材料力學(xué)筆記材力II剖析

1、材料力學(xué)（土）筆記第一章 彎曲問題的進(jìn)一步研究1非對稱純彎曲梁的正應(yīng)力 當(dāng)梁不具有縱向?qū)ΨQ平面 或者梁雖然具有縱向?qū)ΨQ平面，但外力不作用在該平面內(nèi)時 梁將發(fā)生 非對稱彎曲這時對稱彎曲的正應(yīng)力公式將不再適用1.1 非對稱純彎曲梁正應(yīng)力的普遍公式 若梁的任意橫截面上只有彎矩 M （其值等于外力偶 M e） 取 x 軸為梁的軸線， y ， z 軸為橫截面上任意一對相互垂直的形心軸 彎矩 M 及其在 y， z軸上的分量 M y和M z均用矢量表示 對于非對稱彎曲，平面假設(shè)依然成立 非對稱彎曲梁橫截面上任一點處正應(yīng)力的普遍表達(dá)式為M y （zIz yI yz） M z（yIy zIyz）2IyIz I

2、y2z 上式稱為廣義彎曲正應(yīng)力公式 式中 Iy、 Iz和 I yz依次為橫截面對 y軸和 z軸的慣性矩及對 y， z軸的慣性積 y 和 z 代表橫截面上任一點的坐標(biāo) 可解出中性軸與 y 軸間的夾角 為M zIy M yIyz tanM yIz M zI yz 橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力將分別發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的點處 對于具有棱角的橫截面，其最大拉、壓應(yīng)力必發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的截面棱角處 對于周邊為光滑曲線的橫截面，可平行于中性軸作兩直線分別與橫截面周邊相切于兩點 該兩點即為橫截面上的最大拉、壓應(yīng)力點 將其坐標(biāo) （ y, z）分別代入廣義彎曲正應(yīng)力公式，即可得橫截面上的最大拉應(yīng)力（壓應(yīng)力）

3、 由于梁危險截面上的最大拉應(yīng)力t,max 和最大壓應(yīng)力 c,max 點均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)于是根據(jù)最大拉、壓應(yīng)力不得超過材料許用拉、壓應(yīng)力的強(qiáng)度條件 即可進(jìn)行非對稱純彎曲梁的強(qiáng)度計算1.2 廣義彎曲正應(yīng)力公式的討論不論梁是否有縱向?qū)ΨQ平面， 外力是否作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)， 廣義彎曲正應(yīng)力公式都適用 即廣義彎曲正應(yīng)力公式包含了對稱彎曲情況下的正應(yīng)力計算公式 梁具有縱向?qū)ΨQ平面，且外力作用在該對稱平面內(nèi)將M y 0、Mz M 、 Iyz 0代入廣義彎曲正應(yīng)力公式，即得上式即為對稱彎曲情況下橫截面上任一點處的正應(yīng)力公式 在對稱彎曲中已知，梁的撓曲線必定是外力作用平面內(nèi)的一條平面曲線 這一類彎曲也稱為

4、平面彎曲 梁不具有縱向?qū)ΨQ平面 但外力作用在（或平行于）由梁的軸線與形心主慣性軸組成的形心主慣性平面內(nèi) 將My 0，Mz M 、Iyz 0代入廣義彎曲整理公式，同樣可得上面的公式上式表明，只要外力作用在（或平行于）梁的形心主慣性平面內(nèi)對稱彎曲時的正應(yīng)力哦給你時仍然適用可得 tan ， 90 ，說明中性軸垂直于彎矩（即外力）所在平面 即梁彎曲變形后的撓曲線也將是外力作用平面內(nèi)的平面曲線，屬于平面彎曲范疇 梁具有縱向?qū)ΨQ平面，但外力的作用平面與縱向?qū)ΨQ平面間有一夾角彎矩 M 的矢量與 y軸間的夾角為 ，將 My M cos 、Mz Msin 、Iyz 0代入M cosM sinIz此時橫截面上任一

5、點處的正應(yīng)力，可視作兩相互垂直平面內(nèi)對稱彎曲情況下正應(yīng)力的疊加在此情況下，確定中性軸與 y 軸間夾角的公式化簡為tanMz Iy Iy tan M y I z Iz斜彎曲對于 Iy I z，因而 即中性軸不再垂直于彎矩（即外力）所在的平面 梁彎曲變形后，其撓曲線不再外力作用的平面內(nèi)，這類彎曲也稱為2兩種材料的組合梁設(shè)梁由材料 1 與材料 2 組成其彈性模量分別為 E1 和 E2 ，且 E1 E2 ，相應(yīng)的橫截面面積分別為 A1 和 A2 梁在縱對稱平面內(nèi)承受純彎曲，橫截面上的彎矩為 M 當(dāng)梁的兩種材料的接觸部分緊密結(jié)合，在彎曲變形過程中無相對錯動時，視作整體 平面假設(shè)與單軸應(yīng)力狀態(tài)假設(shè)依然成立

6、取截面的對稱軸和中性軸分別為 y 軸和 z 軸 由平面假設(shè)可知，橫截面上各點處的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性規(guī)律變化 任一點 y 處的縱向線應(yīng)變?yōu)閥式中， 為中性層的曲率半徑 當(dāng)梁的材料均處于線彈性范圍，由單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 可得橫截面上材料 1與 2部分的彎曲正應(yīng)力分別為由橫截面上正應(yīng)力所構(gòu)成的法向分布內(nèi)力系的合成等于內(nèi)力的靜力學(xué)關(guān)系，即得A 1dA1A 2 dA2FN 0A1A2A y 1dA1 A y 2dA2 M與同一材料梁在對稱彎曲時的推導(dǎo)相仿若將組合梁的截面變換為僅由材料 1 構(gòu)成的截面，則僅需將橫截面上材料 2 的寬度換為b E2E1于是兩種材料的組合梁可變換為同一材料的均質(zhì)

7、梁進(jìn)行計算 同一材料的截面相當(dāng)于兩種材料的實際截面，稱為 相當(dāng)截面 應(yīng)用相當(dāng)截面，按同一材料梁算出的橫截面上的正應(yīng)力 于材料 1 部分，即為實際的應(yīng)力材料 2 部分（變換寬度部分） ，必須將其乘以兩材料彈性模量之比值E2 / E1 ，才是實際應(yīng)力 上述按相當(dāng)截面的計算方法，對于其他形狀截面的兩種材料組合梁也完全適用只需將截面高度維持不變，將其寬度折算，即可得到相當(dāng)于一種材料的相當(dāng)截面 在計算相當(dāng)截面時，將原來的截面折算為哪一種材料的相當(dāng)接面，對計算結(jié)果無影響3開口薄壁截面梁的切應(yīng)力彎曲中心3.1 開口薄壁截面梁的切應(yīng)力 對于橫向力作用下的非對稱開口薄壁截面梁 橫向力必須作用在平行于形心主慣性平

8、面的某一特定平面內(nèi) 才能保證梁只發(fā)生平面彎曲而不扭轉(zhuǎn) 這以一特定平面，就是梁在形心主慣性平面內(nèi)發(fā)生彎曲時橫截面上剪力Fs 所在的縱向平面若橫向力作用在平行于該特定平面的另一縱向平面內(nèi)則梁不僅發(fā)生平面彎曲，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)3.2 開口薄壁截面的彎曲中心 非對稱薄壁截面梁，其橫截面上剪力FSy和 FSz的作用線教育 A點為使梁只發(fā)生彎曲而不扭轉(zhuǎn)，梁很說那個橫向外力所在的縱向平面就必須通過該交點 A 這一交點稱為截面的 彎曲中心 ，或 剪切中心 對于具有一根對稱軸的截面，其彎曲中心都在截面的對稱軸上 則僅需確定其垂直于對稱軸的剪力作用線， 剪力作用線與對稱軸的交點即為截面的彎曲中心 若截面具有兩根對稱軸

9、，則兩根對稱軸的交點（即截面形心）即是彎曲中心 對于由兩個狹長矩形組成的截面，由于狹長矩形上的切應(yīng)力方向平行于長邊 且數(shù)值沿厚度不變，故剪力作用線必與狹長矩形的中線重合， 其彎曲中心應(yīng)位于梁狹長矩形中心的交點 彎曲中心的位置僅與橫截面的幾何特征有關(guān) 因為彎曲中心僅決定于剪力作用線的位置，而與其方位及剪力的數(shù)值無關(guān)4開口薄壁截面梁約束扭轉(zhuǎn)的概念 5平面大曲率桿純彎曲時的正應(yīng)力第二章 考慮材料塑性的極限分析1塑性變形塑性極限分析的假設(shè)1.1 塑性變形的特征 塑性變形主要特征塑性變形時不可逆的 永久變形 ，一旦產(chǎn)生后，即使荷載卸除也不會消失 產(chǎn)生塑性變形后再卸除荷載，往往會導(dǎo)致受力構(gòu)件內(nèi)的 殘余應(yīng)力

10、 應(yīng)力超過彈性范圍后，應(yīng)力 -應(yīng)變呈非線性關(guān)系 塑性變形與加載的歷程有關(guān) 應(yīng)力超過彈性范圍后，卸載時的應(yīng)力 -應(yīng)變關(guān)系基本上按平行于彈性階段的直線呈線性關(guān)系 直至達(dá)到材料在反向時的屈服極限，這就是材料的卸載規(guī)律在考慮材料的塑性變形時，對于同一應(yīng)力水平，不同加載過程對應(yīng)的應(yīng)變值不同 只有明確了加載過程，才能得到應(yīng)力、應(yīng)變間的對應(yīng)關(guān)系 金屬材料的塑性變形遠(yuǎn)大于彈性變形量 當(dāng)應(yīng)力超過彈性范圍后，其總應(yīng)變包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變通常所說的塑性變形，是指在常溫下、與時間無關(guān)的不會消失的永久變形 在高溫下隨承載持續(xù)時間而引起的塑性變形，稱為 蠕變1.2 塑性極限分析假設(shè)實際工程中，為簡化計算，通常作如下假設(shè)

11、荷載為單調(diào)增加的靜荷載， 若多個荷載同時作用， 則各個荷載按比例同時由零增至最終值 滿足上述加載方式的荷載稱為 簡單加載結(jié)構(gòu)（或構(gòu)件）雖局部產(chǎn)生塑性變形，但其總體的變形仍然足夠小 因而其變形的幾何相容條件仍保持為線性 結(jié)構(gòu)（或構(gòu)件）由于大的塑性變形變?yōu)閹缀慰勺儥C(jī)構(gòu)時，稱結(jié)構(gòu)（或構(gòu)件）達(dá)到了 極限狀態(tài) 結(jié)構(gòu)（或構(gòu)件）達(dá)到極限狀態(tài)之前，應(yīng)始終保持為幾何不變體系材料具有屈服階段，在塑性變形較小時，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可理想化為理想塑性模型其中，一種是不考慮彈性變形的影響，即材料在達(dá)到屈服極限之前，應(yīng)變?yōu)榱?而在達(dá)到屈服極限之后，應(yīng)力保持不變，應(yīng)變持續(xù)增長，稱為剛性 -理想塑性模型另一種是考慮彈性變形

12、的影響，即材料在屈服極限前，應(yīng)力 -應(yīng)變關(guān)系保持為線性，并服從 胡克定律，在達(dá)到屈服極限后，應(yīng)力保持不變而應(yīng)變可繼續(xù)增長，稱為 彈性 -理想塑性模型2拉、壓桿系的極限荷載 對于靜定的拉、壓桿系，當(dāng)其中受力最大的一桿的應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限時 結(jié)構(gòu)就將產(chǎn)生大的塑性變形而達(dá)到極限狀態(tài) 因此，結(jié)構(gòu)的極限荷載與彈性分析中最大應(yīng)力達(dá)到屈服極限，使桿件開始屈服時荷載相同 對于一次超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)其中受力最大的桿件的應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限 而使該桿開始屈服時，由于超靜定結(jié)構(gòu)存在多余約束，結(jié)構(gòu)并不會產(chǎn)生大的塑性變形 若繼續(xù)增加荷載，則開始屈服的桿件，其應(yīng)力保持不變（保持為屈服極限） 其他桿的應(yīng)力持續(xù)增長，直至其

13、他某一桿內(nèi)的應(yīng)力也達(dá)到屈服極限時 結(jié)構(gòu)開始大的塑性變形變成幾何可變機(jī)構(gòu)，而使結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài) 結(jié)構(gòu)（或構(gòu)件）開始出現(xiàn)塑性變形時的荷載，稱為 屈服荷載 ，記為 Fs 使結(jié)構(gòu)（或構(gòu)件）處于極限狀態(tài)的荷載，稱為極限荷載 ，記為 Fu按彈性設(shè)計時，結(jié)構(gòu)的破壞荷載為屈服荷載 考慮材料塑性的極限分析時，結(jié)構(gòu)的破壞荷載為極限荷載3等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的極限扭矩設(shè)直徑為 d ，長度為 l 的等直圓桿承受扭轉(zhuǎn)外力偶矩 M e的作用圓桿的材料為彈性 -理性塑性，其切應(yīng)力與切應(yīng)變 的關(guān)系如正應(yīng)力與應(yīng)變的彈塑性關(guān)系材料的彈性模量為 G彈性階段，最大切應(yīng)力和相對扭轉(zhuǎn)角分別為16Md32 maxlTlGI pGdTWTs Wp

14、 s 16 當(dāng)幾面各點處的切應(yīng)力均達(dá)到s 時，則橫截面上各點處均將發(fā)生塑性變形桿件開始產(chǎn)生塑性變形，橫截面上的扭矩為屈服扭矩，其值為 d3 s整個截面進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，這時不需要再增大外力偶矩，桿件將繼續(xù)扭轉(zhuǎn)變形引起大的塑性變形，即桿件達(dá)到極限狀態(tài)極限狀態(tài)的極限扭矩為Tu A sdAd /2 2d3TusdA 2 s2dsu A s s 0 12 s 考慮材料的塑性時，增加了圓桿的承載能力若等直圓桿在達(dá)到極限扭矩 Tu 后，卸除荷載，即反向施加外力偶矩 Me Tu 則圓桿的橫截面將有 殘余應(yīng)力 存在，殘余應(yīng)力有以下特征 卸載后圓桿橫截面上的殘余應(yīng)力必自相平衡殘余應(yīng)力的最大值為 s ，如在卸載后

15、，繼續(xù)翻向增大外力偶矩2當(dāng)外力偶矩增大到 MeTs 時，橫截面周邊處的切應(yīng)力將達(dá)到s3若繼續(xù)增大外力偶矩， - 關(guān)系將不再保持線性關(guān)系，不能用簡單的線性疊加4梁的極限彎矩塑性鉸4.1 純彎曲梁的極限彎矩 設(shè)一承受純彎曲的矩形截面梁，材料可理想化為彈性-理想塑性模型且在拉伸和壓縮時的彈性模量 E和屈服極限 s 均相同 在線彈性范圍內(nèi)，梁橫截面上任一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比 其中性軸為橫截面的水平對稱軸 當(dāng)梁橫截面上的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限時，梁開始發(fā)生塑性變形 橫截面上的彎矩為bh梁的曲率為s2Eh若繼續(xù)增大外力偶矩，則截面上的彎矩也隨之增大并隨著顯影的增大，橫截面上正應(yīng)力達(dá)到

16、s 的區(qū)域?qū)⒂善渖?、下邊緣逐漸向中軸擴(kuò)展即線應(yīng)變s的點處的正應(yīng)力達(dá)到s，而 s 各點處的正應(yīng)力均保持為 s這時梁處于彈性 -塑性階段，梁雖已產(chǎn)生塑性變形，但其值不大，是有限的 當(dāng)整個橫截面上各點處的正應(yīng)力均達(dá)到 s ，則整個截面進(jìn)入完全塑性狀態(tài) 梁將發(fā)生明顯的塑性變形而達(dá)到極限狀態(tài) 梁橫截面上受拉部分的面積為 At ，受壓部分面積為 Ac ， At Ac橫截面上軸力 FN 是確定中性軸的條件 當(dāng)梁達(dá)到極限狀態(tài)時，中性軸將橫截面分為兩個面積相等的部分 對于具有水平對稱軸的橫截面，其中性軸與該對稱軸重合 對于無水平對稱軸的橫截面，其中性軸將與線彈性范圍內(nèi)工作時的中性軸位置不同 中性或走將隨塑性區(qū)的

17、增加而不斷移動 在極限狀態(tài)下，橫截面上法向內(nèi)力元素所組成的力偶矩就是梁的極限彎矩 MMusWsWs St ScSt 和 Sc分別為受拉部分的面積 At ，受壓部分面積 Ac對中性軸的靜矩，均取正值 式中， Ws稱為塑性彎曲截面系數(shù)， 對于由水平對稱軸的橫截面 St Sc，Mu/Ms Ws /W4.2 橫力彎曲梁的極限荷載塑性鉸 對于在橫向外力作用下的靜定梁，考慮材料塑性時梁的極限荷載 可根據(jù)最大彎矩所在截面的極限進(jìn)行計算 梁材料可理想化為彈性 -理想塑性模型 當(dāng)梁上的最大彎矩小于屈服彎矩時，梁處于彈性狀態(tài) 當(dāng)最大彎矩達(dá)到屈服彎矩時，危險截面上的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限 當(dāng)荷載繼續(xù)增加，跨中

18、截面上的彎矩 M 處于 Ms M Mu 范圍時 梁處于彈性 -塑性狀態(tài)，跨中截面上的塑性區(qū)逐漸向中性軸擴(kuò)展 最大正應(yīng)力達(dá)到屈服極限的截面，則從跨中截面逐漸向兩側(cè)延伸 當(dāng)荷載增大到梁跨中截面上的彎矩達(dá)到極限彎矩時，截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，彈性區(qū)消失 這時跨中截面兩側(cè)的兩段梁，在極限彎矩不變的條件下，將繞截面的中性軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動 由于截面達(dá)到完全塑性而引起的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，猶如在該截面處安置了一個鉸鏈，稱為 塑性鉸 塑性鉸時由于截面達(dá)到完全塑性所引起的鉸鏈效應(yīng) 這時，截面上承受的彎矩即為極限彎矩 塑性鉸所在截面兩側(cè)兩段梁的轉(zhuǎn)動方向，恒與極限彎矩方向一致 當(dāng)梁卸載，即截面上的彎矩小于極限彎矩，塑性鉸的效應(yīng)隨

19、之消失第三章 能量法1概述 可變形固體在受外力作用而變形時，外力和內(nèi)力均將做功 對于彈性體，由于變形的可逆性，外力在相應(yīng)的位以上所作的功 在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能 當(dāng)外力撤除時，這種應(yīng)變能將全部轉(zhuǎn)換為其他形式的能量 利用功和能的概念求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法，統(tǒng)稱能量法2應(yīng)變能余能2.1 應(yīng)變能 當(dāng)桿件發(fā)生組合變形時，在線彈性、小變形條件下 每一基本變形的內(nèi)力對其他的節(jié)本變形并不做功 故組合變形桿的應(yīng)變能等于各基本變形應(yīng)變能的總和 若組合變形桿橫截面上的內(nèi)力包括軸力、扭矩和彎矩 且三者均可表達(dá)為截面位置 x 的函數(shù)，不計剪力影響，則組合變形等直圓桿應(yīng)變能VFN2(x)d

20、xT2(x)dxM 2(x)dxV l 2EA l 2GI p l 2EI 式中積分應(yīng)遍及全桿，若為非圓截面桿，則 Ip 應(yīng)改為 It 由于材料是彈性體，略去加載和卸載過程中的能量損耗 外力所作的功在數(shù)值上就等于積蓄在桿內(nèi)的應(yīng)變能，即1V W1 Fd0 在拉桿加載過程中，單元體上外力所作的功等于積蓄在單元體內(nèi)的應(yīng)變能1v W dV dV V v dV v V v AL 對于桿件內(nèi)各點處的應(yīng)變能密度 v 隨該點的坐標(biāo)而改變的情況，應(yīng)先求出應(yīng)變能密度，再 積分計算整個梁內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能和 要換成 和在扭轉(zhuǎn)時，整個軸內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能同理計算，但 應(yīng)變能具有如下特征 應(yīng)變能恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)系的選取

21、無關(guān)在桿系的不同桿件或不同桿段，可獨立選取坐標(biāo) 應(yīng)變能僅與荷載的最終值有關(guān)，與加載順序無關(guān)線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變能為內(nèi)力（或位移）的二次齊次函數(shù)，力的疊加原理不再適用2.2 余能 另一個能量參數(shù)稱為 余能 ，是仿照外力功的表達(dá)式計算另一積分 積分是 F - 曲線與縱坐標(biāo)軸間的面積，與外力功之和正好等于矩形面積F1 1，稱為 余功用Wc 表示，即F1Wc 0 1 dF 將余功相應(yīng)的能稱為余能，并用 Vc 表示，余功和余能在數(shù)值上相等，即F1Vc Wc 0 1 dF 幾何線性問題中，同樣可仿照應(yīng)變能密度來計算應(yīng)變能的方式1Vc V vcdV ， vc 0 d余能有以下特征 余能（或余能密度）僅具有與應(yīng)

22、變能（或應(yīng)變能密度）相同的量綱，并無具體的物理意義 線彈性材料的幾何線性問題中，由于荷載與位移（或應(yīng)力與應(yīng)變）間的線性關(guān)系 因而余能（或余能密度）在數(shù)值上等于應(yīng)變能（或應(yīng)變能密度） ，但兩者迥然不同3卡氏定理3.1 卡氏第一定理 卡斯蒂利亞諾導(dǎo)出了計算彈性桿件的力和位移的兩個定理 通常稱為卡氏第一定理和卡氏第二定理設(shè)梁的材料為非線性彈性，梁上有 n 個集中荷載作用 與這些集中荷載相對應(yīng)的最后位移分別為1 、 2 、. 、 n假定這些荷載咱比例同時由零增至其最終值F1、 F2 、 . 、 Fn （即為簡單加載）于是外力所作的總功就等于每個集中荷載在加載過程中所作功的總和，則niV W 0 fi

23、d ii 1 0式中， fi和 i為加載過程中荷載以及位移的瞬時值，右端每一積分均為位移 i 的函數(shù) 設(shè)與第 i 個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量 d i ，則梁內(nèi)應(yīng)變能的變化 dVdV V d iii其中， 代表應(yīng)變能對于位移 i 的變化率ii因為僅與第 i 個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量，而與其余各荷載相應(yīng)的位移均保持不變 因此對于位移的微小增量 d i ，僅 Fi 作了外力功，則外力功的變化為dW Fid i 由于外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，故有dV dW整理可以得到FiVi上式表明：彈性桿件的應(yīng)變能對于桿件上某一位移之變化率，等于改為以相應(yīng)的荷載 稱為 卡氏第一定理 卡氏第一定理適用于一切受力

24、狀態(tài)下線性或非線性的彈性桿件 式中， Fi代表作用在桿件上的 廣義力 ，可以代表一個力、一個力偶、一對力或一對力偶i 則為與之相應(yīng)的 廣義位移 ，可以是一個線位移、一個角位移、相對線位移或相對角位移 在運用卡氏第一定理時，必須將應(yīng)變能表達(dá)成給定位移的函數(shù)形式 這樣才可能求其對給定位移的變化率3.2 卡氏第二定理受 n 個集中荷載 F1 、 F2 、 . 、 Fn 作用的梁，材料為非線彈性與各荷載相應(yīng)的最終位移分別為1 、 2 、. 、 n ，按簡單方式加載外力的總余功等于每一集中荷載的余功之總和，梁內(nèi)的余能為FiVc Wc0idfii1式中, fi和 i 分別為加載過程中荷載及位移的瞬時值Fi

25、 的函數(shù)Vc上式表明 , 梁內(nèi)的余能時作用在梁上一系列荷載 同卡氏第一定理，可得 上式表明：彈性桿件的余能 Vc 對于桿件上某一荷載之變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移 稱為 余能定理 ，余能定理適用于一切受力狀態(tài)下線性或非線性彈性桿件 式中， Fi代表廣義力，而 i 代表與之相應(yīng)的廣義位移 在彈性桿件或桿系中，由于力與位移成正比，桿內(nèi)得應(yīng)變能在數(shù)值上等于余能 因此對于線彈性桿件或桿系，可用應(yīng)變能代替余能，從而得到iVFi上式表明： 線彈性桿件或桿系的應(yīng)變能對于作用在該桿件或桿系上的某一荷載值變化率， 于該荷載相應(yīng)的位移，稱為 卡氏第二定理 卡氏第二定理時余能定理在線彈性情況下的特例，仍然適用于任

26、意受力形式下的線彈性桿 卡氏第一定理和余能定理適用于線彈性或非線彈性體，而卡氏第二定理僅適用于線彈性體4用能量法解超靜定系統(tǒng)利用能量法所得力 - 位移間的物理關(guān)系， 就可求解超靜定問題的范圍擴(kuò)展到任意荷載作用下、 線彈性桿系、剛架或曲桿等超靜定問題5虛位移原理及單位力法第五章 應(yīng)變分析電阻應(yīng)變計法基礎(chǔ)1概述 在實際工程中，有一些構(gòu)件或由于形狀不規(guī)則，或由于受情況、工作條件比較復(fù)雜 按其計算簡圖進(jìn)行的理論計算結(jié)果，往往與實際情況有較大出入 有時也用試驗的方法來檢驗按計算簡圖進(jìn)行理論分析所得結(jié)果的精確度 通過實驗來研究和了解結(jié)構(gòu)或構(gòu)件應(yīng)力的方法，稱為 實驗應(yīng)力分析 實驗應(yīng)力分析方法很多，較為常用的

27、有電阻應(yīng)變計法等 方法是以電阻應(yīng)變片為傳感元件，將其粘貼在被測構(gòu)件的測點處，使其隨同構(gòu)件變形 將構(gòu)件測點的應(yīng)變轉(zhuǎn)換為電阻應(yīng)變片的電阻變化，便可確定測點處的應(yīng)變 并進(jìn)而按胡克定律的得到其應(yīng)力 電阻應(yīng)變計的特點是傳感元件小，適應(yīng)性強(qiáng)，測試精度高 該方法有其局限性，即只能測量受力構(gòu)件表面上各點處的應(yīng)變 在實際應(yīng)變測量中， 往往先測定測點處沿幾個方向的線應(yīng)變， 然后確定該點處的最大線應(yīng)變 進(jìn)而確定該點處的最大正應(yīng)力2平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析2.1 任意方向的應(yīng)變推導(dǎo)平面應(yīng)力狀態(tài)下一點處在該平面內(nèi)沿任意方向線應(yīng)變和切應(yīng)變的表達(dá)式 規(guī)定 角逆時針轉(zhuǎn)動為正先分別算出由各應(yīng)變分量 x、 y 、 xy單獨存在時

28、的線應(yīng)變 和切應(yīng)變 然后按照疊加原理求得同時存在時的線應(yīng)變 和切應(yīng)變 ，得到1y)cos 2 xysin2xyy)sin 22xycos22.2 應(yīng)變圓將線應(yīng)變 作為橫坐標(biāo)，將 /2 作為縱坐標(biāo)，即將縱坐標(biāo)的正向取為鉛垂向下 便可繪出表示平面應(yīng)力狀態(tài)下一點處不同方向的應(yīng)變變化規(guī)律的 應(yīng)變圓 受力物體內(nèi)一點處各方向應(yīng)變的集合，稱為一點處的應(yīng)變狀態(tài) 在已知一點處的三個應(yīng)變分量x、 y、 xy 后，就可依照應(yīng)力圓的作法作出應(yīng)變圓注意應(yīng)邊圓的縱坐標(biāo)時 /2 ，且正值的切應(yīng)變在橫坐標(biāo)下方2.3 主應(yīng)變的數(shù)值與方向 平面應(yīng)力狀態(tài)下，在平面內(nèi)一點處也存在著兩個相互垂直的 主應(yīng)變 其相應(yīng)的切應(yīng)變均等于零，由應(yīng)

29、變圓可得兩主應(yīng)變的表達(dá)式為12( xy)( xy )2xy22 21( xy)( xy)2xy2 主應(yīng)變 1 的方向與 x軸間所夾角度為xy / 2xyxyxy2 0 arctan arctan 00 ( x y)/2 ( xy) 0Rl /lRKs式中，常數(shù) Ks稱為 材料的靈敏系數(shù)因此可選取合適的導(dǎo)體制造成電阻應(yīng)變片，粘貼在構(gòu)件表面測點處R / R與導(dǎo)體的彈性線應(yīng)變 l /l 成正比，即使其隨同構(gòu)件變形，從而測定構(gòu)件測點處的應(yīng)變金屬絲制造成應(yīng)變片后， 因金屬絲回繞形狀， 基體和膠層等因素影響， 應(yīng)變片的 靈敏因數(shù) 為3電阻應(yīng)變計法的基本原理3.1 轉(zhuǎn)換原理及電阻應(yīng)變片導(dǎo)體在一定應(yīng)變范圍內(nèi)，

30、其電阻改變率K R/ R式中， 為沿應(yīng)變片長度方向的線應(yīng)變應(yīng)變片的靈敏因數(shù) K 與制造應(yīng)變片材料的靈敏因數(shù) Ks 值不盡相同 應(yīng)變片的靈敏因數(shù) K 一般通過實驗測定，常用應(yīng)變片 K 值為 1.7 3.6 電阻應(yīng)變片的基本參數(shù)為靈敏因數(shù) K 、電阻值 R、標(biāo)距 l 和寬度 a 由應(yīng)變片測得的應(yīng)變實際上式標(biāo)距和寬度范圍內(nèi)的平均應(yīng)變 當(dāng)需要測量一點處的應(yīng)變時，應(yīng)選取盡可能小的應(yīng)變片 當(dāng)要測量不均勻材料的應(yīng)變時， 則須選用足夠大的應(yīng)變片， 以得到測量范圍內(nèi)的平均應(yīng)變值3.2 測量原理及電阻應(yīng)變儀應(yīng)變片隨同構(gòu)件變形而引起的電阻變化，可用四臂電橋（惠斯頓電橋）來測量電橋的四個橋臂的電阻分別為R1 、 R2

31、 、 R3 和 R4當(dāng)對交結(jié)點 A 、 C接上電壓為 U AC的直流電源時，另一對角結(jié)點 B、 D的輸出電壓為UBD U AB U ADI1R1I4R4由于U AC U ACI1， I41 R1 R2 4 R3 R4故得到R1R3 R2R4U BD U ACBDAC (R1 R2)(R3 R4)當(dāng)電橋的輸出電壓 UBD =0，即電橋平衡時，得R1R3 R2R4 若電橋的四個橋臂均為粘貼在構(gòu)件上的電阻應(yīng)變片，且其初始電阻相等 則在構(gòu)件受力前，電橋保持平衡， UBD =0在構(gòu)件受力后各應(yīng)變片產(chǎn)生的電阻該變量分別為R1、 R2 、 R3和 R4U BDU AC R1 R3 R2 R44R考慮到 Ri

32、 遠(yuǎn)小于 R ，略去分子中 Ri 的高次向和分母中的 Ri項 即可得到電橋的輸出電壓為為了提高測量精度，實際應(yīng)用的應(yīng)變儀采用雙電橋結(jié)構(gòu)，把測量電橋和讀數(shù)電橋串聯(lián)起來R1、R2、 R3和 R4是有應(yīng)變片組成的測量電橋四個橋臂的電阻 而 R1 、 R2 、 R3 和 R4 為由可調(diào)電阻組成的讀數(shù)電橋四個橋臂的電阻 雙電橋的總輸出電壓為U UBD UB D旋鈕刻度盤的讀數(shù) R 與測量電橋中的四個應(yīng)變片的應(yīng)變值之間的關(guān)系式為R 1 3 2 4 按上述原理制成的儀器稱為電阻應(yīng)變儀 應(yīng)用電阻應(yīng)變儀，可直接讀出構(gòu)件表面被測點處應(yīng)變片的應(yīng)變值3.3 應(yīng)變測量中一些問題 用電阻應(yīng)變計法測量應(yīng)變時，通?？紤]以下幾

33、個問題測量電橋的接線 在實際測量中，測量電橋的接線方式有兩種 一種是半橋接線法，將測量電橋的 R1、 R2兩臂接上應(yīng)變片，而另兩臂 R3和 R4短接 即用電阻應(yīng)變儀內(nèi)接的相同值的標(biāo)準(zhǔn)電阻（ 3 4 0 ） 另一種是全橋接線法， 即將測量電橋的四個橋臂都接上應(yīng)變片 溫度補(bǔ)償 在測量過程中，工作環(huán)境的溫度變化將引起構(gòu)件和應(yīng)變片產(chǎn)生溫度變形 各應(yīng)變片處的溫度變化也不一定相同， 測得的應(yīng)變值將包含溫度變化的影響， 導(dǎo)致測量誤差 為消除由溫度變化而引起的測量誤差 測量中可使相鄰兩臂的應(yīng)變片粘貼在處于同一溫度環(huán)境下相同材料的表面上 其中一個為構(gòu)件測點的應(yīng)變片，稱為工作片 一個為不受荷載作用的應(yīng)變片，稱為溫

34、度補(bǔ)償片 靈敏因數(shù)調(diào)整器的使用 由于各種電阻應(yīng)變片的靈敏因數(shù) K 值不盡相同 為使應(yīng)變儀的讀數(shù)值正確反映測點的應(yīng)變，在實際測試中 同一次測試應(yīng)選用具有相同靈敏因數(shù)值的同一種應(yīng)變片 并且在測量前，將電阻應(yīng)變儀上靈敏因數(shù)調(diào)整器的指針對準(zhǔn)應(yīng)變片的靈敏因數(shù) K 值 這時，應(yīng)變儀的讀數(shù) R 與四個橋臂的應(yīng)變間才符合關(guān)系4應(yīng)變的測量與應(yīng)力的計算4.1 單軸應(yīng)力狀態(tài) 當(dāng)構(gòu)件的測點處于單軸應(yīng)力狀態(tài)時 只需在測點處沿主應(yīng)力方向（亦即主應(yīng)變方向）粘貼一個電阻應(yīng)變片 然后，用電阻應(yīng)變儀測定其應(yīng)變 ，并按胡克定律E 求得其正應(yīng)力 ，也即測點處的主應(yīng)力4.2 主應(yīng)力方向已知的平面應(yīng)力狀態(tài) 若構(gòu)件的測點處于平面應(yīng)力狀態(tài) 且其主應(yīng)力方向（即主應(yīng)變方向）可通過理論分析或其他試驗方法加以確定 則可在測點處沿兩個主應(yīng)力方向粘貼電阻應(yīng)變片，應(yīng)用溫度補(bǔ)償片或自動補(bǔ)償法 測得相應(yīng)的兩個主應(yīng)變 然后，應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律公式，得到測點處相應(yīng)的兩個主應(yīng)力4.3 主應(yīng)力方向未知的平面應(yīng)力狀態(tài) 若構(gòu)件的測點處于平面應(yīng)力狀態(tài)，而其主應(yīng)力方向尚未可知 無法直接測定該點處的兩個主應(yīng)變 為此，可通過測定該點處任意三個方向的線應(yīng)變，據(jù)此以確定主應(yīng)變及其方向 在實際測試中，為了簡化計算，通常采用45應(yīng)變花，或稱 直角應(yīng)變花有時也采用 60應(yīng)變花，