2018中考總復(fù)習(xí)圓的切線專題

1、題型專項（八）與切線有關(guān)的證明與計算 類型1與全等三角形有關(guān) 針對訓(xùn)練 1. （2016梧州）如圖，過O O上的兩點A , B分別作切線，交于BO , AO的延長線于點 C, D,連接CD ,交O O于點E, F,過圓心O作OM丄CD ,垂足為點 M. 求證：（1） ACO BDO ; （2）CE = DF. 證明：/ AC , BD分別是O O的切線， ./ A = Z B= 90 . 又 AO = BO , / AOC =Z BOD , ACO 也厶 BDO. (2) / ACO BDO , OC = OD. 又 OM 丄 CD , CM = DM. 又 OM丄EF,點O是圓心, EM =

2、 FM. CM EM = DM FM. CE = DF. 2. (2016玉林模擬)如圖，AB是O O的直徑，/ BAC = 60 , P是OB上一點，過P作AB 的垂線與AC的延長線交于點 Q,過點C的切線CD交PQ于點D,連接OC. (1)求證： CDQ是等腰三角形； 如果 CDQCOB ,求BP : PO的值. 解：證明：由已知得/ ACB = 90 , / ABC = 30 / Q= 30 , / BCO =Z ABC = 30 . / CD是O O的切線，CO是半徑， CD 丄 CO. / DCQ = Z BCO = 30 . / DCQ = Z Q. 故厶CDQ是等腰三角形. (2

3、)設(shè)O O 的半徑為 1 ,則 AB = 2, OC= 1 , BC = 3. 等腰三角形 CDQ與等腰三角形 COB全等， CQ = CB = AQ = AC + CQ= 1 + 3. AP = 2aq =字 BP = AB AP = PO = AP AO = BP : PO= 3 3. (2016柳州)如圖，AB ABC外接圓O O的直徑，點P是線段CA的延長線上一點 點E在弧上且滿足 PE2= PA - PC，連接CE，AE，OE交CA于點D. (1) 求證： PAEs PEC; 求證：PE為O O的切線； 1 若/ B = 30 , AP = 2AC ,求證：DO= DP. 證明：（1

4、） / PE2= PA-PC, .PE = PA PC = PE. 又/ APE = Z EPC, PAEs PEC. / PAEPEC, PEA = Z PCE. 1 / PCE = 2/ AOE , 1 / PEA = -Z AOE. v OA = OE , 2 / OAE = Z OEA. / AOE + Z OEA + Z OAE = 180 , / AOE + 2 / OEA = 180 , 即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 . / PEA + Z OEA = 90 . PE為O O的切線. 設(shè)O O的半徑為r,則AB = 2r. / B = 30 , / PCB =

5、90 , AC = r, BC = . 3r. 過點O作OF丄AC于點F, ./ AP = AC , 在厶ODF與厶PDE中, / ODF = Z PDE, / OFD = Z PED, OF = PE, ODF PDE. DO= DP. 類型2與相似三角形有關(guān) 針對訓(xùn)練 4. (2016泰州)如圖，在厶ABC中，/ ACB = 90 ，在D為AB上一點，以CD為直徑的O O 交BC于點E,連接AE交CD于點P,交O O于點F，連接DF , / CAE = Z ADF. (1) 判斷AB與O O的位置關(guān)系，并說明理由； 若 PF : PC= 1 : 2, AF = 5,求 CP 的長. 解：(

6、1)AB是O O切線. 理由：/ ACB = 90 , / CAE + Z CEA = 90 . / CAE = Z ADF , / CDF = Z CEA , / ADF + Z CDF = 90 . AB是O O切線. 連接CF. / ADF + Z CDF = 90 , / PCF+Z CDF = 90 , / ADF = Z PCF. / PCF=Z PAC. 又/ CPF=Z APC , PC P PAC. 礦 PF PC. PC2= PF PA.設(shè) PF= a,貝U PC= 2a. 4a2 = a(a+ 5). a= 3. PC = 2a=隊 5. (2015北海)如圖，AB ,

7、CD為O O的直徑，弦AE / CD,連接BE交CD于點F,過點E 作直線EP與CD的延長線交于點 P,使/ PED = Z C. (1) 求證：PE是O O的切線； 求證：ED平分/ BEP; 若O O的半徑為5, CF = 2EF,求PD的長. 解：證明：連接0E. CD是圓0的直徑， / CED = 90 . / 0C = 0E , / C=Z OEC. 又/ PED = Z C, / PED = Z OEC. / PED + Z OED = Z OEC + Z OED = 90 ,即/ OEP= 90 OE 丄 EP. 又點E在圓上， PE是O O的切線. (2) 證明：T AB ,

8、CD為O O的直徑， / AEB =Z CED = 90 . / AEC = Z DEB(同角的余角相等). 又/ PED = Z C, AE / CD, / PED = Z DEB , 即ED平分/ BEP. 設(shè) EF= x,則 CF= 2x. TO O的半徑為5, OF = 2x 5. 在 RtAOEF 中,OE2= EF2+ OF2,即 52 = x2+ (2x 5)2,解得 x = 4, EF = 4. BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8. DF = CD CF= 10 8= 2. / AB為O O的直徑， / AEB = 90 . /AB = 10, BE = 8, AE

9、 = 6. / BEP = Z A , / EFP =Z AEB = 90 , EFPs AEB. 在=圧即疋=4 BE AE86 PF = pd = PF DF = 16- 2 =10 33 6. (2014桂林)如圖， ABC為O O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點，/ PAC=Z B, AD為O O的直徑，過點C作CG丄AD于點E,交AB于點F,交O O于點G. (1)判斷直線PA與O O的位置關(guān)系，并說明理由； (2) 求證：AG 2= AFAB ; 若O O的直徑為10, AC = 2 5, AB = 4,；5,求厶AFG的面積. 解：(1)PA與O O相切. 理由：連接CD. /

10、 AD 為O O 的直徑，/ ACD = 90 / D + Z CAD = 90 / B =Z D, / PAC=Z B, / PAC=Z D. / PAC+Z CAD = 90 ,即 DA 丄 PA. 點A在圓上， PA與O O相切. 證明：連接BG. / AD為O O的直徑，CG丄AD , Ac = AG.az agf = z abg. /Z GAF = Z BAG , AGFABG. AG : AB = AF : AG. AG2= AF-AB. 連接BD. / AD 是直徑，/ ABD = 90 AB = 4 5, / AG 2= AF-AB , AG = AC = 2 ：5, AF /

11、 CG 丄 AD , / AEF = Z ABD = 90 . /Z EAF = Z BAD , AEF ABD. AB=AD，即 4aE5=謚，解得AE=2. EF = :AF2 Ae= 1. / EG = ；AG2 AE2= 4, FG = EG EF= 4 1 = 3. 1 1 afg = 2FG -AE = 2 X 3 X 2= 3. 類型3與銳角三角函數(shù)有關(guān) 針對訓(xùn)練 7. (2014梧州)如圖，已知O O是以BC為直徑的厶ABC的外接圓，OP/ AC ,且與BC的 垂線交于點P, OP交AB于點D, BC, PA的延長線交于點 E. (1)求證：PA是O O的切線； 3 若 sin

12、Z E= 5, PA = 6,求 AC 的長. 解：證明：連接OA. / AC / OP, / AOP = Z OAC , / BOP = Z OCA. / OA = OC ,OCA = Z OAC. AOP = Z BOP. 又 OA = OB , OP= OP, AOP BOP.aZ OAP = Z OBP. / BP 丄 CB ,OAP = Z OBP= 90 . OA 丄 PA. PA是O O的切線. / PB丄CB , PB是O O的切線. 又 PA是O O的切線， PA = PB= 6. 又T sinE = PB EP = AO _ EO = 5， AO = 3. 5 在 RtA

13、OPB 中，OP= ;62 + 32= 3 .5. / BC 為O O 直徑，CAB = 90 . / CAB = Z OBP = 90 , / OCA =Z BOP. AC cb ACBBOP.今=乎 BO OP AC = CBBO 坐=口 -AC = OP = 3.5 = 5 . 延長AC到點P,使PF= PB,求證：PB是O O的切線； 3 亠 (3) 如果 AB = 10, cos/ABC = 5,求 AD. 解：（1）證明：T OD / BC , ODB = / CBD. / OB = OD , OBD = / ODB. CBD = / OBD. BD 平分/ ABC. (2) 證明

14、：TO O是以AB為直徑的厶ABC的外接圓， / ACB = 90 . / CFB + Z CBF = 90 . / PF = PB,PBF = Z CFB. 由(1)知/ OBD =Z CBF , / PBF + Z OBD = 90 / OBP = 90 . PB是O O的切線. (3) 在 RtA ABC 中，/ ACB = 90 , AB = 10, cos/ ABC = -BC = BC = 3 AB 105 BC = 6, AC = .AB2- BC2= 8. / OD / BC , AOEABC , / AED = / OEC = 180 -/ ACB = 90 AE_ OE _

15、 AO AE _ OE _ _5_ AC = BC = AB，8 = 6 = 10. AE = 4, OE= 3. DE = OD OE= 5-3 = 2. AD = AE 2 + DE2= /42+ 22= 2 5. 9. (2016柳州模擬)如圖，已知：AC是O O的直徑，PA丄AC,連接 OP,弦CB / OP,直 線PB交直線 AC于點D, BD = 2PA. (1) 證明：直線 PB是O O的切線； (2) 探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明; 求sin/ OPA的值. 解：證明：連接OB. / BC / OP, OB = OC, / BCO = / POA , / C

16、BO =/ POB , / BCO = / CBO. / POA = / POB.又 T PO= PO, OB = OA , POB POA. / PBO = / PAO = 90 PB是O O的切線. (2)2PO = 3BC.(寫 PO = |bC 亦可) 證明： POB POA , PB = PA. / BD = 2PA, BD = 2PB. / BC / PO, DBC DPO. BC_ PO BD 2 PD二. 2PO= 3BC. DC BD 2 加 “2 DO = PD = 3，即 DC = 3OD. OC = 3OD. DC = 2OC. 設(shè) OA = x, PA = y.則 O

17、D = 3x, OB = x, BD = 2y. 在 RtAOBD 中，由勾股定理得(3x)2= x2+ (2y)2,即 2x2= y2. /x 0, y 0, y= 2x, OP= x2+ y2 = ；3x. 類型4 與特殊四邊形有關(guān) 3 - 針對訓(xùn)練 10. （2016玉林）如圖，AB是O O的直徑，點C, D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形， 過點D作O O的切線，分別交OA延長線與OC延長線于點E, F，連接BF. (1)求證：BF是O O的切線； 已知圓的半徑為1 ,求EF的長. 解：證明：連接OD. / EF為O O的切線， / ODF = 90 . 四邊形AOCD為平行四邊形

18、， AO = DC , AO / DC. 又 DO = OC = OA , DO = OC = DC. DOC為等邊三角形. / DOC = Z ODC = 60 . / DC / AO , / AOD =Z ODC = 60 . / BOF = 180 -Z COD -Z AOD = 60 在厶DOF和厶BCF中， DO = BO , Z DOF = Z BOF, OF = OF, DOF BOF. Z ODF = Z OBF = 90 . BF是O O的切線. tZ DOF = 60 , Z ODF = 90 , Z OFD = 30 . tZ BOF = 60 , Z BOF = Z C

19、FD + Z E, / E=Z OFD = 30 . OF = OE. 又 OD 丄 EF, DE = DF. 在 RtA ODF 中，/ OFD = 30 . OF = 2OD. DF = ,OF2- OD2= 22- 12= 3 EF = 2DF = 2.3. 11. (2016寧波)如圖，已知O O的直徑AB = 10,弦AC = 6, / BAC的平分線交O O于點D , 過點D作DE丄AC交AC的延長線于點 E. (1)求證：DE是O O的切線； 求DE的長. 解：證明：連接OD. / AD 平分/ BAC , / DAE = Z DAB. / OA = OD , / ODA =Z DAO. / ODA =Z DAE. OD / AE. / DE 丄 AC , OD 丄 DE. DE是O O切線. 過點O作OF丄AC于點F. AF = CF = 3. OF = OA2- AF2=52- 32= 4. / OFE = Z DEF = Z ODE = 90 , 四邊形OFED是矩形. DE = OF = 4. 12. （2015桂林）如圖，四邊形ABCD是O O的內(nèi)接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的兩條 切線，C, D為切點. （1）如圖1,求O O的半徑； 如圖1,若點E是BC