一次函數(shù)與反比例函數(shù).第2講.一次函數(shù)與代數(shù)綜合.教師版

1、第二講一次函數(shù)與代數(shù)綜合中考要求板塊考試要求a級要求b級要求c級要求一次函數(shù)理解正比例函數(shù)；能結(jié)合具體情境了解一次函數(shù)的意義，會(huì)畫一次函數(shù)的圖象；理解一次函數(shù)的性質(zhì)會(huì)根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的解析式；會(huì)根據(jù)一次函數(shù)的解析式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解能用一次函數(shù)解決實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)睛一、一次函數(shù)解析式的確定用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法，叫做待字系數(shù)法用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的解析式；將的幾對值，或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述的解

2、析式中，得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組；解方程（組），得到待定系數(shù)的值；將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中，得到所求的函數(shù)解析式二、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程的解。求直線與x軸交點(diǎn)時(shí)，可令，得到方程，解方程得，直線交x軸于，就是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。三、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為或(為常數(shù)，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（小）于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍。四、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系： 一次函數(shù)的解析式本身就是一個(gè)二元一次方程，直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都滿足

3、二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有無數(shù)個(gè)。重、難點(diǎn)重點(diǎn)：了解和理解函數(shù)的定義以及靈活運(yùn)用函數(shù)的判定，同時(shí)注意函數(shù)的自變量取值范圍的判定；一次函數(shù)的定義及其判定，一次函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn)：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用例題精講板塊一 用待定系數(shù)法求解析式1、用待定系數(shù)法求解析式【例1】 已知函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（ ）a. b. c. d. 【解析】 由題意，正比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），求出函數(shù)解析式為，同時(shí)根據(jù)圖象看出自變量的取值范圍為答案：b【例2】 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(3，2)和(1，-2)兩點(diǎn)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式【解析】 設(shè)這個(gè)一

4、次函數(shù)的解析式為：，由題意可知，解得故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為：【點(diǎn)評】這種首先設(shè)出函數(shù)解析式，然后再根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式的系數(shù)的方法，稱為“待定系數(shù)法”【例3】 (09四川瀘州)已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)， 求； 求的值【解析】 根據(jù)已知，求出一次函數(shù)解析式為，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入得【點(diǎn)評】第二小問老師應(yīng)該詳細(xì)分析【例4】 (江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題)一條直線經(jīng)過不同的三點(diǎn)(,)，(,)，(，)，那么直線經(jīng)過 象限【解析】 設(shè)直線的解析式為，因點(diǎn)、在直線上，解得：,故直線的解析式為又點(diǎn)在直線上，得即直線的解析式為，可知經(jīng)過二、四象限2、根據(jù)位置關(guān)系求解析式【例5】 已知一次函數(shù)的圖象與直線平行并且

5、過點(diǎn) (-1，2)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式【解析】 根據(jù)題意可設(shè)此函數(shù)解析式為，過點(diǎn) (-1，2)，解得，解析式為.【例6】 (08年上海市中考題)如圖，將直線向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)一次函數(shù)的圖像，那么這個(gè)一次函數(shù)的解析式是 【解析】 根據(jù)題意可得的解析式為，向上平移一個(gè)單位以后，可得：，即3、根據(jù)函數(shù)定義求解析式【例7】 已知，其中與成正比例，與成反比例，且當(dāng)和時(shí)，的值都為l9，求與變量的函數(shù)關(guān)系式【解析】 根據(jù)已知條件，設(shè)， (，均不為零)，于是，得：將，代入得：，解之：，【補(bǔ)充】已知函數(shù)為正比例函數(shù)。（1）求的取值范圍；（2）為何值時(shí)，此函數(shù)的圖象過一、三象限?！窘馕觥?（1）由題意

6、，得：，解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)為正比例函數(shù)（2）因?yàn)檎壤瘮?shù)過第一、三象限所以即所以當(dāng)時(shí)，此函數(shù)的圖象過第一、三象限【補(bǔ)充】已知與成正比例，且當(dāng)時(shí).求與之間的函數(shù)關(guān)系式【解析】 與成正比例，設(shè)()當(dāng)時(shí)，求得，與之間的函數(shù)關(guān)系式為4、根據(jù)增減性求解析式【例8】 已知一次函數(shù)中自變量x的取值范圍為，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是，求此函數(shù)的解析式。【解析】 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，由，可知時(shí)，；時(shí)， 所以，解得 故函數(shù)解析式為。當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，由，可知時(shí)，；時(shí)，所以，解得故函數(shù)解析式為?！纠?】 (上海市初中競賽)已知函數(shù)，當(dāng)自變量的取值范圍為時(shí)，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 【

7、解析】 當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件，即取到小于3的值；當(dāng)時(shí)，即依題意，應(yīng)取到大于5的值，故有：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【例10】 已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的值為，求的值.【解析】 若，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，；若，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，.【補(bǔ)充】一次函數(shù)()，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的值為，求一次函數(shù)的解析式.【解析】 若，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，；若，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，.【補(bǔ)充】已知關(guān)于的一次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)在軸的上方，且隨的增大而減小，求的取值范圍.已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的值為，求的值.【解析】 ；若，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，；若，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得，.板塊二 一次函數(shù)與方程（組）的關(guān)系

8、的考查：【例11】 已知直線和交于軸上同一點(diǎn)，的值為（ ）a.-2 b.2 c.-1 d.0【解析】 分別求出兩個(gè)直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，因?yàn)榻慌cx軸上的同一點(diǎn)，所以可列方程，解得答案：c【補(bǔ)充】已知一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則_【解析】 分別將點(diǎn)代入兩個(gè)一次函數(shù)解析式，得和，聯(lián)立方程得，所以答案：16【例12】 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則不求k，b 的值，可直接得到方程的解是_【解析】 分別根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)， 答案：1【例13】 求一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積?！窘馕觥?在函數(shù)中，令，則，因此圖象交y軸于點(diǎn)令，則，解得，因此圖象交x軸于點(diǎn)函數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積【例

9、14】 已知直線與的交點(diǎn)為（-5，-8），則方程組的解是_【解析】 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是二元一次方程組的解答案： 【例15】 已知方程組（為常數(shù)，）的解為，則直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_【解析】 二元一次方程組的解就是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)答案：（-2，3） 【補(bǔ)充】已知，是方程組的解，那么一次函數(shù)_和_的交點(diǎn)是_【解析】 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，將方程組中的兩個(gè)二元一次方程整理成用x表示y的形式，則是兩個(gè)一次函數(shù)的解析式和，方程組的解即是兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)坐標(biāo)，即答案：，【例16】 一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論；當(dāng)時(shí)，中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）a0 b1 c2 d3【解析】 （

10、1）直線經(jīng)過二、四象限，則，所以是正確的；（2）直線與y軸交于y軸的負(fù)半軸，所以是錯(cuò)誤的；（3）由兩個(gè)一次函數(shù)圖象可知時(shí)，直線在直線上方，是錯(cuò)誤的。因此只有一個(gè)是正確的。答案：b【例17】 已知一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為a（2，0），求這兩個(gè)一次函數(shù)的解析式及兩直線與y軸圍成的三角形的面積。【解析】 將點(diǎn)a(2,0)分別代入兩個(gè)一次函數(shù)解析式，得解得：兩個(gè)一次函數(shù)的解析式分別為和又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0）和（-2，0）又，解得：即兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)（2，0）兩條直線與y軸圍成的三角形面積為：板塊三 一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系的考查：【例18】 當(dāng)

11、自變量滿足什么條件時(shí)，函數(shù)的圖象在：軸上方； 軸左側(cè)； 第一象限【解析】 ，解這個(gè)不等式，得函數(shù)圖象在軸左側(cè)，應(yīng)取負(fù)數(shù)，即函數(shù)圖象在第一象限，則應(yīng)有，【補(bǔ)充】已知一次函數(shù)。（1）畫出它的圖象；（2）求出當(dāng)時(shí)y的值；（3）求出當(dāng)時(shí)，x的值；（4）觀察圖象，求出當(dāng)x為何值時(shí)，【解析】 （1）列表： 過點(diǎn)和作直線，此直線即為一次函數(shù)的圖象，如圖所示：（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，（4）觀察圖像可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸下方，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸上方，【例19】 已知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（ ） a b c d【解析】 根據(jù)題意可知列不等式，解不等式即可答案：c【例20】 已知一次函數(shù)當(dāng)取何值

12、時(shí)，函數(shù)的值在與之間變化?當(dāng)從到3變化時(shí)，函數(shù)的最小值和最大值各是多少?【解析】 根據(jù)題意，本題要求滿足,即，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一次項(xiàng)系數(shù)小于0，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，隨著的增大而減小故函數(shù)的最大值是7，最小值是【點(diǎn)評】教師通過此題幫助學(xué)生利用一次函數(shù)解答方程組問題、不等式問題.【例21】 直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為_【解析】 根據(jù)題意結(jié)合圖象看出，當(dāng)時(shí)，直線在直線上方答案：【例22】 （09武漢）如圖，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則不等式的解集為_ 【解析】 根據(jù)題意本題可以先求出直線解析式再求不等式組的解集，或由題意中的兩個(gè)直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)去判斷所

13、求的解集答案：【補(bǔ)充】已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，-2）和點(diǎn)（-1，3），求這個(gè)一次函數(shù)的解析式，并求：（1）當(dāng)時(shí)，y的值；（2）x為何值時(shí)，？（3）當(dāng)時(shí)，y的值范圍；（4）當(dāng)時(shí)，x的值范圍?！窘馕觥?（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為，由題意，列得，解得一次函數(shù)的解析式為當(dāng)時(shí)，（2），解不等式得：當(dāng)時(shí)，（3），又，即解得：當(dāng)時(shí)，（4）， 解得：當(dāng)時(shí)，【例23】 閱讀：我們知道，在數(shù)軸上，表示一個(gè)點(diǎn)，而在平面直角坐標(biāo)系中，表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖形就是一次函數(shù)的圖象，它也是一條直線，如圖觀察圖可以得出：直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)(1，3)就是方程組的解，所以這個(gè)方程組

14、的解為；在直角坐標(biāo)系中，表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線以及它左側(cè)的部分，如圖；也表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線以及它下方的部分，如圖 回答下列問題在下面的直角坐標(biāo)系中，用作圖象的方法求出方程組的解； 在上面的直角坐標(biāo)系中，用陰影表示所圍成的區(qū)域如圖，表示陰影區(qū)域的不等式組為： .【解析】 如圖，解為；如圖；根據(jù)圖示信息求得，則. 家庭作業(yè)【習(xí)題1】 如果每盒羽毛球有20個(gè)，每盒售價(jià)為24元，那么羽毛球的售價(jià)（元）與羽毛球個(gè)數(shù)（個(gè)）之間的關(guān)系式為（ ）a bc d【解析】 ，確定函數(shù)解析式答案：c【習(xí)題2】 已知：與成正比例，且時(shí)，。（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)的圖像上，求的值。【解析】

15、（1）依題意，設(shè)，將代入上式，得：，它不是正比例函數(shù)，是一次函數(shù)。（2）點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上 【習(xí)題3】 若直線與x軸交于點(diǎn)（6，0），則m的值為（ ）a.3 b.2 c.1 d.0【解析】 列一元一次方程得：，解得：答案：a【習(xí)題4】 如圖，直線與軸交于點(diǎn)（4 , 0），則 0時(shí)，的取值范圍是（ ）a.4 b.0 c.4 d.0【解析】 由題意結(jié)合圖象可知，則答案：a【習(xí)題5】 如圖所示的是函數(shù)與的圖象，求方程組 的解關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_【解析】 考察一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)可知兩個(gè)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以它關(guān)于遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是答案： 【習(xí)題6】 b取什么整

16、數(shù)值時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)在第二象限？【解析】 由題意，列得解得：兩條直線交點(diǎn)在第二象限，解得：即又b取整數(shù) 或1【習(xí)題7】 把一個(gè)二元一次方程組中的兩個(gè)方程化為一次函數(shù)畫圖象，所得的兩條直線平行，則此方程組（ ）a.無解 b.有唯一解 c.有無數(shù)個(gè)解 d.以上都有可能【解析】 二元一次方程組的解就是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，若兩條直線平行，則說明這兩條直線無交點(diǎn)，則此二元一次方程組無解答案：a 月測備選【備選1】 當(dāng)自變量滿足什么條件時(shí)，函數(shù)的圖象在：軸下方；軸左側(cè)； 第一象限【解析】 令解得.根據(jù)題意，三種情形應(yīng)分別滿足不等式：(1)，即，；(2)；(3)，.【備選2】 求證：點(diǎn) (2，2)， (，)， (，)在一條直線上【解析】 設(shè)點(diǎn) (2，2)， (，)確定的直線的函數(shù)解析式為則，解得：，直線的函數(shù)解析式為把代入，得：， (，)在直線上，故、三點(diǎn)共線【備選3】 一次函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）a bc d【解析】 由圖象知，則圖象在x軸下方，所以答案：c【備選4