一次函數與反比例函數.第2講.一次函數與代數綜合.教師版

1、第二講一次函數與代數綜合中考要求板塊考試要求a級要求b級要求c級要求一次函數理解正比例函數；能結合具體情境了解一次函數的意義，會畫一次函數的圖象；理解一次函數的性質會根據已知條件確定一次函數的解析式；會根據一次函數的解析式求其圖象與坐標軸的交點坐標；能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解能用一次函數解決實際問題知識點睛一、一次函數解析式的確定用待定系數法求一次函數的解析式定義：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待字系數法用待定系數法求函數解析式的一般步驟：根據已知條件寫出含有待定系數的解析式；將的幾對值，或圖象上的幾個點的坐標代入上述的解

2、析式中，得到以待定系數為未知數的方程或方程組；解方程（組），得到待定系數的值；將求出的待定系數代回所求的函數解析式中，得到所求的函數解析式二、一次函數與一元一次方程的關系：直線與x軸交點的橫坐標，就是一元一次方程的解。求直線與x軸交點時，可令，得到方程，解方程得，直線交x軸于，就是直線與x軸交點的橫坐標。三、一次函數與一元一次不等式的關系：任何一元一次不等式都可以轉化為或(為常數，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（?。┯?時，求自變量相應的取值范圍。四、一次函數與二元一次方程（組）的關系： 一次函數的解析式本身就是一個二元一次方程，直線上有無數個點，每個點的橫縱坐標都滿足

3、二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有無數個。重、難點重點：了解和理解函數的定義以及靈活運用函數的判定，同時注意函數的自變量取值范圍的判定；一次函數的定義及其判定，一次函數的性質難點：一次函數與反比例函數的綜合運用，以及一次函數和反比例函數的實際運用例題精講板塊一 用待定系數法求解析式1、用待定系數法求解析式【例1】 已知函數圖象如圖所示，則此函數的解析式為（ ）a. b. c. d. 【解析】 由題意，正比例函數經過點（-1，2），求出函數解析式為，同時根據圖象看出自變量的取值范圍為答案：b【例2】 已知一次函數的圖象經過(3，2)和(1，-2)兩點求這個一次函數的解析式【解析】 設這個一

4、次函數的解析式為：，由題意可知，解得故這個一次函數的解析式為：【點評】這種首先設出函數解析式，然后再根據已知條件求出函數解析式的系數的方法，稱為“待定系數法”【例3】 (09四川瀘州)已知一次函數的圖象經過點， 求； 求的值【解析】 根據已知，求出一次函數解析式為，再把點坐標代入得【點評】第二小問老師應該詳細分析【例4】 (江蘇省初中數學競賽試題)一條直線經過不同的三點(,)，(,)，(，)，那么直線經過 象限【解析】 設直線的解析式為，因點、在直線上，解得：,故直線的解析式為又點在直線上，得即直線的解析式為，可知經過二、四象限2、根據位置關系求解析式【例5】 已知一次函數的圖象與直線平行并且

5、過點 (-1，2)，求這個一次函數的解析式【解析】 根據題意可設此函數解析式為，過點 (-1，2)，解得，解析式為.【例6】 (08年上海市中考題)如圖，將直線向上平移1個單位，得到一個一次函數的圖像，那么這個一次函數的解析式是 【解析】 根據題意可得的解析式為，向上平移一個單位以后，可得：，即3、根據函數定義求解析式【例7】 已知，其中與成正比例，與成反比例，且當和時，的值都為l9，求與變量的函數關系式【解析】 根據已知條件，設， (，均不為零)，于是，得：將，代入得：，解之：，【補充】已知函數為正比例函數。（1）求的取值范圍；（2）為何值時，此函數的圖象過一、三象限?！窘馕觥?（1）由題意

6、，得：，解得當時，函數為正比例函數（2）因為正比例函數過第一、三象限所以即所以當時，此函數的圖象過第一、三象限【補充】已知與成正比例，且當時.求與之間的函數關系式【解析】 與成正比例，設()當時，求得，與之間的函數關系式為4、根據增減性求解析式【例8】 已知一次函數中自變量x的取值范圍為，相應的函數值的范圍是，求此函數的解析式。【解析】 當時，隨的增大而增大，由，可知時，；時， 所以，解得 故函數解析式為。當時，隨的增大而減小，由，可知時，；時，所以，解得故函數解析式為?！纠?】 (上海市初中競賽)已知函數，當自變量的取值范圍為時，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，則實數的取值范圍為 【

7、解析】 當時，滿足題設條件，即取到小于3的值；當時，即依題意，應取到大于5的值，故有：，即實數的取值范圍為【例10】 已知一次函數，當時，對應的值為，求的值.【解析】 若，所以當時，；當時，；解得，；若，所以當時，；當時，；解得，.【補充】一次函數()，當時，對應的值為，求一次函數的解析式.【解析】 若，所以當時，；當時，；解得，；若，所以當時，；當時，；解得，.【補充】已知關于的一次函數的圖象與軸交點在軸的上方，且隨的增大而減小，求的取值范圍.已知一次函數，當時，對應的值為，求的值.【解析】 ；若，所以當時，；當時，；解得，；若，所以當時，；當時，；解得，.板塊二 一次函數與方程（組）的關系

8、的考查：【例11】 已知直線和交于軸上同一點，的值為（ ）a.-2 b.2 c.-1 d.0【解析】 分別求出兩個直線與x軸的交點坐標分別為和，因為交與x軸上的同一點，所以可列方程，解得答案：c【補充】已知一次函數與的圖象相交于點，則_【解析】 分別將點代入兩個一次函數解析式，得和，聯立方程得，所以答案：16【例12】 已知一次函數的圖象經過點，則不求k，b 的值，可直接得到方程的解是_【解析】 分別根據題意可知當時， 答案：1【例13】 求一次函數的圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積?！窘馕觥?在函數中，令，則，因此圖象交y軸于點令，則，解得，因此圖象交x軸于點函數與兩坐標軸圍成的三角形面積【例

9、14】 已知直線與的交點為（-5，-8），則方程組的解是_【解析】 兩條直線的交點坐標就是二元一次方程組的解答案： 【例15】 已知方程組（為常數，）的解為，則直線和直線的交點坐標為_【解析】 二元一次方程組的解就是兩條直線的交點坐標答案：（-2，3） 【補充】已知，是方程組的解，那么一次函數_和_的交點是_【解析】 一次函數與二元一次方程組的關系，將方程組中的兩個二元一次方程整理成用x表示y的形式，則是兩個一次函數的解析式和，方程組的解即是兩個一次函數圖象交點的橫縱坐標坐標，即答案：，【例16】 一次函數與的圖象如圖，則下列結論；當時，中，正確的個數是（ ）a0 b1 c2 d3【解析】 （

10、1）直線經過二、四象限，則，所以是正確的；（2）直線與y軸交于y軸的負半軸，所以是錯誤的；（3）由兩個一次函數圖象可知時，直線在直線上方，是錯誤的。因此只有一個是正確的。答案：b【例17】 已知一次函數與一次函數的圖象的交點坐標為a（2，0），求這兩個一次函數的解析式及兩直線與y軸圍成的三角形的面積?！窘馕觥?將點a(2,0)分別代入兩個一次函數解析式，得解得：兩個一次函數的解析式分別為和又當時，；當時，兩個一次函數與y軸的交點坐標分別為（2，0）和（-2，0）又，解得：即兩個函數圖象交于點（2，0）兩條直線與y軸圍成的三角形面積為：板塊三 一次函數與一元一次不等式的關系的考查：【例18】 當

11、自變量滿足什么條件時，函數的圖象在：軸上方； 軸左側； 第一象限【解析】 ，解這個不等式，得函數圖象在軸左側，應取負數，即函數圖象在第一象限，則應有，【補充】已知一次函數。（1）畫出它的圖象；（2）求出當時y的值；（3）求出當時，x的值；（4）觀察圖象，求出當x為何值時，【解析】 （1）列表： 過點和作直線，此直線即為一次函數的圖象，如圖所示：（2）當時，（3）當時，（4）觀察圖像可知，當時，函數的圖象在x軸下方，；當時，；當時，函數的圖象在x軸上方，【例19】 已知，當時，x的取值范圍是（ ） a b c d【解析】 根據題意可知列不等式，解不等式即可答案：c【例20】 已知一次函數當取何值

12、時，函數的值在與之間變化?當從到3變化時，函數的最小值和最大值各是多少?【解析】 根據題意，本題要求滿足,即，解得當時，；當時，因為一次函數的一次項系數小于0，所以在實數范圍內，隨著的增大而減小故函數的最大值是7，最小值是【點評】教師通過此題幫助學生利用一次函數解答方程組問題、不等式問題.【例21】 直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為_【解析】 根據題意結合圖象看出，當時，直線在直線上方答案：【例22】 （09武漢）如圖，直線經過，兩點，則不等式的解集為_ 【解析】 根據題意本題可以先求出直線解析式再求不等式組的解集，或由題意中的兩個直線上的點的坐標去判斷所

13、求的解集答案：【補充】已知一次函數經過點（1，-2）和點（-1，3），求這個一次函數的解析式，并求：（1）當時，y的值；（2）x為何值時，？（3）當時，y的值范圍；（4）當時，x的值范圍?！窘馕觥?（1）設一次函數的解析式為，由題意，列得，解得一次函數的解析式為當時，（2），解不等式得：當時，（3），又，即解得：當時，（4）， 解得：當時，【例23】 閱讀：我們知道，在數軸上，表示一個點，而在平面直角坐標系中，表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數的圖象，它也是一條直線，如圖觀察圖可以得出：直線與直線的交點的坐標(1，3)就是方程組的解，所以這個方程組

14、的解為；在直角坐標系中，表示一個平面區(qū)域，即直線以及它左側的部分，如圖；也表示一個平面區(qū)域，即直線以及它下方的部分，如圖 回答下列問題在下面的直角坐標系中，用作圖象的方法求出方程組的解； 在上面的直角坐標系中，用陰影表示所圍成的區(qū)域如圖，表示陰影區(qū)域的不等式組為： .【解析】 如圖，解為；如圖；根據圖示信息求得，則. 家庭作業(yè)【習題1】 如果每盒羽毛球有20個，每盒售價為24元，那么羽毛球的售價（元）與羽毛球個數（個）之間的關系式為（ ）a bc d【解析】 ，確定函數解析式答案：c【習題2】 已知：與成正比例，且時，。（1）求與之間的函數關系式；（2）點在這個函數的圖像上，求的值?！窘馕觥?

15、（1）依題意，設，將代入上式，得：，它不是正比例函數，是一次函數。（2）點在這個函數圖像上 【習題3】 若直線與x軸交于點（6，0），則m的值為（ ）a.3 b.2 c.1 d.0【解析】 列一元一次方程得：，解得：答案：a【習題4】 如圖，直線與軸交于點（4 , 0），則 0時，的取值范圍是（ ）a.4 b.0 c.4 d.0【解析】 由題意結合圖象可知，則答案：a【習題5】 如圖所示的是函數與的圖象，求方程組 的解關于原點對稱的點的坐標是_【解析】 考察一次函數與二元一次方程組的關系，在平面直角坐標系內可知兩個直線的交點坐標為，所以它關于遠點的對稱的點的坐標是答案： 【習題6】 b取什么整

16、數值時，直線與直線的交點在第二象限？【解析】 由題意，列得解得：兩條直線交點在第二象限，解得：即又b取整數 或1【習題7】 把一個二元一次方程組中的兩個方程化為一次函數畫圖象，所得的兩條直線平行，則此方程組（ ）a.無解 b.有唯一解 c.有無數個解 d.以上都有可能【解析】 二元一次方程組的解就是兩條直線的交點坐標，若兩條直線平行，則說明這兩條直線無交點，則此二元一次方程組無解答案：a 月測備選【備選1】 當自變量滿足什么條件時，函數的圖象在：軸下方；軸左側； 第一象限【解析】 令解得.根據題意，三種情形應分別滿足不等式：(1)，即，；(2)；(3)，.【備選2】 求證：點 (2，2)， (，)， (，)在一條直線上【解析】 設點 (2，2)， (，)確定的直線的函數解析式為則，解得：，直線的函數解析式為把代入，得：， (，)在直線上，故、三點共線【備選3】 一次函數的圖象如圖所示，當時，的取值范圍是（ ）a bc d【解析】 由圖象知，則圖象在x軸下方，所以答案：c【備選4