場中產(chǎn)生渦流，從而發(fā)熱使材料自身表面溫度升高，再通過熱傳遞的方式向內(nèi)部進(jìn)行透熱，這樣加熱就成功了。在加熱爐的出口上有檢測溫度的裝置并把檢測出來的信號與給定信號比較。研究這個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也就是按這樣過程來分析的，目的就是確定這些環(huán)節(jié)間的關(guān)系。為簡化計(jì)算圖中的令控制器的傳遞函數(shù)為，而電源部分可以看做是一

40、個(gè)比例環(huán)節(jié)。加在線圈上的擾動為其阻率隨溫度的變化，是可以忽略的。加在被加熱材料（渦流）上的擾動為材料的長度、外徑誤差及形狀等，本次不做詳細(xì)分析。但需要分析其電阻率隨溫度的變化對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響。被加熱材料（自發(fā)熱）p上要考慮材料電阻隨溫度的變化而變化，i材料（自發(fā)熱）環(huán)節(jié)上的擾動為被加熱材料的傳送速度，材料（熱導(dǎo)）環(huán)節(jié)要考慮材料的比熱隨溫度的變化。而由于在加熱爐的后半段是保溫的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間里并沒有加熱，只是在進(jìn)行透熱使被加熱材料的表芯溫度接近。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型就是以這個(gè)框圖為基礎(chǔ)進(jìn)行分析的。3.2 加熱爐感應(yīng)線圈的數(shù)學(xué)模型3.2.1 溫度對加熱爐感應(yīng)線圈電阻的影響感應(yīng)線圈是感應(yīng)加熱爐的重要組成部分

41、，它是由截面積為a，長度為b的銅導(dǎo)線按一定的半徑繞成的。感應(yīng)線圈本身有電阻，所以會發(fā)熱，溫度自然就會升高。溫度升高會使電阻發(fā)生變化，相應(yīng)的發(fā)熱量就不一樣了。但是因?yàn)榫€圈與外環(huán)境進(jìn)行了熱交換所以上升的溫度有待討論，若線圈上升的溫度對其電阻率的影響幾乎可以忽略那么我們就可以不考慮溫度變化對線圈電阻的影響。電阻隨溫度的變化對感應(yīng)線圈的影響到底有多大，我們可以進(jìn)行討論。首先我們只針對電源對線圈做的功，線圈在溫度下的與在t溫度下的相差多少，是否可以忽略不計(jì)。電源對線圈做功為1： (3.1) 也可以表示為8： (3.2)結(jié)合(3.1)式和(3.2)式可得： (3.3) 其中：-為感應(yīng)線圈吸收的熱量， -為

42、銅導(dǎo)線的比熱容， -為線圈的質(zhì)量， -為環(huán)境的溫度， -線圈升高的溫度， -為線圈的電阻， -為電源的輸出電壓， -加熱的時(shí)間。根據(jù)電阻的計(jì)算公式： (3.4)因?yàn)殡娮杪适请S溫度變化的，并且有13： (3.5) 其中為線圈的電阻率；為室溫下銅的電阻率；為銅材料的電阻溫度系數(shù)。下表給出了一些材料的室溫電阻率及溫度系數(shù)： 表3-1 幾種金屬材料的室溫電阻率及溫度系數(shù)14 金屬材料名稱 室溫電阻率 （） 電阻溫度系數(shù)銅0.0172鋼（含碳量0.10%-0.15%）0.10-0.14鋁0.028康銅0.47-0.51銀0.016當(dāng)時(shí)： (3.6) 當(dāng)時(shí)： (3.7)（3.6）式與（3.7）式相減得：

43、(3.8)因?yàn)樗詫τ阢~導(dǎo)線即 (3.9)所以溫度變化很小。綜上所述電阻隨溫度的變化對感應(yīng)線圈影響很小幾乎可以忽略不計(jì)。 電阻的變化為： (3.10) 電阻的變化率也非常的小也可以忽略不計(jì)，所以可以得出： (3.11)其中：-為線圈的電阻 -為通過線圈的電流。由于近似為定值，所以電源輸出電壓一定時(shí)感應(yīng)線圈中的電流可以看做是恒定的，相應(yīng)的他產(chǎn)生的磁場也是恒定的。3.2.2 線圈電流與電源輸出功率的關(guān)系由于感應(yīng)線圈的材質(zhì)為銅線所以其電阻為： (3.12)所以線圈電流用電源的輸出功率表示為： (3.13)令線圈電流常數(shù)，則線圈的電可以簡化為： (3.14)這就是線圈電流與電源輸出功率的關(guān)系。3.2.

44、3 電源輸出功率與線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系感應(yīng)線圈緊密的圍繞在加熱爐加熱部分的外壁上，感應(yīng)線圈中的某點(diǎn)的位置如圖3-1所示。 圖3-2 某點(diǎn)p在線圈磁場中的位置根據(jù)上圖，列出線圈中某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方程14： (3.15)其中：-真空磁導(dǎo)率 n-線圈匝數(shù) -感應(yīng)線圈中的電流 -感應(yīng)線圈的線繞半徑 -加熱爐加熱部分的長度 -ap的距離 -bp的距離。線圈中的磁場可以看做是均勻的，所以線圈內(nèi)部每點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，這樣就可以相對方便地計(jì)算出線圈內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 (3.16) 結(jié)合方程(3.14)就可以得出線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度與電源輸出功率的關(guān)系。 (3.17) 這就是感應(yīng)線圈的數(shù)學(xué)模型，由于除電源的輸出電流

45、外，其他的各個(gè)參數(shù)都是定值，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度是關(guān)于感應(yīng)線圈中的電流的函數(shù)，感應(yīng)線圈中的電流是關(guān)于電源輸出功率的函數(shù)，而電源的輸出功率是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。所以電源輸出電流前的系數(shù)是一個(gè)常數(shù)。3.2.4 感應(yīng)線圈數(shù)學(xué)模型的簡化可以令為磁感應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)，他可以表示為： (3.18)所以線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以簡化為： (3.19)可以寫成： (3.20)控制系統(tǒng)線圈部分可以表示為一個(gè)比例環(huán)節(jié)，其比例系數(shù)為。 3.3 被加熱材料渦流的數(shù)學(xué)模型 3.3.1 感應(yīng)線圈與被加熱材料渦流的關(guān)系根據(jù)感應(yīng)加熱的原理可知，加熱爐的感應(yīng)線圈的內(nèi)部產(chǎn)生的磁場，使置于其內(nèi)部被加熱材料表面產(chǎn)生渦流，從而達(dá)到加熱的效果。線圈產(chǎn)生的

46、感應(yīng)電動勢1： (3.21)其中：-電源的頻率 -線圈內(nèi)部的磁通量。被加熱材料表面產(chǎn)生的電流： (3.22)其中：-被加熱材料被加熱部分的電阻。結(jié)合方程(3.20)與(3.21)可得： (3.23)線圈內(nèi)部的磁通量為26: (3.24)結(jié)合方程(3.28)和(3.29)可以得出： (3.25) 其中：-感應(yīng)線圈內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度 -感應(yīng)線圈的線繞半徑。 3.2.2 被加熱材料渦流的簡化數(shù)學(xué)模型 根據(jù)上一小節(jié)可知被加熱材料渦流是關(guān)于磁感應(yīng)強(qiáng)度b及電源頻率的函數(shù)，而磁感應(yīng)強(qiáng)度又是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。首先把看成是一個(gè)定值，則令渦流常數(shù)為： (3.26)所以方程（3.25）可以簡化為： (3.27) 以上就是感應(yīng)線圈與材料渦流的關(guān)系，從上式可以看出，被加熱材料的發(fā)熱功率與電源頻率及磁感應(yīng)強(qiáng)度的平方成正比。電流的平方可以表示為： (3.28)所以當(dāng)電源頻率一定時(shí)，被加熱材料渦流環(huán)節(jié)也可以簡化為一個(gè)比例環(huán)節(jié)，其比例系數(shù)為：。3.3 被加熱材料渦流與熱功率的關(guān)系模