2020屆中考數(shù)學熱點沖刺8 二次函數(shù)綜合題型(全國版)(含解析)

1、 20208屆中考數(shù)學熱點沖刺 二次函數(shù)綜合題型課程標準對二次函數(shù)這一知識點的學習要求比較高，它最能體現(xiàn)初中代數(shù)的綜合性和能力性，因此，二次函數(shù)在近幾年中考試卷中已形成必不可少的題型,2019 年中考中對二次函數(shù)的考查角度有所調(diào)整，將二次函數(shù)的性質(zhì)和特征作為試題主體來考查，促使我們在復習中把二次函數(shù)作為最核心的內(nèi)容之一來學習，預計仍會以二次函數(shù)的性質(zhì)和特征作為試題主體來考查，在此過程中會以周長、面積、相似、等腰三角形，特殊四邊形以及新定義問題為載體進行命題.考向 1 二次函數(shù)之周長與最值問題1（2019常德中考改編）如圖11，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為a（1，4），與坐標軸交于b、c、d三點

2、，且b點的坐標為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點m、n，且點n在點m的左側(cè)，過m、n作x軸的垂線交x軸于點g、h兩點，當四邊形mnhg為矩形時，求該矩形周長的最大值aayyddnmbhgccoxbox圖11備用圖( )解（1）設拋物線的解析式為 y=1+4 ，把 b（1，0）代入解析式得：4a4=0，解得 a=1，y=a x -2( )1+4 = x2+ 2x + 3；（2）四邊形 mnhg 為矩形，mnx 軸，設 mg=nh=n，把 y=n 代入 y=x -2 + 2 + 3，即 n= + 2 + 3， - 2 + - 3=0，由根與系數(shù)關系

3、得=2，=n3，x xx2xx2xx2x nx + xmnmn(x - x ) ()2()()2 =4， x - x2 =4 4 （n3）=16 4 n，mn= x-2 =2 4 -，nx+xxxxmnmnmnmnmn設矩形 mnhg 周長為 c，則 c=2（mnmg）=2（2 4n）=4 42n，令 4=t，則 n=4 ，- n t 2- n- n( )1 +10 ，20，t=1 時，周長有最大值，最大值為 102c=2 4t8=2t2t -考向 2 二次函數(shù)之面積問題2（2019衡陽）如圖，二次函數(shù) y=x2bxc 的圖象與 x 軸交于點 a（1，0）和點 b（3，0），與 y 軸交于點

4、n，以 ab 為邊在 x 軸上方作正方形 abcd，點 p 是 x 軸上一動點，連接 cp，過點 p 作 cp 的垂線與 y 軸交于點 e.（1）求該拋物線的函數(shù)關系表達式；（2）當點 p 在線段 ob（點 p 不與 o、b 重合）上運動至何處時，線段 oe 的長有最大值？并求出這個最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點 m，連 接 mn、mb，請問：mbn 的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點 m 的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）把 a（1，0），b（3，0）代入 y=x bxc，20 =1-b + c,得 0 = 9 + 3b + c,b = -2,解得 c = -3.該拋

5、物線的函數(shù)表達式為 y=x 2 x3；2（2）cpeb，opebcp=90，op bc=oe pbopeoep=90，oep=bpc，tanoep=tanbpc41139x設 oe=y，op=x， =y 3- x整理，得 y= x x= （x ） 2244216393當 op= 時，oe 有最大值，最大值為 ，此時點 p 在（ ，0）處.2162（3）過點 m 作 mfx 軸交 bn 于點 f，n（0，3），b（3，0），直線的解析式為 y=3 m. 設 m（m, m 2 m3）,則 mf=m 3m，221333278mbn 的面積= ob mf= ( m 3m) = ( m ) .22222

6、23278點 m 的坐標為（ ，）時，mbn 的面積存在最大值.2考向 3 二次函數(shù)之等腰三角形問題3（2019蘭州）二次函數(shù) y = ax2+ bx + 2的圖象交 x 軸于點（-1，0），b（4，0）兩點，交 y 軸于點 c，動點 m 從點 a 出發(fā)，以每秒 2 個單位長度的速度沿 ab 方向運動，過點 m 作 mnx 軸交直線 bc 于點 n，交拋物線于點 d，連接 ac，設運動的時間為 t 秒.3（1）求二次函數(shù) = 2+ + 2的表達式；（2）連接 bd，當 t= 時，求dnb 的面積；y ax bx2（3）在直線 mn 上存在一點 p，當pbc 是以bpc 為直角的等腰直角三角形時

7、，求此時點 d 的坐標；5（4）當 t= 時，在直線 mn 上存在一點 q，使得aqc+oac=90,求點 q 的坐標.4131232解：（1）將點 a（-1，0），b（4，0）代入 y=ax +bx+2，a=- ，b= ， = -x2 +x+ 2；2y22（2）設直線 bc 的解析式為：y=kx+b，將點 b（4，0），c（0，2）代入解析式，14k + b = 0= -123k得：，解得：2 ，bc 的直線解析式為 = -x+ 2 ，當 t= 時，am=3，ab=5，y= 22b= 2bmb=2，m（2，0），n（2，1），d（2，3），1211sdnb =sdmb-smnb=mbdm m

8、bmn= 22=2；-22（3）bm=5-2t，m（2t-1，0）， 設 p（2t-1，m），pc =（2t-1） +（m-2） ，pb =（2t-5） +m ，222222pb=pc，（2t-1） +（m-2） =（2t-5） +m ，m=4t-5，p（2t-1，4t-5），22224t - 7 4t - 5pcpb，= -1，2t -1 2t - 5t=1 或 t=2，m（1，0）或 m（3，0），d（1，3）或 d（3，2）；533（4）當 t= 時，m（ ，0），點 q 在拋物線對稱性 x= 上，4223如圖，過點 a 作 ac 的垂線，以 m 為圓心 ab 為直徑構(gòu)造圓，圓與 x=

9、的交點分別為 q 與 q ，122ab=5，5am= ，aq c+oac=90，oac+mag=90，aq c=mag，11235又aq c=cga=mag，q （ ， - ），112235q 與 q 關于 x 軸對稱，q （ ， ），122232535q 點坐標分別為（ ， - ），（ ， ）.2222考向 4 二次函數(shù)之相似三角形問題4（2019婁底）如圖（14），拋物線 y= ax + bx + c2與 x 軸交于點 a（1，0），點 b（3，0），與 y 軸交= ax + bx + c于點 c，且過點 d（2，3）點 p、q 是拋物線 y上的動點2（1）求拋物線的解析式；（2）當點 p

10、 在直線 od 下方時，求pod 面積的最大值（3）直線 oq 與線段 bc 相交于點 e，當obe 與abc 相似時，求點 q 的坐標 = ax + bx + c解：（1）拋物線 y與 x 軸交于點 a（1，0），點 b（3，0），2( )( )y = a x+1 x-3設拋物線的解析式為又拋物線過點 d（2，3），( )( )a 2+1 2-3 = -3( )( )=1y=1 x+1 x-3 = x -2x-32，a，（2）如圖，設 pd 與 y 軸相交于點 f，od 與拋物線相交于點 g，,m - 2m - 3=- 2 - 3設 p 坐標為（m），則直線 pd 的解析式為 y mx m

11、，它與 y 軸的交點坐標為 f2（0，2m3），則 of=2m+31 () 11()( )=of d點的橫坐標 - p點的橫坐標 = 2m + 3 2 - m = -m + m + 3 s2222dodp3- m 2由于點 p 在直線 od 下方，所以21b21時=當，pod面積的最大值m = -= -( )2 -1 42a111 14916 2s= -m + m + 3 = -+ + 3 =2 4；2 24 dodp= x - 2x - 3得拋物線與 y 軸的交點 c（0，3），結(jié)合 a（1，0）得直線 ac 的解析式（3）由 y2= -3x - 3y = -3x為 y，當 oeac 時，o

12、be 與abc 相似；此時直線 oe 的解析式為 -1+ 13-1- 13x =x= = -2 -3y xx23-3 13223+3 132212又 的解為 ，；= -3xyy =1y =2 -1+ 13 3- 3 13-1- 13 3+ 3 13, 和q 的坐標為2222如圖，作 eny 軸于 n，3 +3 = 3 2由 a（1，0），b（3，0），c（0，3）得 ab=3(1)=4，bo=3，bc=22be3be ob=ba bc2 2當即時 ，obe 與abc 相似；此時 be=4 3 2= -2x又obcone，nb=ne=2，此時 e 點坐標為（1，2），直線 oe 的方程為 y =

13、 -2 -3y x= 3= - 3xxx212又的解為，；y = -2xy1= -2 3y = 2 32( ) ( )3, -2 3- 3, 2 3q 的坐標為和( ) ( ) -1+ 13 3- 3 13-1- 13 3+ 3 13,3, -2 3- 3, 2 3， 綜上所述，q 的坐標為 ，2222考向 5 二次函數(shù)之特殊四邊形問題5 .（2019廣安）如圖，拋物線y = -x + bx + c 與 軸交于 、 兩點( 在 的左側(cè)），與 軸交于點 ，過a b a b2xyna 點的直線 l : y = kx + n 與 y 軸交于點 c ，與拋物線 y= -x + bx + c 的另一個交

14、點為da，已知 (-1,0) ，2d(5,-6) ， p 點為拋物線 y= -x + bx + c 上一動點（不與 、 重合）（1）求拋物線和直線 的解析式；a d2l（2）當點 p 在直線 上方的拋物線上時，過 p 點作/ / 軸交直線 于點 e ，作 pf / / y 軸交直線 于點 ，pe xlllf求 pe + pf 的最大值；（3）設 為直線 上的點，探究是否存在點 ，使得以點 、 ， 、p 為頂點的四邊形為平行四邊形？n c mmlm 若存在，求出點 的坐標；若不存在，請說明理由m-k + n =解：（1）將點 、 的坐標代入直線表達式得：a d0k = -1n = -1，解得：，

15、5k + n = -6故直線 的表達式為： = - -1，將點 、 的坐標代入拋物線表達式，a dlyx同理可得拋物線的表達式為： = - + 3 + 4 ；yx2x（2）直線 的表達式為： = - -1，則直線 與 軸的夾角為45 ，即：則pe pe=，lyxlx設點 坐標為( ,- + 3 + 4) 、則點 f(x,-x -1)，px x2xpe + pf = 2pf = 2(-x2 + 3x + 4 + x +1)= -2(x - 2)2 +18，故 有最大值，當 = 2 時，其最大值為 18；q -2 0pe pf+x（3）= 5 ，當是平行四邊形的一條邊時，ncnc設點 坐標為( ,

16、- + 3 + 4) 、則點 ( ,- -1)，px x2xm x x由題意得：| 5 ，即：| - + 3 + 4 + +1|= 5 ，y - y = x2 x xmp解得： = 2 14 或 0 或 4（舍去0) ，x則點 p 坐標為(2 + 14 ， -3- 14) 或(2 - 14 ， -3+ 14) 或(4,-5) ；1當是平行四邊形的對角線時，則nc 的中點坐標為(- ， 2) ，nc2 設點 坐標為( ,- 2 + 3 + 4)、則點 ( ,- -1) ，m mpmm n n、 ， 、 為頂點的四邊形為平行四邊形，則的中點即為中點，pmncmpnc，解得：0 或 -4 （舍去0)

17、 ，m-m2+ 3m + 4 - n -11 m + n即：， 2 =- =222故點 (-4,3)；故點 的坐標為：(2 + 14 ， -3- 14) 或(2 - 14 ， -3+ 14) 或(4,-5) 或(-4,3) pp考向 6 二次函數(shù)之角度存在性問題6. (2019泰安) 若二次函數(shù) y=ax +bx+c 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于點 a(3,0)、b(0,2),且過點 c(2,2).(1)2求二次函數(shù)表達式;(2)若點 p 為拋物線上第一象限內(nèi)的點,且 spba=4,求點 p 的坐標；(3)在拋物線上(ab 下方)是否存在點 m,使abo=abm？若存在,求出點 m 到 y

18、 軸的距離;若不存在,請說明理由.9a + 3b - 2 = 0解：(1)拋物線 y=ax +bx+c 過點(0,2),c=2,又拋物線過點 (3,0)(2,2),解得24a + 2b - 2 = -223a =2343,拋物線的表達式為 =-x- 2 ；yx243b = -24(2)連接 po,設點 p(, m - m - 2)；則 spab=spoa+saobspob=m233122324113( m - m - 2)+ 32- 2gm = 2 - 3 ,由題意得:m23m=4,m=4,或 m=1(舍去),2mm3432210310,點 p 的坐標為(4, ).m2- m - 2 =332

19、(3)設直線 ab 的表達式為 y=kx+n,直線 ab 過點 a(3,0),b(0,2),3k+n=0,n=2,解之,得:k= ,n=2,直3224線 ab 的表達式為:y= x2,設存在點 m 滿足題意,點 m 的坐標為(t, t - t - ).過點 m 作 mey 軸,垂足223332224為 e,作 mdx 軸交于 ab 于點 d,則 d 的坐標為(t, t2),md= - t + 2t ,be=|- t + t|.又 mdy 軸,2233332abo=mdb,又abo=abm,mdb=abm,md=mb,mb= - t + .2t23 111124222在 rtbem 中, - t

20、 + t +t2= - t + 2t ,解之,得:t= ,點 m 到 y 軸的距離為 .2233388考向 7 二次函數(shù)之新定義問題7（2019 江西省）特例感知：(1)如圖 1，對于拋物線 y= -x -3x +1= -x - x +1 y = -x - 2x +1 y，222312下列結(jié)論正確的序號是；1拋物線 y ， y ， y 都經(jīng)過點 c(0，1)；拋物線 y ， y 的對稱軸由拋物線 y 的對稱軸依次向左平移2123231個單位得到；拋物線 y ， y ， y 與直線 y=1 的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.123y = -x2 - nx+1n形成概念：(2)把滿足（n 為正整數(shù)

21、）的拋物線稱為“系列平移拋物線”.知識應用在(2)中，如圖 2.“系列平移拋物線”的頂點依次為 p ， p ， p ， p ，用含 n 的代數(shù)式表示頂點p 的坐標，并寫出該123nn頂點縱坐標 y 與橫坐標 x 之間的關系式；“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)”：c ，c ，c ，c ，其橫坐標分123n別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k 為正整數(shù))，判斷相鄰兩點之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點之間的距離；若不相等，說明理由； 在中，直線 y=1 分別交“系列平移拋物線”于點 a ，a ，a ，a ，連接c a ，c a ，判斷c a ，12

22、3-1n-1nnnnnnc a 是否平行？并說明理由.n-1 n-1= -x -3x +1= -x - x +1 y = -x - 2x +1 y解：（1）對于拋物線 y，2來說，22312拋物線 y ， y ， y 都經(jīng)過點 c(0，1)，正確；123-112- 2-32(-1)3拋物線 y ，y ，y 的對稱軸分別為：x = -= -，x = -= -1 x = -，= -，2(-1)2(-1)21231231拋物線 y ， y 的對稱軸由拋物線 y 的對稱軸依次向左平移 個單位得到，正確；2231拋物線 y ， y ， y 與直線 y=1 的另一個交點的橫坐標分別為：-1、-2、-3，1

23、23拋物線 y ， y ， y 與直線 y=1 的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.正確.123答案：；+ 4n n，2y = -x2 - nx+1n-（2）由可知，頂點坐標為 p （n），24n2+ 4 (-2x) + 42y = x +1；該頂點縱坐標 y 與橫坐標 x 之間的關系式為244- k - k +1 - k - 2k +1，當橫坐標分別為-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k 為正整數(shù))，對應的縱坐標為：，22- k - 3k +1- k - nk +1，22= (-k -1) - (-k - 2) +(-k - k +1) - (-k - 2k +1) c c122222= 1+k2= (