(完整版)八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(教師版)

1、八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡稱球.2外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.3內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.二、外接球的有關(guān)知識與方法1性質(zhì)：性質(zhì)1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：

2、圓的垂徑定理）性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）.a1d1po2b1c1coocmo1baao1bdenf初圖1初圖22結(jié)論：結(jié)論1：長方體的外接球的球心在體對角線的交點(diǎn)處，即長方體的體對角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論2：若由長方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長方體的外接球相同；結(jié)論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)

3、論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多

4、面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比：與多邊形的內(nèi)切圓）.3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.5基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺體相關(guān)的，此略.1五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）ppppccccbaabcacbabaabbcaabbc圖1-1圖1-2圖1-3圖1-4方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2r)2=a2+b2+c2，即2r=a2+b2+c2，求出r例1（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱

5、的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（c）a16pb20pc24pd32p解：v=a2h=16，a=2，4r2=a2+a2+h2=4+4+16=24，s=24p，選c；（2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是9p解：4r2=3+3+3=9，s=4pr2=9p；（3）在正三棱錐s-abc中，m、n分別是棱sc、bc的中點(diǎn)，且ammn,若側(cè)棱sa=23,則正三棱錐s-abc外接球的表面積是.36p解：引理：正三棱錐的對棱互相垂直.證明如下：如圖（3）-1，取ab,bc的中點(diǎn)d,e，連接ae,cd，ae,cd交于h，連接sh，s則h是底面正三角形abc的中心，acs

6、h平面abc，shab，dheqac=bc，ad=bd，cdab，ab平面scd，absc，同理：bcsa，acsb，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（3）-2，qammn，sb/mn，b(3)題-1(引理）samsb，qacsb，sb平面sac，sbsa，sbsc，qsbsa，bcsa，msa平面sbc，sasc，ac故三棱錐s-abc的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2r)2=(23)2+(23)2+(23)2=36，即4r2=36，正三棱錐s-abc外接球的表面積是36p.2nb(3)題-2（解答圖）a.11pb.7pc.10（4）在四面體s-abc中，sa平面abc，bac=120,sa=

7、ac=2,ab=1,則該四面體的外接球的表面積為（d）40pd.p33解：在dabc中，bc2=ac2+ab2-2abbccos120o=7，bc=7，dabc的外接球直徑為2r=，(2r)2=(2r)2+sa2=(bc72727=)2+4=sinbac33340340p，s=，選d3bc=8，abc=24，a=3，b=4，c=2，(2r)2=a2+b2+c2=29，s=4pr2=29p，ac=62（5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c（a,b,cr+），則ab=12（6）已知某幾何體的

8、三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為3382解：(2r)2=a2+b2+c2=3，r2=44333v=pr3=p=p，球34，r=p32(6)題圖acb（6）題直觀圖類型二、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（ab=cd，ad=bc，ac=bd）第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c，ad=bc=x，axab=cd=y，ac=bd=z，列方程組，yzzdycc2+a2=z2a2+b2=x2b2+c2=y2(2r)2=a2+b2+

9、c2=x2+y2+z22，xba圖2-1bc補(bǔ)充：圖2-1中，va-bcd11=abc-abc4=abc.633+b+c第三步：根據(jù)墻角模型，2r=a222=x2+y2+z22，r2=x2+y2+z28，r=x2+y2+z28，求出r.思考：如何求棱長為a的正四面體體積，如何求其外接球體積？例2（1）如下圖所示三棱錐a-bcd，其中ab=cd=5,ac=bd=6,ad=bc=7,則該三棱錐外接球的表面積為.解：對棱相等，補(bǔ)形為長方體，如圖2-1，設(shè)長寬高分別為a,b,c，2(a2+b2+c2)=25+36+49=110，a2+b2+c2=55，4r2=55，s=55pabdc(1)題圖（2）在

10、三棱錐a-bcd中，ab=cd=2，ad=bc=3，ac=bd=4，則三棱錐a-bcd外接球的表面積為.292p解：如圖2-1，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c，則a2+b2=9，b2+c2=4，c2+a2=162(a2+b2+c2)=9+4+16=29，2(a2+b2+c2)=9+4+16=29，a2+b2+c2=292929，4r2=，s=p222（3）正四面體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為pacb（3）解答題解：正四面體對棱相等的模式，放入正方體中，2r=3，r=324333，v=p=p382（4）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面

11、上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.4o2cpoao1b(4)題(4)題解答圖解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為pco，面積是2.1類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）a1o2b1c1fa1c1o2b1a1b1c1o2fooocccao1beao1babo1e圖3-1圖3-2圖3-3題設(shè)：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心o的位置，o是abc的外心，則oo11平面abc；22第二步：算出小圓o的半徑ao11r，oo111aa1h（aa1；h也是圓柱

12、的高）第三步：勾股定理：oaoa2212oor21h()22r2rhr2()2，解出r2例3（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為98，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為正六棱柱的底面積為s63428881解：設(shè)正六邊形邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a，2133339()2，vshh，h3，4r212(3)24柱也可r2(314)2()21），r1，球的體積為v球223；（2）直三棱柱abcabc的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若abacaa111球的表面積等于.512,bac120，則此解：bc=23，2r=23

13、=4，r=2，r=5，s=20p；sin120oe（3）已知deab所在的平面與矩形abcd所在的平面互相垂直，ea=eb=3,ad=2,aeb=60，則多面體e-abcd的外接球的表面積為.16po1mr1r1aroo2rr2d解：折疊型，b（3）題c法一：deab的外接圓半徑為r=13，oo=1，r=1+3=2；12244法二：om=1313313，r=od=，r2=+=4，r=2，s=16p；22表法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過算圓柱的軸截面的對角線長來求球的直徑：(2r)2=(23)2+22=16，s表=16p；3,aa=4，則直

14、三棱柱abc-abc的外接（4）在直三棱柱abc-abc中，ab=4,ac=6,a=111p1111球的表面積為.1603p解：法一：bc2=16+36-2461274727=28，bc=27，2r=，r=，23332r2=r2+(aa28表=401601)2=+4=，s2333p；法二：求圓柱的軸截面的對角線長得球直徑，此略.第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法）ppppooo111aocaooccaacbbbb圖4-1圖4-2圖4-3圖4-41如圖4-1，平面pac平面abc，且abbc（即ac為小圓的直徑），且p的射影是dabc

15、的外心三棱錐p-abc的三條側(cè)棱相等三棱p-abc的底面dabc在圓錐的底上，頂點(diǎn)p點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心o的位置，取dabc的外心o，則p,o,o三點(diǎn)共線；11第二步：先算出小圓o的半徑ao=r，再算出棱錐的高po=h（也是圓錐的高）；1116第三步：勾股定理：oa2=oa2+oo2r2=(h-r)2+r2，解出r；11事實(shí)上，dacp的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出r.2如圖4-2，平面pac平面abc，且abbc（即ac為小圓的直徑），且paac，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2r)2=pa2+(2r)22r=pa2+(2r)2；r2=r2+oo2

16、r=1r2+oo213如圖4-3，平面pac平面abc，且abbc（即ac為小圓的直徑）oc2=oc2+oo2r2=r2+oo2ac=2r2-oo211114題設(shè)：如圖4-4，平面pac平面abc，且abbc（即ac為小圓的直徑）第一步：易知球心o必是dpac的外心，即dpac的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑ac=2r；第二步：在dpac中，可根據(jù)正弦定理abc=2r，求出r.sinasinbsinc例4（1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為23，則該球的表面積為.解：法一：由正弦定理（用大圓求外接球直徑）；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2r=7，s=4pr2=49p；（

17、2）正四棱錐s-abcd的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為解：方法一：找球心的位置，易知r=1，h=1，h=r，故球心在正方形的中心abcd處，r=1，v=4p3方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是dsac的外接圓，此處特殊，rtdsac的斜邊是球半徑，2r=2，r=1，v=4p3.（3）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）bcda3343333412解：高h(yuǎn)=r=1，底面外接圓的半徑為r=1，直徑為2r=2，設(shè)底面邊長為a，則2r=asin60o=2，a=3，s=33313a2=，三棱錐的體

18、積為v=sh=4434；apb.p（4）在三棱錐p-abc中，pa=pb=pc=3,側(cè)棱pa與底面abc所成的角為60o，則該三棱錐外接球的體積為（）4pc.4pd.33解：選d，由線面角的知識，得dabc的頂點(diǎn)a,b,c在以r=32為半徑的圓上，在圓錐中求解，r=1；（5）已知三棱錐s-abc的所有頂點(diǎn)都在球o的求面上,dabc是邊長為1的正三角形,sc為球o的直徑,且sc=2，則此棱錐的體積為（）a7a3222bcd6632333436解：oo=r2-r2=1-(136)2=3326113262，h=，v=sh=球類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1題設(shè)：如圖5，pa平面abc，求

19、外接球半徑.pocao1b圖5d解題步驟：第一步：將dabc畫在小圓面上，a為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑ad，連接pd，則pd必過球心o；第二步：o為dabc的外心，所以oo平面abc，算出小圓o的半徑od=r（三角形的外接圓直1111徑算法：利用正弦定理，得asinasinbsinc2，bc1=2r）oo=1pa；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2r)2=pa2+(2r)22r=pa2+(2r)2；r2=r2+oo2r=1r2+oo2.12題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，p的射影是dabc的外心三棱錐p-abc的三條側(cè)棱相等三棱錐p-abc的底面dabc在圓錐的底上，頂

20、點(diǎn)p點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).ppppooooccccao1bao1babo1ao1bd圖5-1圖5-2圖5-3圖5-48ppp2bao2dcbao2cabodooo圖5-6圖5-7圖5-8解題步驟：第一步：確定球心o的位置，取dabc的外心o，則p,o,o三點(diǎn)共線；11第二步：先算出小圓o的半徑ao=r，再算出棱錐的高po=h（也是圓錐的高）；111第三步：勾股定理：oa2=oa2+oo2r2=(h-r)2+r2，解出r11方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()ca3pb2pc16p3d以上都不對2222p22r正

21、視圖側(cè)視圖2or2m1o11n俯視圖解答圖解：選c，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，(3-r)2+1=r2,r=2316,s=4pr2=p；3圓，于是2r=2法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形pmn的外接圓是大4=，下略；sin60o3第三講二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)9aoh2daeh1cb圖6第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將dbcd畫在小圓上，找出dbcd和dabd的外心h和h；12第二步：過h和h分別作平面bcd和平面abd的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心

22、o，連接oe,oc；12第三步：解doeh，算出oh，在rtdoch中，勾股定理：oh2+ch2=oc211111注：易知o,h,e,h四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.12例6（1）三棱錐p-abc中，平面pac平面abc，pacabc均為邊長為2的正三角形，則三棱錐p-abc外接球的半徑為.sin60o333解：如圖，2r=2r=122421=，r=r=，oh=122，p333145r2=oh2+r2=+=，r=21153；o2ao法二：oh=13331，oh=，ah=1，215r2=ao2=ah2+oh2+oo2=，r=11153；bho1（1）題c（2）在直角梯形abcd中，ab/cd，a=9

23、0o，c=45o，ab=ad=1，沿對角線bd折成四面體a-bcd，使平面abd平面bcd，若四面體a-bcd的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為4psa2ad2r2ddo2or1c1o1b(2)題-1cbm(2)題-2ocr12ab(3)題2解：如圖，易知球心在bc的中點(diǎn)處，s表=4p；10（3）在四面體s-abc中，abbc，ab=bc=面體s-abc的外接球表面積為6p2，二面角s-ac-b的余弦值為-33，則四解：如圖，法一：cossob=cos(ooo+112p2)=-33，sinooo=3336，cosooo=，1212cosooooo=o1o2112=2213，r2=1+=，

24、s=4pr2=6p；22法二：延長bo到d使do=bo=r，由余弦定理得sb=11116，sd=2，大圓直徑為2r=sb=6；（4）在邊長為23的菱形abcd中，bad=60o，沿對角線bd折成二面角a-bd-c為120o的四面體abcd，則此四面體的外接球表面積為28par2od2ro2rdmdeb1o1r1c(4)題圖解：如圖，取bd的中點(diǎn)m，dabd和dcbd的外接圓半徑為r=r=2，dabd和dcbd的外心o,o1212到弦bd的距離（弦心距）為d=d=1，12法一：四邊形oomo的外接圓直徑om=2，r=127，s=28p；法二：oo=13，r=7；法三：作出dcbd的外接圓直徑ce

25、,則am=cm=3，ce=4，me=1，ae=7，ac=33，274=-cosaec=7+16-27127，sinaec=3327，2r=ac33=27，r=7；sinaec332711(5)在四棱錐abcd中，bda=120o，bdc=150o，ad=bd=2，cd=的平面角的大小為120o，則此四面體的外接球的體積為解：如圖，過兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心，ooa3，二面角a-bd-cc抽象化o2do2dmmbo1bo1(5)題解答圖-1(5)題解答圖-2ab=23，r=2，弦心距om=3，bc=13，r=13，弦心距om=23，22113oooo=21，om=27，12si

26、n120o12法一：r2=od2=md2+om2=29，r=29，v=11629p球=om-om=25，r=od=r+oo法二：oo2222222=29，r=2222；29，v=球11629p3.類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型pbcoa圖7題設(shè)：如圖7，apb=acb=90o，求三棱錐p-abc外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)o，連接op,oc，則oa=ob=oc=op=1ab，o為三棱錐p-abc外接球球心，然后在ocp中2求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7（1）在矩

27、形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac將矩形abcd折成一個(gè)直二面角b-ac-d，則四面體abcd的外接球的體積為（）a125125125125pbpcpdp12963544125125p=解：（1）2r=ac=5，r=，v=pr3=p，選c23386（2）在矩形abcd中，ab=2，bc=3，沿bd將矩形abcd折疊，連接ac，所得三棱錐a-bcd12的外接球的表面積為解：bd的中點(diǎn)是球心o，2r=bd=13，s=4pr2=13p.第四講多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題p1題設(shè)：如圖8-1，三棱錐p-abc上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，e,h分別

28、是兩個(gè)三角形的外心；e1第二步：求dh=bd，po=ph-r，pd是側(cè)面dabp的高；3adohc第三步：由dpoe相似于dpdh，建立等式：oepo=dhpd，解出rb圖8-12題設(shè)：如圖8-2，四棱錐p-abc是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，p,o,h三點(diǎn)共線；p1第二步：求fh=bc，po=ph-r，pf是側(cè)面dpcd的高；2ogpo第三步：由dpog相似于dpfh，建立等式：=，解出hfpfbeaohgcfd圖8-23題設(shè)：三棱錐p-abc是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面

29、積和整個(gè)錐體體積；o-pbc第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：vp-abc=vo-abc+vo-pab+vo-pac+v33333vp-abc11111=sr+sr+sr+sr=(sdabcpabpacpbcdabc+sdpab+spac+sdpbc)r第三步：解出r=3vp-abcs+s+so-abco-pabo-pac+so-pbcpa2例8（1）棱長為a的正四面體的內(nèi)切球表面積是，6解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r，將正四面體放入棱長為a2的正方體中（即補(bǔ)形為正方體），如圖，則bvp-abc11a3a3=v=，3正方體32262d又qvp-abc1133=4sr=4a2r=a2r，3343ca13(1)題2663a2a3r=362apa2，r=，內(nèi)切球的表面積為s=4pr2=（注：還有別的方法，此略）表（2）正四棱錐s-abcd的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則其內(nèi)切球的半徑為71+22s-abcd=解：如圖，正四棱錐s-abcd的高h(yuǎn)=7，正四棱錐s-abcd的體積為v側(cè)面斜高h(yuǎn)=22，正四棱錐s-abcd的表面積為s=4+82，1表473正四棱