圓錐曲線知識點總結(供參考)

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持. 圓錐曲線的方程與性質 10文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯. 1. 橢圓 (1) 橢圓概念 平面內與兩個定點 F1、 F2的距離的和等于常數(shù) 2a (大于 廳店2丨)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓 的焦點，兩焦點的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M 為橢圓上任意一點，則有 | MF1 | |MF2| 2a。 上)。 橢圓的標準方程為: 2 2 xy 2,2 ab 0)(焦點在 x軸上) 2 y_ 2 a 2 x 篤 1 (a b 0) b2 (焦點在 注：以上方程中 a,b的大小 a b 0,其中b2 1兩個方程中

2、都有a 0的條件，要分清焦點的位置，只要看 x2 和 y2 的分 母的大小。例如橢圓 2 y n n)當m n時表示焦點在x軸上的橢圓; 表示焦點在y軸上的橢圓。 (2) 橢圓的性質 2 x 范圍：由標準方程 a 2 y b2 1知|x| a , |y| b，說明橢圓位于直線 x a , b所圍成的矩形里; 對稱性：在曲線方程里, 若以 y代替y方程不變，所以若點(x, y)在曲線上時, 占 八、 (x, y)也在曲線上, 所以曲線關于x軸對稱，同理，以 x代替x方程不變，則曲線關于 y軸對稱。若同時以 x代替x , y代替y 方程也不變，則曲線關于原點對稱。 所以，橢圓關于x軸、y軸和原點對

3、稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心 叫橢圓的中心; 頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與 x軸、y軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令 x 0，得y b，則B1(0, b) , B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點。同理令y 0得x a，即A( a,0), A(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點。 所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。 同時，線段 AA、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b , a和b分別叫做橢圓的長 半軸長和短半軸長。 由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為a ；在Rt OB2F2中，|O

4、B2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a， 222222 且 IOF2 I I B2F21| OB2 |，即 c a b ； c 離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e叫橢圓的離心率。：a c 0, 0 e 1，且e越接近1, c就 a 越接近a，從而b就越小，對應的橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0，從而b越接近于a，這時 橢圓越接近于圓。當且僅當a b時，c 0，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2 a2。 2. 雙曲線 (1) 雙曲線的概念 平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線(| PF1 | | PF2 | 2a )o 注意：式中是差的

5、絕對值，在0 2a | F1F2 |條件下；|PF1 | PF2 | 2a時為雙曲線的一支； |PF2| |PF1| 2a時為雙曲線的另一支(含 F1的一支)；當2a 廳汀2丨時，| PF11 PF? 2a表示兩條射 線；當 2a | F1F21 時,|PF1| I PF21| 2a不表示任何圖形；兩定點 F1, F2叫做雙曲線的焦點, I F1F2 |叫做 焦距。 (2)雙曲線的性質 范圍：從標準方程 2 2 篤占 1，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線 a b x a的外側。即 x2 a2, x a即雙曲線在兩條直線 x a的外側。 2 2 對稱性：雙曲線 務 1關于每個坐標軸和原

6、點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點 a b 22 是雙曲線%1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 a b 頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線 2 2 篤 與 1的方程里，對稱軸是 x,y軸，所 a b 22 以令y 0得x a，因此雙曲線和x軸有兩個交點 A ( a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線 % 嶺 1的頂點。 a b 令x 0,沒有實根，因此雙曲線和 y軸沒有交點。 1)注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的(橢圓有四個頂點) 端點。 ，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個 2）實軸：線段A A 2叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a, a叫做雙

7、曲線的實半軸長。虛軸：線段B B?叫做雙 曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從 2 2 圖上看，雙曲線 篤 爲 1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。 a b 等軸雙曲線： 1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b ； 2） 等軸雙曲線的性質：（1 ）漸近線方程為：y x ； （ 2）漸近線互相垂直。 注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其 他幾個亦成立。 3）注意到等軸雙曲線的特征 a b，則等軸雙曲

8、線可以設為: （0），當 0時交點在x軸, 當 0時焦點在y軸上。 X2 y2y2 x2 注意1與1的區(qū)別：三個量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點所在的坐標 1699 16 軸也變了。 3. 拋物線 （1）拋物線的概念 平面內與一定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線I上）。定點F叫做 拋物線的焦點，定直線 I叫做拋物線的準線。 方程y2 2px p 0叫做拋物線的標準方程。 注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（衛(wèi)，0）,它的準線方程是 x -; 2 2 （2）拋物線的性質 一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有

9、四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其 他幾種形式：y2 2px , x2 2py , x22py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如 F表: 標準方程 圖形 焦點坐標 準線方程 范圍 對稱性 x軸 x軸 y軸 y軸 頂點 離心率 說明：(1)通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2)拋物線的幾何性質的特點：有一個頂 點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；(3)注意強調p的幾何意義：是焦點到準線 的距離。 4. 高考數(shù)學圓錐曲線部分知識點梳理 一、方程的曲線： 在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一

10、個二元方程f(x,y)=O 的 實數(shù)解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上 的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。 點與曲線的關系：若曲線 C的方程是f(x,y)=0 ，則點Po(x o,y 0)在曲線C上 f(x o,y o)=0 ;點Po(x o,y o)不在曲線 C 上f(x o,y o)豐 O。 兩條曲線的交點：若曲線Ci, C的方程分別為fi(x,y)=O,f 2(x,y)=O,則點Po(x o,y o)是C, G的交點 fi(xo,yo) O方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組

11、沒有實數(shù)解，曲線就沒 f2(x),yo) o 2、方程： 標準方程：圓心在 c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2 圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2 線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離 沒有公共點。 直線和圓的位置關系的判定: (i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d Aa Bb C 、A2B2 一般方程：當 D2+W-4F 0時，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為 (,)半徑 2 2 是 D2 E24F。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+D ) 2+(y

12、+空)2=E ?- 4F 2224 當D2+E2-4F=O時，方程表示一個點(-D，- E); 2 2 當D2+W-4F V 0時，方程不表示任何圖形. (3) 點與圓的位置關系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x o,y o)，則丨MC| V r 點M在圓C內，丨 MC| =r 點 M在圓 C上，| MC| r 點 M在圓 C內，其中丨 MC| = ；(x0 - a)2(y0 -b)2。 有兩個公共點；直 (4) 直線和圓的位置關系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交 與半徑r的大小關系來判定。 三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義： 平面內的動點 P(x,y)到一個定點F(

13、c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線I的距離之比是一個常數(shù)e(e 0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線I稱為準線，正常數(shù) e稱為離心率。當0 v ev 1時，軌跡為橢圓；當 e=1時，軌跡為拋物線；當 e 1時，軌跡為雙曲線。 四、橢圓、雙曲線、拋物線: 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 1 .到兩定點Fl,F2的距離之 和為定值2a(2a|F 1F2I)的 點的軌跡 2 .與定點和直線的距離之 比為定值e的點的軌跡. (0e1) 1. 到兩定點F1,F 2的距離之差的 絕對值為定值2a(02a1) 與定點和直線的距離相等的 點的軌跡. 軌跡條件 點集：(M

14、| | MF+ | MF | =2a, | F 1F2 | v 2a. 點集：M| MF | - | MF | . = 2a, | F2F2 | 2a. 點集M | MF | =點M到直 線1的距離. 圖形 方 程 標準 方程 x2y2 p 勺 1(a b0) ab x2 y2 =J 1(a0,b0) ab 參數(shù) 方程 X 2 pt (t為參數(shù)) y 2pt 范圍 a x a, b y b |x|a , y R x 0 中心 原點0( 0, 0) 原點O (0, 0) 頂點 (a,0), ( a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), ( a,0) (0,0) 對稱軸 x軸，y軸；

15、 長軸長2a,短軸長2b x軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b. x軸 焦占 八 、八、 Fi(c,0), F2( c,0) Fi(c,0), F2( c,0) 準線 2 ,a x= c 準線垂直于長軸，且在橢圓 外. 2 ,a x= c 準線垂直于實軸，且在兩頂點的 內側. x=-2 2 準線與焦點位于頂點兩側， 且到頂點的距離相等. 焦距 2c (c=Ja2 b2 ) 2c (c=Ja2 b2 ) 離心率 e=1 【備注1】雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線x2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y x，離心率e . 2 . 2 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做

16、已知雙曲線的共軛雙曲線 .A a 2 2 亠L 0. a2 b2 2 2 2 共漸近線的雙曲線系方程：務與(0)的漸近線方程為篤 a ba 2 2 它的雙曲線方程可設為 筈上(0). a b 【備注2】拋物線：(1)拋物線y2 =2 px(p0)的焦點坐標是(衛(wèi)，0) 2 2 2 x y -2 a b 互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線: 2 詁0如果雙曲線的漸近線為I 0時, 準線方程x=-，開口向右；拋物線 2 y2 =-2px(p0)的焦點坐標是(-,0)，準線方程x=，開口向左; 2 2 2 拋物線 x =2py(p0)的焦點坐標是 (0,號)， 準線方程y=-，開口向上; 2 拋物

17、線x2=-2py (p0)的焦點坐標是(0,罟),準線方程 開口向下 2 (2)拋物線y =2px(p0)上的點M(xO,yO)與焦點F的距離 MF Xo p2 ；拋物線y =-2px(p0)上的點 2 M(x0,y0) 與焦點F的距離MF X。 (3)設拋物線的標準方程為 =2px(p0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為 衛(wèi)，頂點到準線的距離 2 衛(wèi)焦占 ) 八 、八、 2 到準線的距離為 p. (4)已知過拋物線 y 2=2px(p0) 焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2), 則弦長AB=X! x2 +p或AB 2p 2 sin (a為

18、直線AB的傾斜角),yy 2 2pp p , x-|x2 ,AF x-i ( AF 42 叫做焦半徑）. 五、坐標的變換: （1） 坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換（如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向）叫做坐標變換.實施 坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程 （2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平 移，簡稱移軸。 ，在新坐標系 x O, y x h 亠 1 x x h 或 y k y y k （3） 坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M,它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y） 中

19、的坐標是（x,y）.設新坐標系的原點 O在原坐標系xOy中的坐標是（h,k），則 y 叫做平移（或移軸）公式 （4）中心或頂點在（h,k）的圓錐曲線方程見下表: 方程 焦占 八、八、 焦線 對稱軸 橢圓 2 2 (x-h) +(y-k) a點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的外角 PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的 b2 ( c+h,k) 2 丄a x= +h c x=h y=k 2 2 (x-h) +(y-k) b2a2 (h, c+k) 2 丄a, y= +k c x=h y=k 雙曲線 2 2 (x-h) _ (y

20、-k) a2b2 ( c+h,k) 2 丄a, x= +k c x=h y=k 2 2 (y -k)(x- h) 2 .2 ab (h, c+h) 2 丄a, y= +k c x=h y=k 拋物線 2 (y-k) =2p(x-h) (-+h,k) 2 x=- +h 2 y=k (y-k) 2=-2p(x-h) (-+h,k) 2 xP +h 2 y=k 2 (x-h) =2p(y-k) (h,衛(wèi) +k) 2 y=- +k 2 x=h 2 (x-h) =-2p(y-k) (h,-衛(wèi) +k) 2 y= +k 2 x=h 六、橢圓的常用結論: 文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯歡迎下載

21、支持 兩個端點. 3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離 4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切 5. 若Po(x,yo)在橢圓 2 X -2 a 2 古1上，則過Po的橢圓的切線方程是a2 XoX yoy 1. 6. 若Po(xo, yo)在橢圓 2 每 1夕卜，則過F0作橢圓的兩條切線切點為 b P、巴 則切點弦PR的直線方程是 XoX a yoy 1. 7. 2 橢圓冷 a (a b 0)的左右焦點分別為 F, F2,點P為橢圓上任意一點 F1PF2 ，則橢圓的焦點 角形的面積為 S F1PF2 b2%. 1 12文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯 2

22、 (a b 0)的焦半徑公式 8. 橢圓篤 a IMF1I a eXo, IMF2 | a eXo( F, c,0) , F2CO) M (x, y). 9. 設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點 F的橢圓準線于 M N兩點，貝U MFL NF. 10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點 P、Q, A1、A為橢圓長軸上的頂點，AP和AQ交于點M AP和AQ 交于點N,貝U MFL NF. 2 2 X y 11. AB是橢圓2 1的不平行于對稱軸的弦，M(xo,yo)為AB的中點，貝U kOM kAB a b K ab b2x a

23、2yo 2 X 12.若 Po(xo, yo)在橢圓 a 2 b 1內，則被Po所平分的中點弦的方程是 XoX yy 2 Xo 2 yo a2 b2 a2 b2 【推論】： 2 2 卄x y 仁右Po(Xo, yo)在橢圓2 a b 1內，則過Po的弦中點的軌跡方程是 2 X 2 a b2 XoX T a yoy b2 2 X 。橢圓一2 a b2 P、Pa時AP與A2P2交點的軌跡方程 (abo)的兩個頂點為 A1( a,o) , A2(a,o),與y軸平行的直線交橢圓于 文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持. x2y 2、 過橢圓 2 1 (a 0, b 0)上任一點

24、A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直 a b 線BC有定向且kBC 咔(常數(shù)) a yo 2 2 X y 3、 若P為橢圓 牙1 (ab 0) 上異于長軸端點的任一點,Fi, F 2是焦點，PF/?,PF2R a b 則-_c tan- cot , a c 22 2 2 X y 4、設橢圓 書 1 (a b 0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PFF2中，記 a b F1PF2 PF1F2 F1F2P ，則有 sin sin sin c e. a 2 5、若橢圓篤 a b2 1 (a b 0)的左、右焦點分別為 F1、F2，左準線為

25、L,則當0vew2 1時，可在橢圓上 20文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯. 求一點P,使得PR是P到對應準線距離 d與PF的比例中項 2 2 X y 6、P為橢圓2 1 (a b0)上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則 a b 2a | AF2 | |PA| |Ph| 2a ARI,當且僅當 代F2,P三點共線時，等號成立 7、橢圓 (x X。)2 2 a 2 (y y)1與直線Ax By C 0有公共點的充要條件是 b2 2 2 B b(Ax 2 By。 C). 2 x 當 M (x, y)在左支上時，MF,eX0a , | MF2 |eX0a。 9、 設過雙曲

26、線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于 焦點F的雙曲線準線于 M N兩點，貝U MF丄NF. MF丄 NF. 10、 過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點 P、Q, A、A為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M, A2P 和AQ交于點N,貝U 2 X 11、AB是雙曲線 a 2 y_ b2 1(a0,b 0)的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y)為AB的中點，則K OM K AB b2Xg y。， 即Kab b X0 。 a y 12、若F0(Xo, yo)在雙曲線 2 古(a,b 0)內，則被Po所平分的中點弦的方程是a2 Xo

27、X 2 X0 b2 a2 2 b2 2 ”X 13、右P0( x0, y0)在雙曲線 a 22 yx 2 1 (a 0,b 0)內，則過Po的弦中點的軌跡方程是2 ba X0X a y0y 2 【推論】：1、雙曲線與 a 2 y 1 (a0,b 0)的兩個頂點為 A( a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線 2 于P1、P2時AR與A2P2交點的軌跡方程是 與 a 2 2、過雙曲線務 a 2 占 1 (a0,b o) 上任一點 A(X0,y)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于 b B,C兩點, 則直線BC有定向且kBC 礬(常數(shù)). a 乂 2 X 3、若P為雙曲線 a 1 (

28、a 0,b 0) 右(或左)支上除頂點外的任一點 ,F 1, F 2是焦點， PF1F2 PF2 F1，則 tan cot (或 2 2 口 tan cot). c a 2 2 X 4、設雙曲線 a 2 y b2 (a0,b 0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點, 在厶PF1F2 中，記 f1pf2 PF1F2 F1F2P ，則有 sinc e. (sin sin ) a 2 2 5、若雙曲線X2 y2 1 (a0,b 0)的左、右焦點分別為 Fi、F2,左準線為L,則當10,b 0) 上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則 b 2 7、雙曲線篤 a2 1 (a 0,b