2019-2020學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：矩形

1、 2019-2020 學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：矩形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)詮釋：矩形定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形；有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱

2、圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線） .對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的第 1 頁(yè) 共 10 頁(yè) 所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.要點(diǎn)三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角

3、三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.推論：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角形不可使用.（2）學(xué)過(guò)的直角三角形主要性質(zhì)有：直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；直角三角形中 30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.第 2 頁(yè) 共 10 頁(yè) （3）性質(zhì)可以用來(lái)解決有關(guān)線段倍分的問(wèn)題.【典型例題】類型一、矩形的性質(zhì)1、如圖所示，已知四邊形 abcd 是矩形，pbc 和qcd 都是等邊三角形，且點(diǎn) p在矩形上方，點(diǎn) q在矩形內(nèi)求證：(1)pbapcq30

4、；(2)papq【思路點(diǎn)撥】(1)矩形的四個(gè)內(nèi)角都等于 90，利用條件pbc 和qcd 都是等邊三角形，容易求得pba 和pcq 度數(shù)；(2)利用(1)的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進(jìn)一步證明pabpqc(sas)，從而證得 papq【答案與解析】證明：(1) 四邊形 abcd是矩形， abcbcd90 pbc和qcd是等邊三角形， pbcpcbqcd60， pbaabcpbc30，pcdbcdpcb30pcqqcdpcd30，故pbapcq30(2) 四邊形 abcd是矩形， abdc pbc和qcd是等邊三角形，第 3 頁(yè) 共 10 頁(yè) pbpc，qcdcab abqc，pbapcq，pbpc pa

5、bpqc， papq【總結(jié)升華】利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可舉一反三：【變式】如圖所示，把矩形紙片 abcd 沿 ef 折疊，使點(diǎn) b 落在邊 ad上的點(diǎn) 處，點(diǎn) a落在點(diǎn) 處ab(1)求證：； =b e bf(2)設(shè) ae ，ab ，bf ，試猜想 之間有何等量關(guān)系，a、b、cabc并給予證明【答案】證明：(1)由折疊可得bfe = bfe adbc， ，bef = bfe = bfe， = b e b f =b e bf(2)猜想理由：2a +b = c22由題意，得，a e ae a a b ab b = =由(1)知 =b e bf c

6、=第 4 頁(yè) 共 10 頁(yè) 在abe 中，a = 90 ae = aab = b be = c2a +b = c222、如圖所示，矩形 abcd中，ac、bd相交于 o，ae平分bad交bc于 e，cae15，求boe的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】boe在boe中，易知obe30，直接求boe有困難，轉(zhuǎn)為考慮證 bobe由 ae 平分bad 可求bae45得到abbe，進(jìn)一步可得等邊aob有 abob證得 bobe【答案與解析】解： 四邊形 abcd是矩形，11 dababc90，ao ac，bo bd，acbd22 aobo ae平分bad， bae45 aeb904545bae beab cae15，

7、 bao60 abo是等邊三角形 boab，abo60 bebo，obe30180-30 boe= 752【總結(jié)升華】矩形被每條對(duì)角線分成兩個(gè)直角三角形，被兩條對(duì)角線第 5 頁(yè) 共 10 頁(yè) 分成四個(gè)等腰三角形，因此矩形中的計(jì)算問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中去解決類型二、矩形的判定3、（2016濠江區(qū)一模）如圖，在 abcd 中，abd 的平分線be 交 ad 于點(diǎn) e，cdb 的平分線 df 交 bc 于點(diǎn) f，連接 bd（1）求證：abecdf；（2）若 ab=db，求證：四邊形 dfbe 是矩形【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出 ab=cd，a=c求出abd=cdb推出ab

8、e=cdf，根據(jù) asa 推出全等即可；（2）根據(jù)全等得出 ae=cf，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出 adbc，ad=bc，推出 debf，de=bf，得出四邊形 dfbe 是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出deb=90，根據(jù)矩形的判定推出即可【答案與解析】證明：（1）在abcd 中，ab=cd，a=cabcd，abd=cdbbe 平分abd，df 平分cdb，abe= abd，cdf= cdb第 6 頁(yè) 共 10 頁(yè) abe=cdf在abe 和cdf 中，abecdf（asa）（2）abecdf，ae=cf，四邊形 abcd 是平行四邊形，adbc，ad=bc，debf，de=bf，四邊形 df

9、be 是平行四邊形，ab=db，be 平分abd，bead，即deb=90平行四邊形 dfbe 是矩形【總結(jié)升華】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力舉一反三：【變式】 （2015 春 邗江區(qū)期中）如圖，四邊形 abcd 中，對(duì)角線ac、bd 相交于點(diǎn) o，ao=co，bo=do 中，且abc+adc=180（1）求證：四邊形 abcd 是矩形（2）若adf：fdc=3：2，dfac，則bdf 的度數(shù)是多少？第 7 頁(yè) 共 10 頁(yè) 【答案】（1）證明：a0=c0，b0=d0四邊形

10、 abcd 是平行四邊形，abc=adc，abc+adc=180，abc=adc=90，四邊形 abcd 是矩形；（2）解：adc=90，adf：fdc=3：2，fdc=36，dfac，dco=9036=54，四邊形 abcd 是矩形，oc=od，odc=54bdf=odcfdc=18類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)4、如圖所示，bd、ce 是abc 兩邊上的高，g、f 分別是 bc、de的中點(diǎn)求證：fgde第 8 頁(yè) 共 10 頁(yè) 【答案與解析】證明：連接 eg、dg， ce是高， ceab 在 rtceb中 ，g是 bc的中點(diǎn)，11 eg bc，同理 dg bc22 egdg又 f是 ed的中點(diǎn)， fgde【總結(jié)升華】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等推出來(lái)的根據(jù)這個(gè)性質(zhì)又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形溫馨提示：若題目中給出直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，常設(shè)法用此性質(zhì)解決問(wèn)題舉一反三：【變式】如圖，mon90，矩形 abcd的頂點(diǎn) a、b分別在邊 om，on上，當(dāng)b在邊 on上運(yùn)動(dòng)時(shí)，a隨之在邊 om上運(yùn)動(dòng)，矩形abcd 的形狀保持不變，其中 ab2，bc1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn) d到點(diǎn) o的最大距離為（）145