人教版高中數(shù)學選修2-2第6講：合情推理與演繹推理(教師版)

1、人教版高中數(shù)學合情推理與演繹推理_1.推理.根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷，這種思維方式叫做推理推理一般分為合情推理與演繹推理兩類.2.合情推理歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特定義征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理特點由部分到整體、由個別到一般的推理類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推

2、測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理；1(2)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：“三段論”的結(jié)構(gòu)“三段論”的表示大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；根結(jié)論據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.大前提m是p.小前提s是m.結(jié)論s是p.題型一歸納推理13例1設(shè)f(x)3x，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.思維啟迪解題的關(guān)鍵是由f(x)計算各式，利用歸納推理得出結(jié)論

3、并證明.113解f(0)f(1)303132633133113，13333同理可得：f(1)f(2)3，f(2)f(3)3，并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1.33歸納猜想得：當x1x21時，均為f(x1)f(x2)證明：設(shè)x1x21，3.33x2f(x1)f(x2)311x133x23)(3x2(3x13)x1+x23x223x2233.3(3x13x2)233(3x13x2x1x1333x1x2x1(33)32323)23)(333(3x13x23)3(2)已知f(n)1(nn*)，經(jīng)計算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，則有_.(2)f(2n)n2(n2，nn

4、*)(2)由題意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當n2時，有f(2n).故填f(2n)(n2，nn*).例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amnnm思維升華(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍.(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)之上的(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進一步證明，但對數(shù)學結(jié)論和科學的發(fā)現(xiàn)很有用(1)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為_.1115723n22答案(1)56789101112138

5、12解析(1)由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個等式為56789101112139281.45672222n22n22題型二類比推理nbma.類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.思維啟迪等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時，等差數(shù)列的公差對應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運算對應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運算，等差數(shù)列的乘除法運算對應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開方運算.答案nmdncm因為ana1(n1)d，bnb1qn1，amnnm解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.n

6、bma，3nmdnn所以類比得bmcm思維升華(1)進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.(3)在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等.(1)給出下列三個類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，

7、則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sinsin；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()直徑，以此可求得外接圓半徑r(其中a，b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三a.0b.1c.2d.3(2)把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓a2b22條側(cè)棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑r_.答案(1)b(2)a2b2c22(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(，)對稱；它關(guān)于點(，)對稱的點的坐標為(1x，1y).解析(

8、1)錯誤，正確.(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑題型三演繹推理aa例3已知函數(shù)f(x)ax(a0，且a1).1122(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思維啟迪證明本題依據(jù)的大前提是中心對稱的定義，函數(shù)yf(x)的圖象上的任一點關(guān)于對稱中a11a心的對稱點仍在圖象上.小前提是f(x)ax(a0且a1)的圖象關(guān)于點(2，2)對稱.(1)證明函數(shù)f(x)的定義域為全體實數(shù)，任取一點(x，y)，1122aaaxa，則1y1aa由已知得yaxaxax，4a1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(，)對稱.aaaaxaxxaaaf(1x)a1

9、aaaxax，ax1122(2)解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.已知函數(shù)yf(x)，滿足：對任意a，br，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為r上的單調(diào)增函數(shù).證明設(shè)x1，x2r，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)

10、f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1).所以yf(x)為r上的單調(diào)增函數(shù).1,3,6,10，第n個三角形數(shù)為n2n，記第n個k邊形數(shù)為n(n，k)(k3)，以下列高考中的合情推理問題典例：(1)(5分)(2013湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)n(n1)11222出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：n(n,3)n2n，n(n,5)n2n，三角形數(shù)正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)1122n(n,4)n2，3122n(n,6)2n2n解析由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推測：當k為偶數(shù)時，n(n，

11、k)n2n，可以推測n(n，k)的表達式，由此計算n(10,24)_.思維啟迪從已知的部分k邊形數(shù)觀察一般規(guī)律寫出n(n，k)，然后求n(10,24).k24k225x2x0y2y0k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1).相加，得1223n(n1)n(n1)(n2).n(10,24)10010x1xy1yxxyy答案x0xy0y12424242211001001000.答案1000x2y2(2)(5分)若p0(x0，y0)在橢圓a2b21(ab0)外，過p0作橢圓的兩條切線的切點為p1，p

12、2，則切xxyyx200點弦p1p2所在的直線方程是a2b21，那么對于雙曲線則有如下命題：若p0(x0，y0)在雙曲線a2y2b21(a0，b0)外，過p0作雙曲線的兩條切線，切點為p1，p2，則切點弦p1p2所在直線的方程是_.思維啟迪直接類比可得.解析設(shè)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則p1，p2的切線方程分別是22a2b21，a2b21.因為p0(x0，y0)在這兩條切線上，xxyy11故有a20b201，a2b21，xxyy00這說明p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直線a2b21上，xxyy00故切點弦p1p2所在的直線方程是a2b21.a2bk(3)(5分)在計算“

13、1223n(n1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第項：131313，1313類比上述方法，請你計算“123234n(n1)(n2)”，其結(jié)果為_.思維啟迪根據(jù)兩個數(shù)積的和規(guī)律猜想，可以利用前幾個式子驗證.6解析類比已知條件得k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得123(12340123)，234(23451234)，345(34562345)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2).n(n1)(n2)(n3).答案n(n1)(n2)(n3)14141414，14以上幾個式子相加得：123234n(n1)(n2)14

14、141.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”).(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適()()()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.().(5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是ann(nn()(6)222334466323，3838，415415，baba(a，b均為實數(shù))，則可以推測a35，b6.()2.數(shù)列2,5,11,20，x,4

15、7，中的x等于()a.28b.32c.33d.27答案b解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.3.觀察下列各式：553125,5615625,5778125，則52011的后四位數(shù)字為()a.3125答案db.5625c.0625d.81257解析553125,5615625,5778125,58390625,591953125，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m4k與5m(kn*，m5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又201145017，所以52011與57后四位數(shù)字相同為8125，故選d.4.(2013陜西)觀察下列等式1211222312223261

16、222324210照此規(guī)律，第n個等式可為_.答案12223242(1)n1n2(1)n1n(n1)2n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個等式為12223242(1)n1n2(1)n1.等比數(shù)列bn的前n項積為tn，則t4，_，_，16成等比數(shù)列.因此8a5a6a7a8，12a9a10a11a12，16a13a14a15a16，而t4，8，12，16的公比為q16，因此t4，8，12，16成等比數(shù)列.解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數(shù)都是2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1

17、,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anann(n1)12n(n1)25.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為sn，則s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有設(shè)tt12答案t8t12t4t8解析對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列bn的前n項積為tn，則t4a1a2a3a4，t8a1a2a8，t12a1a2a12，t16a1a2a16，tttt4t8t12tttt4t8t12tttt4t8t12_8_基礎(chǔ)鞏固a組專項基礎(chǔ)訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1.(2012江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4

18、b47，a5b511，則a10b10等于()a.28b.76c.123d.199答案c解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.2.定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于()a.nb.n1c.n1d.n2答案a解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1+(n1).又1*1=1，n*1n3.下列推理是歸納推理的是()a.a，b為定點，動點p滿足|pa|pb|2a|ab|，則p點

19、的軌跡為橢圓b.由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n項和sn的表達式x2y2c.由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓a2b21的面積sabd.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案b解析從s1，s2，s3猜想出數(shù)列的前n項和sn，是從特殊到一般的推理，所以b是歸納推理，故應(yīng)選b.4.已知abc中，a30，b60，求證：ab.證明：a30，b60，ab.a0)，且f1(x)f(x)，當nn*且n2時，(x)ffn1(x)，則f3(x)_，猜想fn(x)(nn*)的表達式為_.答案xx7x8(2n1)x2n解析f1(x)xx2，fn(x)ffn1(x)(n2)，f2(x)f(

20、).(2)f3(x)ff2(x)f().(2)xx2xxxx23x4x2x3x4xxx3x47x83x4108.在平面幾何中，abc的內(nèi)角平分線ce分ab所成線段的比為，把這個結(jié)論類比到空間：由所求等式知，分子都是x，分母中常數(shù)項為2n，x的系數(shù)比常數(shù)項少1，為2n1，x1)x2n故fn(x)(2n.aeacebbc在三棱錐abcd中(如圖所示)，平面dec平分二面角acdb且與ab相交于點e，則類比得到的結(jié)論是_.答案bebcdeasn5n2n(n4).10.在abc中，abac，adbc于d，求證：，那么在四面體abcd中，類acd解析易知點e到平面bcd與平面acd的距離相等，bcd故v

21、ebcdbe.veacdeaacd三、解答題9.已知等差數(shù)列an的公差d2，首項a15.(1)求數(shù)列an的前n項和sn；(2)設(shè)tnn(2an5)，求s1，s2，s3，s4，s5；t1，t2，t3，t4，t5，并歸納出sn與tn的大小規(guī)律.解(1)由于a15，d2，n(n1)2(2)tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.t15，t2422218，t3432339，t4442468，t54525105.s15，s22(24)12，s33(34)21，s44(44)32，s55(54)45.由此可知s1t1，當n2時，sntn.歸納猜想：當n1時，sntn；當n2，nn時，sn0ab”類比推

22、出“若a，bc，則ab0ab”.其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是()a.0b.1c.2d.3答案c解析正確，錯誤.因為兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)，不能比較大小.2.設(shè)是r的一個運算，a是r的非空子集.若對于任意a，ba，有aba，則稱a對運算封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是()a.自然數(shù)集c.有理數(shù)集b.整數(shù)集d.無理數(shù)集答案c解析a錯：因為自然數(shù)集對減法、除法不封閉；b錯：因為整數(shù)集對除法不封閉；c對：因為任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則12運算都封閉；d錯：因為無理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉.3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為_.答案n2n22n)1個區(qū)域.(1)數(shù)列n是等比數(shù)列；故sn1n1(小前提)2n，解析1條直線將平面分成11個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成1(123n(n1)n2n222n24.數(shù)列an的前n項和記為sn，已知a11，an1nsn(nn*).證明：sn(2)sn14an.n2證明(1)an1sn1sn，an1nsn，(n2)snn