解析幾何的解題思路、方法和策略

1、解析幾何的解題思路、方法與策略 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的，一方面是回顧已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知識，另一方面， 隨著 學(xué)生學(xué)習(xí)能力的不斷提高，學(xué)生不會(huì)僅僅滿足于對數(shù)學(xué)知識的簡單重復(fù)，而是有對所學(xué)知識進(jìn)一步理解 的需求，如數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)涵的思想方法、數(shù)學(xué)知識之間本質(zhì)聯(lián)系等等，所以高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)既要 溫故”，更 要知新”，既能引起學(xué)生的興趣，啟發(fā)學(xué)生的思維，又能促使學(xué)生不斷提出問題，有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造， 進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生問題研究的能力. 以 圓錐曲線與方程”容為主的解題思想思路、 方法與策略是高中平面解析幾何的核心容，也是高考考 查的重點(diǎn)每年的高考卷中，一般有兩道選擇或填空題以及一道解答題，主要考查圓錐曲線

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程及 其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能及基本方法的靈活運(yùn)用，而解答題注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考 查，重視對圓錐曲線定義的應(yīng)用，求軌跡及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查. 解析幾何在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn).通過以圓錐曲線為主要載 體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基 礎(chǔ)知識融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)基于解析 幾何在高考中重要地位，這一板塊知識一直以來都是學(xué)生在高三復(fù)習(xí)中一塊難啃的骨頭”.所以研究解析 幾何的解題思路，方法與策略，重視一題多解，一題多變

3、，多題一解這樣三位一體的拓展型變式教學(xué)，是 老師和同學(xué)們在高三復(fù)習(xí)一起攻堅(jiān)的主題之一本文嘗試以筆者在實(shí)際高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，在教輔教參和各 類考試中遇到的幾道題目來談?wù)劷馕鰩缀谓忸}思路和方法策略. 一、一道直線方程與面積最值問題的求解和變式 例1已知直線I過點(diǎn)M ( 2,1)，若直線I交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B, O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1 )設(shè) AOB的面積為S,求S的最小值并求此時(shí)直線I的方程； (2 )求OA OB最小值；r (3)求MA MB最小值. 解：方法一：直線I交x軸負(fù)半軸，y軸正半軸，設(shè)直線I的方程為 y k(x 2) 1(k0), A( k B(0,2k1), (1) - S

4、 (2k1)2 2k 2k丄 2k 4, 當(dāng)(2k)2 1時(shí)，即k2 口 號, -時(shí)取等號，此時(shí)直線l的方程為y 2 2. (2) OA OB 2k 1 2k 3 2 2 3，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號; 2 (3) MA MB 1時(shí)取等號; ,4 4k2 (k2 1)(1 k2)2 k2 2 k2 當(dāng)且僅當(dāng)k 方法二：設(shè)直線截距式為 0,b0), M( 2,1) , (1 ) T1 2 J三, ab ab 8，S AOB (2) OA OB 丄 |a|b 2 1 2 1 -7)( a b 1ab b) a) (3) MA MB MA MB 2(a 2) (b 1) 2a (2a 2 1 b)( a

5、衛(wèi) 5 2a 2b b (3 )方法三: MA 1 sin MB 2 cos sin cos sin 2 4，當(dāng)且僅當(dāng) sin2 1時(shí)最小， 變式1 :原題條件不變, (1 ) 求厶AOB的重心軌跡; (2)求厶AOB的周長I最小值. 解：(1 )設(shè)重心坐標(biāo)為 (x,y)，且 A(a,0) , B(0,b)，則 a 3x , b 3y , 2丄1, 3x 3y x y 3x 2 12 -(3x 2) 331 3x 23 2 3，該重心的軌跡為雙曲線一部分; (2)令直線AB 傾斜角為，則0 1 sin 1 sin MB cos 1 ,AE ，又M( 2,1)，過M分別作 2 1, BF x軸和

6、y軸的垂線，垂足為E, F , 1 sin cos cot - 2 tan 2tan cot - 2 cot2 1 cos tan 2(1 sin ) cos 2(1 co-) J。 cot2 1 變式2 :求OA 則 t0 , cot- 2 2tan (0 2cos2 2 2 sin cos- 2 2) 2 2(s in cos) 2 2 2 cos - 2 4)， 周長I 3 t 2(t 2) t OB | AB的最小值.(留給讀者參照變式 .2 sin 2 10 1，自行解決) 點(diǎn)評：由于三角函數(shù)具有有界性，均值不等式有放大和縮小的功能，在解析幾何中遇上求最值的問題，可 構(gòu)建三角函數(shù)和均

7、值不等式，合理地放大縮小，利用有界性，求得最值. 圓錐曲線的最值問題，解法一般分為兩種：一是幾何法， 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有 關(guān)結(jié)論來處理非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題, 然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值; 二、涉及到拋物線的相關(guān)題目和證明 例2證明拋物線的焦點(diǎn)弦定值 設(shè)直線AB : x p2 ty，與拋物線y 2px交于 代B兩點(diǎn)，則有如下一些結(jié)論: x,x2 2p X2 P ； sin AF 1 BF X1 證明：方法一：設(shè) A(x1, y-i) B(x2,y2). y2 2pX 2 p，得 y 2pt

8、y 2 x ty 4p2t2 4p20 . y“2 ，則 X-X2 2 yi 2p 2 y2 2p yiy2 47 4 p 4p2 作AA BBi ,假設(shè)AA BB1 AF AA Xi BF BBiX2 f， BAA AB AF BF Xi X2P, -yi y2 2pt y-y2 y2)22沁 2p2) p 2 cos 2p(2 sin i)尋 sin 方法二: i sin AB BE i sin sin .(yiy2) 4yiy2 AF BF Xi X2yi y2 Xi P. 2 Ai Bi i sin yi y2 汙丿4能2 4p2 2p ； 2 ； sin Xi X2 X2 P 2 P

9、 4 XiX2 貝Xi X2) 3 2 4p. 例3已知A，B為拋物線C : y2 2pX (p 0)上兩點(diǎn)，且滿足OA OB , O為坐標(biāo)原點(diǎn), 求證：(i) A， B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別為定值; (2)直線AB經(jīng)過一定點(diǎn). 2 2 解:( i )設(shè) A(Xi,yi)，B(X2, y2)，易得 yi 2 p%，y? 2 px?，又 OA OB， 則 XiX2yiy20, 2 2 2 2 2 2 - yi y2 4p XiX2 (XiX2), XiX2 4p , yiy24p ； (2) 方法一：由對稱性，可知直線AB過定點(diǎn)一定在x軸上，取特值，得定點(diǎn)為 (2p,0); 設(shè)直線 AB

10、的方程為y k(x 2p) (k 0)， 化簡整理把x代入拋物線C : 2k 2 y 2px的方程，可得 y y 2p 2pk 站 /2 pk 那么yy k 2p 4p2, 也 4p2, - x-ix2 y-i y20 ,則 OA OB滿足題意，表明直線AB過定點(diǎn) (2p,0) 方法二：易得直線 AB的斜率 y2 yiy2 yi 22 y2 yi 2p 2p xx-i 2p yi y2 直線AB的方程為y yi x1)，整理得 y yi y2 2p y2 yi y2 2p yi， 即 y 2p xy2 ，又/y2 yiy2yiy? 直線AB的方程為 2p yi y2 (x 2p), 即得直線AB過定點(diǎn)(2 p,0). 方法三：設(shè) A(,yi), B(X2,y2)，設(shè)直線AB方程為x ty m , 將其代入拋物線 C:y2 2px的方程，得方程 y2 2pty 2pm 0, 2 2 2 只需 4p t 8pm 0 , yiy22pm 4p ,解得 m 2 p , 直線AB的方程為x ty 2p，即得直線 AB過定點(diǎn)(2p,0). y kx2p 2p 方法四：設(shè)直線 OA的方程為y kx，由 2，得交點(diǎn)為0(0,0)和A(號，) y 2pxk k i2 又 OB的方程