201411導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例題詳解

1、(2010 北京理)已知函數(shù) f(x) =1 n(1 x) _x kx2 ( k 0)。2(I )當(dāng)k =2時(shí)，求曲線y = f (x)在點(diǎn)1, f 1處的切線方程;(n )求f( x)的單調(diào)區(qū)間。2 1解: (I)當(dāng) k =2時(shí)，f(x)=ln(1 x)-x x2,f(x)1 2x1 + x3由于 f (1)= In, 2 f (1 ) ?,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f (1處的切線方程為3y -丨 n 2 X- 1)2即 3x - 2y 2 I n-2 =30(II )x(kx k -1)1 xx ( -1,：).當(dāng)k =0時(shí),x(-1,0)0(0嚴(yán))f(x)+0-f(x)增減f (

2、x1 x故f (x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0, ：).x(kx k -1)1 - k當(dāng) 0 ： k ：1 時(shí)，由 f (x)0，得 x 0 , x201+xkx(T,0)0(0kk)1-kk(1 kk,)kf(X)+0-0+f (x)1 _ k1 _ k故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-1, 0和( 嚴(yán))單調(diào)遞減區(qū)間是(0.) kk2x當(dāng) k =1 時(shí)，f (x )1+x故f (x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(- 1, :.)x(kx k -1)/口1 -k當(dāng) k 1 時(shí)，f(x)0，得 Xi(-1,0) , X2 = 0.1 +xkx(宀1 -k kF，0)0(0H)f (X)+0

3、一0+f (x)1_k1_ k故f (x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,)和(0, ：)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)kk22、已知函數(shù)f (x)二x a(2-ln x) , a 0，討論f (x)的單調(diào)區(qū)間 x解答f(x)的定義域是(0, + )fx)=1+X2-x=設(shè) g(x)= X2 ax+2，二次方程g(x)= 0 的判別式 = a2 8. 當(dāng)= a2 80,即卩 0va0都有fz x)0，此時(shí)f(x)在(0, + 上是增函數(shù).x2 =a a2 8此時(shí)f(x)在當(dāng)= a2 8 = 0,即卩a= 2 2時(shí)，僅對(duì) x= 2有fx(= 0,對(duì)其余的x0都有fx)0, 此時(shí)f(x)在(0,+上也是增函數(shù).

4、X(0, xi)Xi(xi, X2)X2fX)+0一0f(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小當(dāng)= a2 80 ,即卩 a2 2時(shí)， 方程g(x)= 0有兩個(gè)不同的實(shí)根 Xja + a2 820XiVX2.aVT38上單調(diào)遞增，在巴亙上單調(diào)遞減，在+ 上單調(diào)遞增.21、設(shè) R，函數(shù) f x - _ x _12 a -1 ln x 1 .若函數(shù)f x在點(diǎn)o, f o處的切線方程為y =4x _1，求a的值; 討論函數(shù)f x的單調(diào)性. f(x) =2(x -1) -, f(o)=2a =4,a =2x +12(2) (=2&一1)迪 耳二2a)x+1x+1當(dāng)a乞0時(shí)，f(x)豈0恒成立，所以在區(qū)間-1,=

5、 上為減函數(shù)；當(dāng) 0 : a ： 1 時(shí)，令 f (x) = 0 得 x - a 或 x - - ax(-1,-扁)一 7 a(a, Va )(苗,母)f(x)0+0f(x)減增減所以，減區(qū)間為！-1,-、a和a：，增區(qū)間為！-Ta,ia(3)若 a _1，則x(-1,斗a )Java,+)f(x)+0f(x)增減增區(qū)間為-1,2，減區(qū)間為 a,-2、已知函數(shù) f (x) =x3 -空 1 x2 x b，其中 a , b R .32若曲線y = f(x)在點(diǎn)P(2 , f(2)處的切線方程為y=5x-4，求函數(shù)f (x)的解 析式；當(dāng)a 0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：(1 )由題意得 f

6、(2) =5, f(2) =6，又 f(xax(a 1)x 1 Nt =5a=3丿2，解得產(chǎn)_a + b= 6= 413即 f (x)二 x3 -2x2 x 4(2) a 0 , f(x)二 ax2 -(a 1)x 1 = (ax-1)(x -1)1令 f (x) = 0 得 x 或 x=1 a1當(dāng)a 1時(shí)， 1 ,ax a丿1 a1(Hf(x)+00+f(x)增減增增區(qū)間為_(kāi)閃,丄：和(1,址)，減區(qū)間為丄,1 :I a丿la丿1當(dāng) 0 : a 1 時(shí)，-1,ax(-,1)1C 1、1,- j0恒成立，所以在 R上為增函數(shù)3、已知函數(shù)f(x)空b2，求導(dǎo)函數(shù)f (x)，并確定f(x)的單調(diào)區(qū)

7、間.(x1)解：疋義域?yàn)?X | X = 1-2(x-1)x-(b-1)(x -1 )4由 f(x)2(*;叭0 得心(舍去)或1若b=2，則b1=1 , f(x) = 2(x 0恒成立，二f (x)的單調(diào)遞減區(qū)(xT)間為(1)和(1,)若b 2，則b -11x(-,1)(1,b-1)b1(b-1,畑)f(x)一+0一f(x)減增減 f(x)的增區(qū)間為1,b-1 ,減區(qū)間為- ：,1和b-1, ：;若 b ：:2，則 b 一1 ：1x(-b-1)b-1(b-1,1)(1,址)f(x)一0+一f(x)減增減 f(x)的增區(qū)間為b-1,1 ,減區(qū)間為一：，b-1和1：；32例(1)已知函數(shù) f

8、(x) = x ax x 1 , a R(1 )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間1(2) 設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間,)內(nèi)是減函數(shù)，求 a的取值范圍331*注意：函數(shù)f (x)的減區(qū)間(-一，-)，與原問(wèn)題有何區(qū)別？33一 1 2(3) 設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間(-，)內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍3 3解：(1) f x =3x2 2ax 1, .1 = 4(a2 -3) 當(dāng)-、一 3：a3時(shí)，f x0恒成立，所以函數(shù)在 R上為增函數(shù)； a二 3，- =0， f x _ 0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=-a時(shí)，f x；=0，所以3函數(shù)在R上為增函數(shù)；-2 - :2 - a3 或 a .3 時(shí)，由 fx=0 得花二二

9、 a 3，xa 3:1 22a - - a3a a 333x(-,x )X1(X1,X2 )X2區(qū)嚴(yán))f(x)+0一0+f(x)增減增(r2、a a2 3 a + Ja2 3f (x)的增區(qū)間為s 和+oC 3 丿 3 丿減區(qū)間為2 1(2)法一：由(可得，I一廠_a_Ja2_3 _a + Ja2 _3 j 3,3!法二：由題意可知aa2 33132 if x = 3x2 - 2ax 1 - 0 ,對(duì) x ：=,時(shí)恒成立，3 3所以d。且fL1社0J 3丿法三：分離常數(shù)法、31a x -22x31對(duì)-三-1恒成立,33所以 a( 2x , )max2 1 2(3)法一：f x =3x2 2ax

10、 0, x-,恒成立3 3 1 2只需 fXmin , X 泊3 31 1法二：2a _3x, 2a _(3x)maxxJ 3x 1 _2、. 3，當(dāng)且僅當(dāng)x33x時(shí)成立，31 -3x2空：3x(2)設(shè)函數(shù) f xipe k = 0 求曲線y = f x在點(diǎn)0, f 0 處的切線方程；求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)f x在區(qū)間-1 , 1內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.【解析】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查 綜合分析和解決問(wèn)題的能力.(I) f x = 1 kx ekx, f 0 =1, f 0 =0,曲線y = f (x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為

11、y二x.,*kx1(n)由 f x=1kxe =0,得 x k = 0 , k時(shí)，f （x）c0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減,當(dāng)x j右：，時(shí)，f x 0，函數(shù)f x單調(diào)遞增,若 k : 0，則當(dāng) x，I kJ,f x 0 ,函數(shù)f x單調(diào)遞增,2當(dāng)X-|右,：,時(shí)，f x ：0，函數(shù)f x單調(diào)遞減,1（川）由（n）知，若 k 0，則當(dāng)且僅當(dāng)1 ,k即k1時(shí)，函數(shù)f x -1,1內(nèi)單調(diào)遞增,1若k ：0,則當(dāng)且僅當(dāng)一丄_1 ,k即k_-1時(shí)，函數(shù)f x -1,1內(nèi)單調(diào)遞增,綜上可知，函數(shù) f x -1,1內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是-1,0 U 0,1.法二：f （x） = 1 kx e1- 0對(duì)-

12、1, 1恒成立，只需k 工01+01 kx _ 0對(duì)-1，1恒成立,，又k=0，于是k的取值范圍是丨-1,0 U 0,1.解：(1)當(dāng) a =3 時(shí)，f (x) =-x2 3x 1-1 nx21-2x3x-1f (x) - -2x 3 -x由 f (x) 0 得 x” J-,1 |,2丿所以函數(shù)f x的單調(diào)遞增為1,12丿：012,2 - ax 1 | 1 _ 0x解得 a 豈 0或0 a 乞 2或2 a 豈 3實(shí)數(shù)a的取值范圍為(心,322x 亠 ax -11f(x)0在J上恒成立2 1 即2x -ax1_0在(0,上恒成立,21恒成立.2只需 a i2x 1 x 0,-VX .hnI 2

13、丿y=2x 在！0, 1上是減函數(shù)，所以，當(dāng) x =時(shí)，I 2丿2實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-二,32x -在 0,-x2x丄3x min已知函數(shù)(1)當(dāng)a =1時(shí)，求函數(shù)f (x)的極值f (x) =(ax2 -2x 1)e，其中 a R(2)若函數(shù)f (x)在-1,1上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。解：f(x) = (2ax-2)e-lax2-2x 1 e = -ax2 (2a 2)x-3e(1)當(dāng) a =1 時(shí)，f(x)二 Jx2 -4x 3e由 f (x) =0得 x =1 或 x =3x(-傘 1)1(1,3)3(3嚴(yán))f(x)一0+0一f(x)減極小值增極大值減4當(dāng)x =1時(shí)，fx極小值=0

14、，當(dāng)x=3時(shí)，fx極大值 3e(2)依題意得f (x) - - ax2亠2a - 2 x - 3e*三0在-1,1恒成立即 ax2 _(2a 2)x 3一0在-1,1恒成立；定義 g(x)二 ax2 -(2a 2)x 35當(dāng) a 0 時(shí)，g 1 -0 且 g -1 -0 即 3a 0 , 1-a 所以 a ： 03當(dāng)a = 0時(shí)，原不等式等價(jià)于 - 2x 3-0，在-1,1恒成立，符合題意；當(dāng)a 0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x二仝 2 =1-1,所以只需g(1)_0 , 0： a乞12aa5綜上a的取值范圍是-5,132法二：即 a x -2x _2x-3在一1,1恒成立,x = 0時(shí)，顯然成立;2x :：: 0，x -2x 0，所以原不等式等價(jià)于ax -2x