全國重點(diǎn)名校2009高三數(shù)學(xué)第二輪21、22解析幾何專題4：圓錐曲線中的最值和范圍問題(教師版)

1、第二十一講 圓錐曲線中的最值和范圍問題（一）高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a0,b0)的右焦點(diǎn)為f，若過點(diǎn)f且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(c )a.( 1,2) b. (1,2) c. d.(2,+)2 p是雙曲線的右支上一點(diǎn)，m、n分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|pm|pn|的最大值為（ d ）a. 6 b.7 c.8 d.93拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( a )a b c d4已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且|pf1|=4|pf2|,則此雙曲線

2、的離心率e的最大值為：（b）(a) (b) (c) (d)5已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)p(4,0)的直線與拋物線相交于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 32 .6對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)q，點(diǎn)p（a，0）都滿足|pq|a|，則a的取值范圍是( b )（a）（，0） （b）（，2 （c）0，2 （d）（0，2）高考要考什么【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范

3、圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式d0。突破重難點(diǎn)【例1】已知點(diǎn)m(-2，0)，n(2,0)，動(dòng)點(diǎn)p滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為w.（）求w的方程；（）若a，

4、b是w上的不同兩點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（）依題意，點(diǎn)p的軌跡是以m，n為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x0）（）當(dāng)直線ab的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線ab的方程為xx0，此時(shí)a（x0，），b（x0，），2 當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ab的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)，則解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22綜上可知的最小值為2【例2】給定點(diǎn)a(-2,2)，已知b是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，f是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值

5、時(shí)，試求b點(diǎn)的坐標(biāo)。解：因?yàn)闄E圓的，所以，而為動(dòng)點(diǎn)b到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)b，使得它到a點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過點(diǎn)b作l的垂線，垂點(diǎn)為n，過a作此準(zhǔn)線的垂線，垂點(diǎn)為m，由橢圓定義于是 為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)b點(diǎn)am與橢圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)b為所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，b點(diǎn)坐標(biāo)為【例3】已知p點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|pq|的最大值。解：故先讓q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)pq通過圓心o1時(shí)|pq|最大，因此要求|pq|的最大值，只要求|o1q|的最大值.設(shè)q(x，y)，則|o1q|2= x2+(y-4)2 因q在橢圓上,則x2=9(1-y2)

6、 將代入得|o1q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因?yàn)閝在橢圓上移動(dòng)，所以-1y1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)【點(diǎn)睛】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?！纠?】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為f1(0,-2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)m、n，且線段mn恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又f1(0，2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程

7、為 橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為 (2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦mn被平分直線l的斜率存在。 設(shè)直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)m、n，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設(shè) m(x1,y1),n(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角第二十二講圓錐曲線中的最值和范圍問題（二）【例5】長度為（）的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段上，且（為常數(shù)且）（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡類型；（2）當(dāng)=2時(shí)，已知直線與原點(diǎn)o的距離為，且直線與軌跡有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍答案：(1)設(shè)、，則，由此及，

8、得，即 （*）當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長軸長為的橢圓當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長軸長為的橢圓當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為以o點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（2）設(shè)直線的方程：，據(jù)題意有，即由得 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以 又把代入上式得 ：【例6】橢圓e的中心在原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在軸上，其離心率, 過點(diǎn)c（1,0）的直線與橢圓e相交于a、b兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)c分向量的比為2.（1）用直線的斜率k ( k0 ) 表示oab的面積；（2）當(dāng)oab的面積最大時(shí)，求橢圓e的方程。解：（1）設(shè)橢圓e的方程為( ab0 )，由e =a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2 設(shè)a(x1,y1)、b

9、(x2,y2),由于點(diǎn)c（1，0）分向量的比為2， 即 由消去y整理并化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓e相交于a（x1,y1）, b(x2,y2)兩點(diǎn)得： 而soab 由得:x2+1=，代入得：soab = （2）因soab=,當(dāng)且僅當(dāng)soab取得最大值此時(shí) x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2將x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 橢圓方程x2 + 3y2 = 5 【例7】設(shè)直線過點(diǎn)p（0，3），和橢圓順次交于a、b兩點(diǎn)，若試求l的取值范圍.解：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)p在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，yo.mx.綜上 .【例8】我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1） 若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2）設(shè)，則， ， 的最小值只能在或處取到 即當(dāng)取得