胡不歸問題歸納

1、中考數(shù)學壓軸熱點問題“胡不歸模型 近幾年中考題中，常出現(xiàn)帶系數(shù)的兩線段和的最值問題，這類問題基本都要用到 “阿氏 圓”和“胡不歸”模型下面著重講解“胡不歸模型”的應用 【背景】從前，有一個小伙子在外地當學徒， 當他獲悉在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后， 便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A-B (如圖1所 示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶)，當 他氣喘吁吁地趕到父親眼前時，老人剛剛咽了氣，小伙子不覺失聲痛哭， 鄰舍勸慰小伙子時 告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸？胡不歸？這個古老的傳說，引起了人 們的思索，小伙子

2、要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他應該選擇條怎樣的路線呢？這就 是風靡千年的“胡不歸問題” 程后， 由于在驛道和沙礫地的行走速度不一樣，那么，小伙子有沒有可能先在驛道上走 再走沙礫地，雖然多走了路，但反而總用時更短呢？如果存在這種可能，那么要在驛道上行 走多遠才最省時? 設在沙礫地行駛速度為 Vi，在驛道行駛速度為 V2，顯然Vi V V2. 不妨假設從C處進入砂礫地.設總共用時為t,則 t= BC +叢=丄（BC+巴 AC）.因為 V1V2V1v2 V1 , V2是確定的，所以只要 (BC+- AC)最小，用時就最少冋題就轉(zhuǎn)化為求(BC+ AC)的 V2V2 最小值. 我們可以作出一條以

3、C為端點的線段，使其等于 AC.并且與線段CB位于AM的兩側(cè)， V2 然后，根據(jù)兩點之間線段最短， 不難找到最小值點.怎么作呢？由三角函數(shù)的定義， 過A點， 在AM的另一側(cè)以A為頂點，以AM為一邊作/ MANKa, sin a 亠.然后，作CEL AN,則 V2 CE=Vl AC.最后，當點 B C、E在一條直線上時，BC+CE最小，即(BC+上1 AC)的值最小，即 V2V2 用時最小. 那么OD+1 BD 2 例1.如圖，AC是圓0的直徑，AC=4,弧BA=120,點D是弦AB上的一個動點, 的最小值為. 解:BA的度數(shù)為 ,Z：C=60er 是直銘 CA, DE丄EK于E DM丄于連接。

4、占. 3K/jACt :.dbe-_bac 枉皿DEE中，DE=、R 2 根娼垂建股最短可知當點E與府重合時的值最小最小直為 vZXO=ZJ 50=30% 二 6QJ OB-lt NORM二臺 .DJ-FOD的最小值為邁, M 方法總結(jié)： A E 占 C B .x Lj C 的系數(shù)(注意題目中有無特殊角) 第二步：過動點作上一步的角的邊的垂線，構(gòu)造直角三角形 第三步：根據(jù)兩點之間線段最短，找到最小值的位置 第四步：計算 應用: 如圖， ABC在平面直角坐標系中，AB=AC A(0,2 J2)，C(1，0)，D為射線AO上 一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為 AtD- C,點P在AD上的運動速度

5、是在 CD 上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標應為 . 解:假設尸在丿心的速度沖$人 在O的速度為1匕 總時間匸等+歲二+ 駕+CD),要使F最小，就要學最小 因為#0二過篇號作*円丄/加丿0于點孔交(14于D.易證 ADJ/ACO, 所以語二鴿二乳所以學二D比因為ABC是等腰三甬開盒ikBD-CDt AD 所UlS h CD最小，就是嬰DH+RDg小，就要扒 B、H三點共妊就行了. 因肉3OCS眈0所収獸二務，即斗二鼎 所以0Q二 密 所此栽的坐標應為 中考壓軸題實戰(zhàn)練習: k 如圖，已知拋物線 y= (x+2)(x-4)( k為常數(shù)，且k 0)與x軸從左至右依次交于A, B兩 8

6、 點，與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線y=-=3x+b與拋物線的另一交點為D. 3 線上運動. 解答模式: 胡不歸”問題中涉及到三個點。其中有兩個定點，一個動點，且動點是在直 第一步：在系數(shù)不為1的線段的定端點處作一個角，使其的正弦值等于此線段 (1) 若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數(shù)表達式； (2) 若在第一象限的拋物線上有點P,使得以A, B, P為頂點的三角形與 ABC相似，求k 的值； 在條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接 AF, 動點M從點A出發(fā)，沿 線段AF以每秒1個單位的速度運動到 F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到 D后停 止當點F的坐標是多少時，點 M在

7、整個運動過程中用時最少？ “胡不歸模型”練習題： 1. 等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中 BC邊在x 軸上，BC邊的高0A在Y軸上.一只電子蟲從 A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C 點，已知電子蟲在 Y軸上運動的速度是在 GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程菁優(yōu)網(wǎng) 11 2. 如圖，拋物線 y= x2 +mx+ n與直線y=-x+3交于A, B兩點，交x軸于D, C兩點，連 22 接 AC, BC 已知 A (0, 3), C (3, 0). (I )求拋物線的解析式和 tan / BAC的值； (n )在(I )條件下： (1)P為y軸右側(cè)拋物線

8、上一動點，連接PA過點P作PQ! PA交y軸于點Q,問：是否存在 點P使得以A, P, Q為頂點的三角形與 ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的 坐標；若不存在，請說明理由. 設E為線段AC上一點(不含端點)，連接 DE, 動點M從點D出發(fā)，沿線段 DE以每秒 一個單位速度運動到 E點，再沿線段EA以每秒 2個單位的速度運動到 A后停止，當點E 的坐標是多少時，點 M在整個運動中用時最少？ 4.如圖所示，已知拋物線 3.如圖，在平面直角坐標系中, 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象經(jīng)過點 A(-1 , 0) , B(0, - . 3 ), C (2，0)，其對稱軸與 x軸交于點D

9、 (1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標； 1 若P為y軸上的一個動點，連接 PD則一PB+PD勺最小值為 ； 2 (3) M (x, t)為拋物線對稱軸上一動點 若平面內(nèi)存在點 N使得以A, B, M N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個; 連接MA MB若/ AMB不小于60 ,求t的取值范圍. y=a (x+3)(x-1 ) (a豐0)，與x軸從左至右依次相交于 點，與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=- 3x+b與拋物線的另一個交點為D. (1)若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式； 若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A B、P為頂點的三角形與 ABC相似，求點 P的坐標； 在的條件下，設點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接 BE 一動點Q從點B出 i- 發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點 E,再沿線段ED以每秒2衛(wèi)個單位的速度 3 運動到點D后停止，問當點 E的坐標是多少時，點 Q在整個運動過程中所用時間最少? 5.【問題探究】 1 (1)如圖，點E是正 ABC高AD上的一定點，請在 AB上找一點F,使EF= AE并說明理 2 由； 1 如圖，點 M是邊長為2的正 ABC高AD上的一動點，求AM+M(的最小值； 2 【問題解決】 (3)如圖，A B兩地相距600km, AC是