系統(tǒng)頻率特性

1、V( ) A( )sin ()第三章 系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)的時域分析 是分析系統(tǒng)的 直接方法 ，比較直觀，但離開 計算機仿真， 分析高階系統(tǒng)是困難的。 系統(tǒng)頻域分析 是工程廣為 應(yīng)用的系統(tǒng)分析和綜合的 間接方法 。頻率分析不僅可以了解系統(tǒng) 頻率特性，如截止頻率、諧振頻率等，而且可以間接了解系統(tǒng)時 域特性，如快速性，穩(wěn)定性等，為分析和設(shè)計系統(tǒng)提供更簡便更 可靠的方法。本章首先闡明頻率響應(yīng)的特點，給出計算頻率響應(yīng)的方法， 接著介紹 Nyquist 圖和 Bode 圖的繪制方法、系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度及 系統(tǒng)時域性能指標(biāo)計算。3.1 頻率響應(yīng)和頻率特性3.1.1 一般概念頻率響應(yīng) 是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2、考慮傳遞函數(shù)為G(s)的線性系統(tǒng)，若輸入正弦信號xi (t) Xi sin t (3.1-1)根據(jù)微分方程解的理論， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為與輸入信號 同頻率的正弦信號， 只是其幅值和相位發(fā)生了變化 。輸出幅值正 比于輸入的幅值 Xi ，而且是輸入正弦頻率的函數(shù)。輸出的相位與 X i 無關(guān)，只與輸入信號產(chǎn)生一個相位差，且也是輸入信號頻率 的函數(shù)。即 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 為由此可知，輸出信號與輸入信號的幅值比是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的幅頻特性，記為A()。輸出信號與輸入信號相位差也是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的相頻特性，記為幅頻特性:A()Xo()Xi()(3.1-3)相頻特性:()o( ) i( )(3.1-4

3、)頻率特性是指系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比 對頻率的關(guān)系特性，可表示為：G(j )冊 S-5)頻率特性G(j )是傳遞函數(shù)G(s)的一種特殊形式。任何線性連 續(xù)時間系統(tǒng)的頻率特性都可由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的S以j代替而求得。G(j )有三種表示方法：G(j ) A( )ej ( )(3.1 -6)G(j ) U( ) jV( ) (3.1-7)G(j ) A( )cos( ) jA( )sin ( ) (3.1-8)式中，實頻特性：U( ) A( )cos ()虛頻特性:A( ) U2( ) V2()()arctanV()U()一般在分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響時，頻域分析比

4、時域分析要容易些。根據(jù)頻率特性，可以較方便地 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度，并可通過頻率特性 選擇系統(tǒng)參數(shù)或?qū)?系統(tǒng)進行校正，使系統(tǒng)性能達到預(yù)期的性能指標(biāo)。同時，由頻率 特性易于選擇系統(tǒng)工作頻率范圍，或根據(jù)工作頻率要求，設(shè)計具 有合適的頻率特性的系統(tǒng)。頻率特性物理意義明確并且可以用實驗的方法測定出來?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性與其動態(tài)特性和靜態(tài)性能之間存在著定性和 定量的關(guān)系，因此，可以利用圖表、曲線和經(jīng)驗公式作為輔助工 具來分析和設(shè)計系統(tǒng)。3.1.2頻率響應(yīng)的計算、連續(xù)時間系統(tǒng)頻率響應(yīng) 的計算boao(3.1-9)G(s)鵲恥；bm1叮u (S) anSan is則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由:boG(j )

5、 bm(j)； bm1(j-(3.1-10)an (j )an 1(J )a0直接求出。又設(shè)已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型為:X AX BUY CX DU(3.1 -11)則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由下式直接求出：G(j ) C(j I A) 1B D (3.1-12)二、離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計算若離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為(F,GC,D)，則此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：G(j T) C(e j TI F) 1G D (3.1-13)如離散系統(tǒng)以傳遞函數(shù)模型表示，將 z ej T代入，則系統(tǒng)的 頻率響應(yīng)為：j T mj T m 1j T(3.2-14)，而系統(tǒng)的頻G( j t) d(e )b2(e)bmebm 1G

6、(e )i T ni T n 1a1(ej )b2(ej )bnejbn 1式中，T為采樣周期。應(yīng)注意，離散時間系統(tǒng)的采樣頻率率范圍應(yīng)在。扌之間三、頻率響應(yīng)計算函數(shù)MATLAB控制工具箱中，函數(shù) FREQRESP用于計算LTI系 統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它既適用于連續(xù)時間系統(tǒng)，也適用于離散時間系統(tǒng)；既適用于SISO系統(tǒng)，也適用于 MIMO系統(tǒng)。函數(shù)調(diào)用格式 為：H freqresp (sys,)其中，sys為系統(tǒng)模型；為指定的實頻率向量，單位為rad/s;返回值H是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。它是一個三維數(shù)組。例如，SISO系統(tǒng)，H(1,1,5)表示頻率點(5)所對應(yīng)響應(yīng)值；對于 MIMO系統(tǒng)，H(1,2,5)表示

7、第1個輸出和第2個輸入之間在 頻率點的 響應(yīng)值。頻率響應(yīng)H為復(fù)變量。為了說明函數(shù)FREQRESP所采用的計算方法，下面程序用兩 種方法計算一個離散的頻率響應(yīng)：1采用變換z ej T ； 2.直接用函數(shù) FREQRESPo例3-1已知離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：G(z) 0.047眈0.0464，采 z21.81z0.9048樣周期Ts 0.1s，試計算它的頻率響應(yīng)并繪制其幅頻圖和相頻圖,amp301m(qs曇三 pghl圖3-1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.2頻率特性圖示法在經(jīng)典控制論中，常用圖示法來描述系統(tǒng)的頻率特性，它們是：(1)幅相頻特性 一Nyquist圖， 由0表示極坐標(biāo)上的G(j )的幅值和相角關(guān)系。

8、(2) 對數(shù)幅相特性一Bode圖，它由兩個圖組成：對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖?？v坐標(biāo)分別是：幅值L( ) 20lgA()，以dB表示；相角()，以度表示。橫坐標(biāo)為頻率，采用對數(shù)分度。(3) 對數(shù)幅相特性一Nichols圖，它是以 為參變量來表示 對數(shù)幅值和相角關(guān)系圖。MATLAB控制工具箱中，有專用的函數(shù)可方便地實現(xiàn)這三個 圖形的繪制。3.2.1 Nyfquist 圖的繪制頻率特性G(j )是頻率 的復(fù)變函數(shù)，可以在復(fù)平面上用一個 矢量來表示。該矢量的幅值 A( ) G(j )，相角()G(j )。當(dāng) 頻率 從0變化時，G(j )矢端的軌跡即為頻率特性。因此，把頻率特性在復(fù)平面上用極坐標(biāo)表

9、示的幾何圖形，稱 為頻率特性的極坐標(biāo)圖，或稱為 Nyquist圖。Nyquist圖不便于分析頻率特性中某個環(huán)節(jié)對頻率特性的影 響。MATLAB控制工具箱中有繪制 Nyquist圖的函數(shù)NY QUIST，調(diào)用格式為：nyq uist(sys)nyq uist(sys,)nyquist(sys1, sys2, , sysN)nyquist(sys1, sys2, , sysN,)Re, Im, ) nyquist(sys)其中，sys為系統(tǒng)模型；頻率向量；Re為頻率響應(yīng)實部；Im頻率響應(yīng)虛部MATLAB中，頻率范圍 可由兩個函數(shù)給定：logspace( 1, 2,N) 產(chǎn)生頻率在1和2之間N個對數(shù)

10、分布頻率點；Iinspace( 1, 2,N)產(chǎn) 生頻率在i和2之間N個線性分布的頻率點；N可以缺省。函數(shù)NY QUIST用于計算LTI系統(tǒng)的Nyquist頻率響應(yīng)。調(diào)用 時，若不包含左邊輸出變量，函數(shù)NY QUIST繪制系統(tǒng)的Nyquist 圖；調(diào)用時，若包含左邊輸出變量，貝V不繪圖，只輸出變量的向 量，這常用于分析系統(tǒng)頻率特性。同時，MATLAB 控制工具箱中還有繪制Nichols圖的函數(shù)NICHOLS，其調(diào)用格式為：nichols (sys)nichols (sys,)nichols (sys1,sys2, , sysN)nichols (sys1,sys2, , sysN,)mag,

11、phase, nichols(sys)函數(shù)nichols(sys)用來計算LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并繪制 Nichols 圖，分析系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)特性。2例3-2繪制系統(tǒng)Gk(s)今 邑的Nyquist圖和Nichols圖，amp302mElt.5O.0 胃x-FIln-05氐呵Afjs圖 3-2 Nyquist 圖由圖3.2可見，該系統(tǒng)的開環(huán) Nyquist曲線不包圍（i,jo） 點，故閉環(huán)是穩(wěn)定的。3.2.2 Bode圖的繪制Bode圖是由兩幅圖組成，分別稱為對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻 特性。它在頻率響應(yīng)法中應(yīng)用最為廣泛。它的橫坐標(biāo)是頻率（rad /s），對數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)是幅值 20lgG（j

12、 ），單位dB ；對 數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)為（），單位deg。Bode圖便于對系統(tǒng)中不同環(huán)節(jié)的作用以及整個系統(tǒng)進行分 析。MATLAB 控制系統(tǒng)工具箱中，用于Bode圖繪制的函數(shù)是BODE。函數(shù)BODE用于計算線性時不變系統(tǒng)（LTI ）的頻率響應(yīng)、 幅值和相位，繪制 Bode圖，調(diào)用方式為:bode(sys)bode(sys,)bode(sys1, sys2, , sysN)bode(sys1, sys2, ,sysN,)mag, phase, bode(sys)其中，sys為系統(tǒng)模型；mag為幅值；phase為相位；頻率范圍。函數(shù)BODE可用于任意LTI系統(tǒng)，即單輸入單輸出(SISO)系 統(tǒng)，

13、多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，連續(xù)時間系統(tǒng)，離散時間系統(tǒng)。用函數(shù)bode(sys)繪制系統(tǒng)的Bode圖時，頻率范圍將根據(jù)系統(tǒng) 零極點自動確定。bode(sys,)是根據(jù)給定的頻率范圍繪制系統(tǒng)sys的頻率特性曲線。bode(sys1, sys2, ,sysN,)是根據(jù)給定的頻率范圍繪制多個系統(tǒng)的頻率特性曲線。當(dāng)函數(shù)調(diào)用帶有左邊輸出變量時，函數(shù)將返回頻率響應(yīng)的幅值 mag，相位 phase和頻率值 。例3-3例3-1系統(tǒng)，試繪制其 Bode圖，amp303.m。ZU_o_Dlwrri芒，mWoA-_oi電-mftzd50JI2圖 3-3 Bode 圖比較圖3-3和圖3-1可知，在MATLAB中，可

14、用不同方法求 得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，函數(shù)BODE完成例3-1程序的所有計算。3.3穩(wěn)定裕度由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)的Nyquist軌跡不包圍 (1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡離點(1,j0)越遠，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；開環(huán) Nyquist軌跡離點 (1, j0)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。這稱為系統(tǒng)的相對 穩(wěn)定性。它通過系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(j )對點(1, j0)的靠近程度來表征，定量表示為穩(wěn)定裕度：幅值裕度kg和相位裕度。一、幅值裕度kg的求取在Nyquist圖上，當(dāng) 為相位交界頻率g時，開環(huán)幅頻特性G(j )H(j )的倒數(shù)，稱為系統(tǒng)

15、的幅值kg，即kg1G(j )H(j )|(3.3-1)顯然，在Nyquist圖上，Nyquist軌跡與負實軸的交點至原點 的距離即為1/kg。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，有1/ kg 1 ；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 有1/kg 1。在Bode圖上，幅值裕度改以分貝(dB)表示:20lg kg20lg1g(j g)H(j g)20lgG(j g)H(j g)(3.3-2)對于穩(wěn)定系統(tǒng)，kg(dB)必在0dB線以下，kg(dB) 0，此時稱為正幅值裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，kg(dB)必在0dB線以上，kg(dB) 0，此時稱為負幅值裕度。二、相位裕度 的求取當(dāng) 為增益交界頻率 c 時，相頻特性距 180 線的相位差值

16、為相位裕度。180 ( c) (3.3-3)式中， ( c) 一般為負值。在 Nyquist 圖上， 為 Nyquist 軌跡和單位圓的交點對負實軸 的相位差值。對于穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Nyquist 圖負實軸以下， 為正相位裕 度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Nyquist 負實軸以上， 為負相位裕 度。在 Bode 圖上，對穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Bode 圖 180 相線以上， 此時稱 為正相位裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，必在Bode圖180相線以下，此時稱 為負相位裕度。綜上所述，若開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的， G( j )H(j )具有正幅值裕 度及正相位裕度時，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的； G(j )H( j )具有

17、負幅 值裕度或負相位裕度時， 其閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 為確定系統(tǒng)的 相對穩(wěn)定性，必須同時考慮幅值裕度 kg 和相位袍度 兩個指標(biāo)。從控制工程實踐來講，為使系統(tǒng)具有滿意的穩(wěn)定裕量，一般 使：30 60kg(dB) 6dB,即kg 2(3.3-4)在 MATLAB 控制工具箱中，函數(shù) MARGIN 用來計算相對穩(wěn)定性的幅值裕度(或稱增益裕度)和相位裕度及對應(yīng)的交界頻率(或稱穿越頻率)，調(diào)用格式為：m arg in( sys)Gm, Pm,Wcg,Wcp margin(sys)Gm, Pm,Wcg,Wcp margin(mag, phase,)marg in (sys)用于繪制Bode圖并在圖中標(biāo)出

18、幅值裕度和相位裕 度。Gm,Pm,Wcg,Wcp margin(sys)，用于計算單輸入單輸出系統(tǒng)的增 益裕度Gm和相應(yīng)的相位交界頻率 Wcg，相位裕度Pm和相應(yīng)的幅值 交界頻率Wcp。根據(jù)定義，相位交界頻率Wcg是指Bode圖的相頻曲線穿越180時的頻率；而幅值交界頻率 Wcp是指Bode圖的幅 頻曲線穿越0分貝時的頻率。Gm, Pm,Wcg,Wcp margin(mag, phase,)則根據(jù)給定的頻率響應(yīng)數(shù) 據(jù)幅值向量mag、相頻向量phase和對應(yīng)的頻率向量計算系統(tǒng)的增益裕度G，相位裕度Pm和相應(yīng)的交界頻率 Wcp和Wcg。例3-4已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:Gk(s)64(s 2

19、)2s(s 0.5)(s6.4s 256.1)求系統(tǒng)的幅值裕度、相位裕度和相應(yīng)的交界頻率，amp304.m。書 w_uEmE圖3-4例3-4的Bode圖繪制的標(biāo)有相對穩(wěn)定性的波德圖如圖3-4所示。因該系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度均為正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定，且相對穩(wěn)定性較好。3.4系統(tǒng)時域頻域一般性能指標(biāo)的計算分析系統(tǒng)特性時，通常要研究系統(tǒng)的時域特性和頻域特性。 可用MATLAB編程方法分析和計算系統(tǒng)時域和頻域的常用的一 些性能。3.4.1系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)系統(tǒng)瞬態(tài)性能用系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特征來定義。常用來描述系 統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)的參數(shù)有：（1）上升時間tr響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升至穩(wěn)態(tài)值的90%所要的時間（2

20、）峰值時間tp響應(yīng)曲線第一次達最大峰值所需要的時間。（3）最大超調(diào)量MpMp %0(3 Xo( ) !00%X()（4）調(diào)整時間ts瞬態(tài)響應(yīng)曲線進入并永遠保持在允許誤差范圍內(nèi)的最小時間。通常， 取穩(wěn)態(tài)值的2%或5%。系統(tǒng)上述瞬態(tài)性能指標(biāo)計算可用 MATLAB編程完成。例3-5已知系統(tǒng)G（s）（S 1杯1 3i），試計算系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)（穩(wěn)態(tài)允許誤差，amp305.m 2%。3.4.2系統(tǒng)穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性對于連續(xù)時間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點全部在S平面左半平面，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于離散時間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點都位 于單位圓內(nèi)，則此系統(tǒng)可以被認為是穩(wěn)定的。若連續(xù)系統(tǒng)零極點 都在S平面左半平面，或若

21、離散系統(tǒng)全部零極點均在單位圓內(nèi)， 則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。由于用數(shù)學(xué)方法直接求解特征方程是不容易的，一些穩(wěn)定判 據(jù)（如Routh判據(jù)、Nyquist判據(jù)等）長期應(yīng)用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分 析中，這些方法日均是間接判別穩(wěn)定性的方法。MATLAB語言可以用數(shù)值計算方法直接求特征方程的根，且已編制專門求解函數(shù)。MATLAB函數(shù)中有許多函數(shù)可用來分析系統(tǒng)零點和極點的 分布情況。函數(shù)POLE可直接用于計算系統(tǒng)極點。函數(shù)EIG用來計算矩陣特征值的根，函數(shù) ROOTS用來求一個多項式的根。利 用系統(tǒng)零極點形式模型函數(shù) ZPK直接給出系統(tǒng)的零點和極點， 函數(shù)PZMAP用來繪制系統(tǒng)的零極點圖和計算系統(tǒng)的零點和極 點，判

22、斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否是最小相位系統(tǒng)。5(s 2)2 ，s(s 2)(s 1)試判斷該閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否是最小相位系統(tǒng)，amp306.m。例3-6已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)程序運行結(jié)果說明：閉環(huán)系統(tǒng)有兩個正極點，不穩(wěn)定，且也 不是最小相位系統(tǒng)。關(guān)于系統(tǒng)相對穩(wěn)定性分析，可用函數(shù)MARGIN3.4.3閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性在分析系統(tǒng)動態(tài)特性中，閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)計算是十分重要的，這些指標(biāo)包括：幅頻寬3dB、相頻寬90、諧振頻率r、 諧振峰值M、幅值穿越頻率八相位穿越頻率g等。關(guān)于c和g 計算可用MATLAB函數(shù)MARGIN，其余的頻率域性能指標(biāo)可以 用MATLAB編程方法計算。程序中用到M

23、ATLAB庫函數(shù)INTERP1 o函數(shù)INTERP1用于一維數(shù)據(jù)插值，調(diào)用格式為：yi int erp1(x, y, xi, method)其中，x,y為數(shù)據(jù)列向量；xi為x中某元素的值；函數(shù)返回值 yi 是用插值法求得y中和xi對應(yīng)的值。mothed插值計算所采用的 方法；near為線性插值；spline為三次樣條插值；cublic 為三次插值該函數(shù)要求是單調(diào)的。例3-7已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函為：G(s)，求s(s 2)該系統(tǒng)閉環(huán)的幅值穿越頻率c、諧振峰頻率r、諧振峰值皿八幅頻寬 3dB、相頻寬 90，amp307.m。glide DIV*TiEs10IQ1Ffsqijsrcv10圖3

24、-5閉環(huán)系統(tǒng)Bode圖(例3-7)閉環(huán)系統(tǒng)Bode圖如圖3-5所示。344穩(wěn)態(tài)性能計算一、穩(wěn)態(tài)誤差%圖3-6誤差計算系統(tǒng)方框圖(3.4-1)對于圖3-6所示系統(tǒng)，由輸入Xs)引起的系統(tǒng)誤差eSS!叫S H(s)(1 Gi(s)G2(s)H(s) Xi(S)由干擾N(s)引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差:ess2lsm s H (s)(1琵嘰N(s)(342)系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為:ess ess1 ess2上面兩個計算式可由 MATLAB編程實現(xiàn)。例3-8已知單位反饋系統(tǒng):5G(s)0.2s 12G2(S)s(s 1)H(s) 1其中，輸入信號Xi (t) t，擾動信號n(t) 1，試確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。這是一個

25、單位反饋系統(tǒng)，H(s) 1輸入信號Xi(t) t，即Xi (s) g。s干擾信號n(t) 1，即N(t) 1。s由(341)和(342)可知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為:一 一 1 1 ess1lim s2s 0 1 G1(s)G2(s)H (s) s2ess2 lims 1s 0 1 G(s)G2(s)H(s) s 用 MATLAB 計算系統(tǒng)總誤差程序， amp308.m。 二、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值例 3-5 的程序中， 已介紹了一種系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值的計算 方法。MATLAB 控制工具箱中，函數(shù) DCGAIN 是用來計算 LTI 系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益?？衫迷摵瘮?shù)直接求得系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。 函數(shù)調(diào)用格式為：K dcgain (sys)其中，sys為LTI模型；K為穩(wěn)態(tài)增益。例 3-9用函數(shù) DCGAIN 求例 3-5 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值， amp309.m。計算結(jié)果與例 3-5 完全