哈工大考研量子力學(xué)試題

1、 1. 軌道角動(dòng)量的三個(gè)分量 l ， l 和 l 是否有共同本征態(tài)？若果有，【題目】xyz【解題】沒有， 不對(duì)易，故無(wú)共同本征態(tài)xyz【分析】2v r + ( ) 的本征值為 e ，相應(yīng)的本征函數(shù)【題目】2h212mn2v r c + ( ) + 的本征值和本征函數(shù)（c 為常數(shù)）。22n1nh211nnnnj ( ) j ( ) (nnn的本征函數(shù)為j，本征值為e+ c由上式知，2nn . 計(jì)算對(duì)易關(guān)系p ,l = ?;l +il , l = ?【題目】32zxyz 2zzzzyxyx= -i ( p p - p p + p p - p p ) = 0yxxyyxxy（2） l + i l ,

2、 l = l , l + i l , l = i l + i l z xyzxzyyx a，bc = a, b c+ b a,c ，能將復(fù)雜的算符用一些簡(jiǎn)單并且我們所熟知的算 符表示出來，并化簡(jiǎn)得出結(jié)果x2222x = p = 0對(duì)線性諧振子2222 22wh =22利用22p 12h = 2w2222有2jj設(shè)11+ab那么： j j j, jc111111+ jjjjjjjj11111111j j 01111所以在 a 或 b 的本征態(tài)中，算符 c 的平均值為零。 【解題】假設(shè)對(duì)應(yīng)于能量本征值 e 存在三個(gè)線性獨(dú)立的本征波函數(shù) (x) 、y (x) 和012y ( ) ，則有：x3x122

3、1x1332用c 乘以第一式，減去c 乘以第二式，有21y ( )y ( ) -y ( )y ( ) - y ( )y ( ) -y ( )y ( ) = 0x cxxxxxx1221133y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) 0- c x - c x -c x x =x12213221312213x x=1xx113 1x于是得到12333(x)( )(x)(x) y ( )、 x 和上式表明y是和y的線性組合，顯然這與1312(x)相互獨(dú)立的假設(shè)是矛盾的。3 0x【題目】8pxx5aaa時(shí)，在0 x 的區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。2（1）8y(x,0) =5aa

4、a8 px 8 1 2px 41sin=x=5aa5a 2a5512其中naa41eey (x,t ) = e-i 1 tx + e-i 2 tx0055012n2 22ua2n414p 2 25512 2ap(t = 0) = y(x,0) dx =202a022 1 5p000【分析】【題目 】三已知 l=1 時(shí)， l 的本征函數(shù)在坐標(biāo)表象中用球函數(shù)表示為z333cosq,，寫出 l=1 時(shí)，l 和 le ji8p4p8p1,0yx1 0 0l=0 0 0zz1 l = ,z 0 0 l = 0, y = 1 z0 0 0= 0 z-1 1 y11 , y10 , y10-11,-1lxy

5、1 +- 2iy+-( ) ( )當(dāng)l時(shí)，顯然，算符 l 、 l 的對(duì)角元皆為零，并且，xy1,- 1l 1,=1 - 1 ,l 1 =1, 1 0xyxy只有當(dāng)量子數(shù) m 相差 1時(shí)矩陣元才不為零，即1,-1 l 1,0 = 1,0 l 1,-1 = 1,0 l 1,1 = 1,1 l 1,0 =2xxxxi1,0 l 1,-1 = 1,1 l 1,0 = -2yyi2yyxy0 1 01 0 1 ;l =i22xyl 滿足的本征方程為y0c 11ic l 222 00cc 33相應(yīng)的久期方程為 il-0iil-= 0i0l32得到三個(gè)本征值分別為lll= 0 ;123i1i1yyy=222

6、123i1- il 滿足的本征方程為xcc 1 1 c 222 c 3c 3相應(yīng)的久期方程為l-02l-= 022l0-2l32得到三個(gè)本征值分別為lll= 0 ;123111 1 11 yyy=2 ;=0 ;- 22221211 【分析】zzxyj四某力學(xué)量的算符 a 有兩個(gè)歸一化的本征函數(shù) 和 ，相應(yīng)的本【題目】12ac；另一力學(xué)量的算符 b 也有兩個(gè)歸一化的本征函數(shù) 和211221j=+=-112212在某種狀態(tài)下，測(cè)量力學(xué)量 a 后得到的結(jié)果為 ；若在此之后在測(cè)量力學(xué)1量 b，接著在測(cè)量力學(xué)量 a,則第二次測(cè)量 a 得到的結(jié)果仍為 的概率是多1在某種狀態(tài)下，測(cè)量力學(xué)量 a 后得的結(jié)果為

7、 時(shí)，波函數(shù)為11j5112j(3c 4c )=+=+由112212c(4j 3j );c( 3j 4j )=+=+11221214433p = ( )( )+ ( )( )=22225555 1 a【題目】a1 a 01 0 000 0 a（1）nnnne = w = 0, e = w = 0, e = w = a1122332(2)所以k00kia2(2)1(2)2(2)322a2e 1- , e 3+ , e -2 + a22123（2）解久期方程 a可得到00a - 2 - ee = 2+ 1+ a , e = 2 - 1- a , e = a - 222最后求得123a2a2當(dāng)a 1時(shí), 1+ a 1+ , 1- a 1-22（3）此時(shí)（1）與（2）的結(jié)果一致22【分析】六有一粒子處于確定的自旋態(tài)，已知在此自旋態(tài)中，s 取 得概率2z11s是 ，s 取 的概率是 ，而且 的平均值小于零，求s 取 的概率是多少x3262yx11在確定的自旋態(tài) l 中， s 取 的概率為 ， 取 的概率為s2326zy11