17-18版第4章4.3.1空間直角坐標系4.3.2空間兩點間的距離公式

1、4.3空間直角坐標系4.3.1 空間直角坐標系4.3.2空間兩點間的距離公式學習目標導航1了解空間直角坐標系的建系方式.（難點）2.能在空間直角坐標系中求出點的坐標和已知坐標作出點.（重點、易錯點）3 .理解空間兩點間距離公式的推導過程和方法.（難點）4.掌握空間兩點間的距離公式，能夠用空間兩點間距離公式解決簡單的問題.（重點）I 階段1認知偵習質疑基礎初探教材整理1空間直角坐標系閱讀教材P134P135 “例1”以上部分，完成下列問題.1.空間直角坐標系定義以空間中兩兩垂直且相交于一點 0的二條直線分別為x軸、V軸、z 軸.這時就說建立了空間直角坐標系 Oxv乙其中點0叫做坐標原點， x軸、

2、V軸、z軸叫做坐標軸.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平 面，分別稱為xOv平面、yOz平面、zOx平面畫法在平面上畫空間直角坐標系 Oxyz時，一般使/ xOy- i35 / yOz=90圖示IX丿0y說明本書建立的坐標系都是右手直角坐標系，即在空間直角坐標系中， 讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向 乙軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系2.空間中一點的坐標空間一點M的坐標可用有序實數(shù)組(x, y, z)來表示，有序實數(shù)組(x, y, z) 叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作 M(x, y, z)，其中x叫做點M的 橫坐標,y叫做點M的縱坐標,z叫做點M的豎

3、坐標.O微牡驗O判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)在空間直角坐標系中，在Ox軸上的點的坐標一定是(0, b, c).(在空間直角坐標系中，在yOz平面上的點的坐標一定可寫成(0, b,c).()(3)在空間直角坐標系中，在Oz軸上的點的坐標可記作(0,0, c).(4)在空間直角坐標系中，在xOz平面上的點的坐標是(a,0, c).(【解析】(1)錯誤.x軸上的點的坐標是縱坐標與豎坐標都為 0.(2)、(3)、(4)正確.【答案】(1)X V (3)VV教材整理2空間兩點間的距離公式閱讀教材P136 “練習”以下至Pl37部分，完成下列問題.1. 點 P(x, y, z)到坐標原點 0(0

4、,0,0)的距離 |0P|= .X2+ y2 + z2.2 .任意兩點Pl(xi,yi,乙),P2(X2,y2,z2)間的距離|PlP2|=7(xi x2+( yi y2$+( zi z22.o微體驗在空間直角坐標系中，A( i,2,3), B(2,i, m)，若|AB|= ii0,則m的值為【解析】AB=P(-盯+( 21 行(3-m)2= 110,(3 m)2 = 100,3- m= 0.【答案】7或13階段2.介作探究通關小組合作型IIZ 空間中點的坐標的確定卜例在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是D1D、BD的1中點，G在棱CD上，且CG=4CD, H為C1G的

5、中點，試建立適當?shù)淖鴺讼?寫出E、F、G、H的坐標.【精彩點撥】 要求點的坐標，需求得橫、縱、豎坐標的值，即確定出所求點的坐標.【自主解答】 建立如圖所示的空間直角坐標系.點 E在z軸上，它的x坐 標、y坐標均為0，而E為DD1的中點，故其坐標為i0，0，2 1 1由F作FM 1AD、FN JDC,由平面幾何知 FM = 2、FN = 2，貝F點1-1 1 、坐標為2, 2，0 .3 f 3點G在y軸上，其x、z坐標均為0,又GD = 4,故G點坐標為0, 4, 0 117由H作HK JCG于K，由于H為C1G的中點，故HK = 2、CK = -DK = 8.故H點坐標為0,8,1.1 建立空

6、間直角坐標系時應遵循以下原則(1) 讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內；(2) 充分利用幾何圖形的對稱性.2求某點的坐標時，一般先找出這一點在某一坐標平面上的射影，確定其 兩個坐標，再找出它在另一軸上的射影 (或者通過它到這個坐標平面的距離加上 正負號)，確定第三個坐標.II再練一題1 在棱長都為2的正三棱柱ABC-AiBiCi中，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系， 并寫出三棱柱ABC-AiBiCi各頂點的坐標【解】 取BC，BiCi的中點分別為O, 0i，連接OA, OOi,根據(jù)正三棱柱的幾何性質，OA, OB，OOi兩兩互相垂直，且 OA=X2=3，以OA, OB，OOi所在的直線分別為x軸、

7、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 如圖所示，則正三棱柱ABC-AiBiCi各頂點的坐標分別為：A( 3, 0,0), B(0,i,0), C(0, i,0), Ai( 3, 0,2), Bi(0,i,2), Ci(0, i,2).求空間對稱點的坐標卜例在空間直角坐標系中，已知點P( 2,1,4).求點P關于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關于xOy平面對稱的點的坐標；求點P關于點M(2, 1， 4)對稱的點的坐標.【精彩點撥】 對照空間點的對稱的規(guī)律直接寫出各點的坐標.【自主解答】(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為Pi( 2，

8、1， 4).(2) 由于點P關于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P2( 2,1， 4).(3) 設對稱點為P3(x, y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x = 2X2 ( 2) = 6，y= 2X ( 1) 1 = 一 3， z= 2 X ( 4) 4=一 12，所以P3的坐標為(6， 3， 12).名師1求空間對稱點的規(guī)律方法空間的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解對稱點的問題常常采用 關于誰對稱，誰保持不變，其余 坐標相反”這個結論.2空間直角坐標系中,任一點Px,

9、 y, z的幾種特殊對稱點的坐標如下 關于原點對稱的點的坐標是 Pi x, y, z ; 關于x軸橫軸對稱的點的坐標是P2X, y, z ; 關于y軸縱軸對稱的點的坐標是P3 x, y, z ； 關于z軸豎軸 對稱的點的坐標是P4 x, y, z ; 關于xOy坐標平面對稱的點的坐標是 P5X, y, z ; 關于yOz坐標平面對稱的點的坐標是 P6 x, y, z ; 關于xOz坐標平面對稱的點的坐標是 P7X, y, z.II再練一題2. 已知M(2,1,3),求M關于原點對稱的點 Mi, M關于xOy平面對稱的點 M2 , M關于x軸、y軸對稱的點M3, M4.【解】 由于點M與Mi關于

10、原點對稱，所以Mi( 2, 1, 3);點M與M2關于xOy平面對稱，橫坐標與縱坐標不變，豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以M2(2,i, 3); M與M3關于x軸對稱，則M3的橫坐標不變，縱坐標和豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即M3(2, 1, 3),同理M4( 2,1, 3).探究共研型空間兩點間的距離探究1已知兩點P(1,o,1)與Q(4,3, 1),請求出P、Q之間的距離.【提示】|PQ匸1 4 2+ 0 3 2+ 1 + 1 2= . 22.探究2 上述問題中，若在z軸上存在點M，使得|MP匸|MQ|,請求出點M 的坐標.【提示】設 M(0,0, z)，由 |MP| = |MQ|,得(1)2 +

11、 02 + (z 1)2= 42 + 32+ ( 1 z)2,例如圖 4-3-1 所示，在長方體 ABCD-AiBiCiDi 中，|AB|= AD匸3, AAi|=2,點M在AiCi上，|MCi匸2RiM|, N在DiC上且為DiC的中點，求線段MN 的長度.wc圖 4-3-i【精彩點撥】 先建立空間直角坐標系，求出點 M、N的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解.【自主解答】 如圖所示，分別以AB，AD，AAi所在的直線為x軸、y軸、 z軸建立空間直角坐標系.由題意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0),|DDi| = |CCi匸 |AAi|= 2,Ci(3,3,2), Di(0,3,2),

12、N為CDi的中點,n|, 3, iM是AiCi的三分之一分點且靠近 Ai點,M(i,i,2).由兩點間距離公式，得|MN匸i 2 + 3 i 2 + i 22名師利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟為 ：再練一題3. 如圖 4-3-2 所示，直三棱柱 ABC-AiBiCi 中,|CiC|= |CB|= |CA|= 2, AC丄CB, D , E分別是棱AB, BiCi的中點，F(xiàn)是AC的中點，求DE, EF的長度.圖 4-3-2【解】 以點C為坐標原點，CA、CB、CCi所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.|CiC匸 |CB|=|CA|= 2,C(0,0,0),

13、 A(2,0,0), B(0,2,0), Ci(0,0,2), Bi(0,2,2),由中點坐標公式可得,D(1,1,0), E(0,1,2), F(1,0,0),JDE|h .； 102 + 1 1 2 + 0-2 2 h 5,|EF| / 0- 1 2+ 1-02+ 2- 02=6.階段3.體驗落實評價1. 點A( 1,2,1)在x軸上的投影點和在xOy平面上的投影點的坐標分別為()A. (- 1,0,1), (- 1,2,0)B. (- 1,0,0), (- 1,2,0)C. (- 1,0,0), (- 1,0,0)D. (- 1,2,0), (- 1,2,0)【解析】點A( 1,2,1)

14、在 x軸上的投影點的橫坐標是一1,縱坐標、豎坐標都為0,故為(-1,0,0)，點A(- 1, 2,1)在 xOy平面上橫、縱坐標不變且豎坐標是 0,故為(-1,2,0).【答案】 B2. 在空間直角坐標系中，點P(3,4,5)與Q(3 , - 4,- 5)兩點的位置關系是()A .關于x軸對稱B. 關于xOy平面對稱C. 關于坐標原點對稱D. 以上都不對【解析】點P(3,4,5)與Q(3,- 4,- 5)兩點的橫坐標相同，而縱、豎坐標 互為相反數(shù)，所以兩點關于x軸對稱.【答案】A3已知A(3,2, 4), B(5, 2,2)，則線段AB中點的坐標為 .【解析】設中點坐標為(xo, yo, zo),“3+ 52 2 - 4+ 2貝U xo =廠=4, yo=廠=0, zo=2= 1,中點坐標為(4,。，一 1).【答案】(4,o, 1)4. 設 A(4, 7,1), B(6,2, z), AB|= 11,則 z=.【解析】由 AB匸“ 6 4 2+ 2+ 7 2+ z 1 2二 11,解得z= 7