浙江專用2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題八立體幾何8.5空間向量及其在立體幾何中的應(yīng)用試題含解析

1、8.5空間向量及其在立體幾何中的應(yīng)用基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一用向量法證明平行、垂直1.如圖,四棱錐p-abcd的底面是正方形,pa平面abcd,e,f分別是ab,pd的中點(diǎn),且pa=ad.(1)求證:af平面pec;(2)求證:平面pec平面pcd.證明pa平面abcd,底面abcd為正方形,paab,paad,abad,以a為原點(diǎn),ab,ad,ap所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由已知pa=ad,不妨設(shè)pa=ab=ad=2,則b(2,0,0),p(0,0,2),a(0,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0).(1)f為pd的中點(diǎn),e為ab的中點(diǎn),f(

2、0,1,1),e(1,0,0),pe=(1,0,-2),pc=(2,2,-2).設(shè)平面pec的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1pe=0,n1pc=0,即x1-2z1=0,2x1+2y1-2z1=0,取z1=1,則n1=(2,-1,1),又af=(0,1,1),afn1=0-1+1=0,afn1,af平面pec.(2)pc=(2,2,-2),pd=(0,2,-2).設(shè)平面pcd的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2pc=0,n2pd=0,2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,即x2+y2-z2=0,y2-z2=0,取z2=1,則n2=(0,1,1),又n1=(2,-1,

3、1)是平面pec的一個法向量,n1n2=(2,-1,1)(0,1,1)=0,n1n2,平面pec平面pcd.2.如圖,已知四棱臺abcd-a1b1c1d1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,a1a=6,且a1a底面abcd,點(diǎn)p,q分別在棱dd1,bc上.(1)若p是dd1的中點(diǎn),證明:ab1pq;(2)若pq平面abb1a1,二面角p-qd-a的余弦值為37,求四面體adpq的體積.解析由題設(shè)知,aa1,ab,ad兩兩垂直.以a為坐標(biāo)原點(diǎn),ab,ad,aa1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為a(0,0,0),b1(3,0,6),d(0,6,0

4、),d1(0,3,6),q(6,m,0),其中m=bq,0m6.(1)證明:因?yàn)閜是dd1的中點(diǎn),所以p0,92,3,所以pq=6,m-92,-3.又ab1=(3,0,6),于是ab1pq=18-18=0,所以ab1pq,即ab1pq.(2)由題設(shè)知,dq=(6,m-6,0),dd1=(0,-3,6)是平面pqd內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)n1=(x,y,z)是平面pqd的法向量,則n1dq=0,n1dd1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面aqd的一個法向量是n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=31(6-m)2+62+

5、32=3(6-m)2+45.而二面角p-qd-a的余弦值為37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此時q(6,4,0).設(shè)dp=dd1(01),而dd1=(0,-3,6),由此得點(diǎn)p(0,6-3,6),所以pq=(6,3-2,-6).因?yàn)閜q平面abb1a1,且平面abb1a1的一個法向量是n3=(0,1,0),所以pqn3=0,即3-2=0,亦即=23,從而p(0,4,4).于是,將四面體adpq視為以adq為底面的三棱錐p-adq,則其高h(yuǎn)=4.故四面體adpq的體積v=13sadqh=1312664=24.考點(diǎn)二用向量法求空間角與距離3.在平面四邊形abcd中,

6、ab=bd=cd=1,abbd,cdbd.將abd沿bd折起,使得平面abd平面bcd,如圖.(1)求證:abcd;(2)若m為ad中點(diǎn),求直線ad與平面mbc所成角的正弦值;(3)在(2)的條件下,求點(diǎn)d到平面bmc的距離.解析(1)證明:平面abd平面bcd,平面abd平面bcd=bd,ab平面abd,abbd,ab平面bcd.又cd平面bcd,abcd.(2)過點(diǎn)b在平面bcd內(nèi)作bebd,如圖.由(1)知ab平面bcd,又be平面bcd,bd平面bcd,abbe,abbd.以b為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以be,bd,ba的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,得b(0,0,0

7、),c(1,1,0),d(0,1,0),a(0,0,1),m0,12,12,則bc=(1,1,0),bm=0,12,12,ad=(0,1,-1).設(shè)平面mbc的法向量為n=(x0,y0,z0),則nbc=0,nbm=0,即x0+y0=0,12y0+12z0=0,取z0=1,得平面mbc的一個法向量為n=(1,-1,1).設(shè)直線ad與平面mbc所成角為,則sin =|cos|=|nad|n|ad|=63,即直線ad與平面mbc所成角的正弦值為63.(3)由(2)可知平面mbc的一個法向量為n=(1,-1,1),又bd=(0,1,0),點(diǎn)d到平面bmc的距離為|bdn|n|=13=33.4.如圖,

8、在四棱錐a-efcb中,aef為等邊三角形,平面aef平面efcb,efbc,bc=4,ef=2a,ebc=fcb=60,o為ef的中點(diǎn).(1)求證:aobe;(2)求二面角f-ae-b的余弦值;(3)若be平面aoc,求a的值;(4)在(3)的條件下,求be與af所成角的余弦值.解析(1)證明:因?yàn)閍ef是等邊三角形,o為ef的中點(diǎn),所以aoef.又因?yàn)槠矫鎍ef平面efcb,ao平面aef,所以ao平面efcb.所以aobe.(2)取bc的中點(diǎn)g,連接og.由題意知四邊形efcb是等腰梯形,所以ogef.由(1)知ao平面efcb,又og平面efcb,所以oaog.如圖建立空間直角坐標(biāo)系o

9、-xyz,則e(a,0,0),a(0,0,3a),b(2,3(2-a),0),所以ea=(-a,0,3a),be=(a-2,3(a-2),0).設(shè)平面aeb的法向量為n=(x,y,z),則nea=0,nbe=0,即-ax+3az=0,(a-2)x+3(a-2)y=0.令z=1,則x=3,y=-1.于是n=(3,-1,1).又平面aef的一個法向量為p=(0,1,0).所以cos=np|n|p|=-55.由題設(shè)知二面角f-ae-b為鈍二面角,所以它的余弦值為-55.(3)因?yàn)閎e平面aoc,所以beoc,即beoc=0.因?yàn)閎e=(a-2,3(a-2),0),oc=(-2,3(2-a),0),所

10、以beoc=-2(a-2)-3(a-2)2.由beoc=0及0a2,解得a=43.(4)由(3)可知a0,0,433,f-43,0,0,e43,0,0,b2,233,0,af=-43,0,-433,be=-23,-233,0,cos=afbe|af|be|=898343=14,be與af所成角的余弦值為14.綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一求異面直線所成角的方法1.(2017課標(biāo),10,5分)已知直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=120,ab=2,bc=cc1=1,則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為()a.32b.155c.105d.33答案c2.(2019吉林長春外國語學(xué)校一模,

11、15)如圖所示,平面bcc1b1平面abc,abc=120,四邊形bcc1b1為正方形,且ab=bc=2,則異面直線bc1與ac所成角的余弦值為.答案64考法二求直線與平面所成角的方法3.(2018江蘇,22,10分)如圖,在正三棱柱abc-a1b1c1中,ab=aa1=2,點(diǎn)p,q分別為a1b1,bc的中點(diǎn).(1)求異面直線bp與ac1所成角的余弦值;(2)求直線cc1與平面aqc1所成角的正弦值.解析如圖,在正三棱柱abc-a1b1c1中,設(shè)ac,a1c1的中點(diǎn)分別為o,o1,則oboc,oo1oc,oo1ob,以ob,oc,oo1為基底,建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz.因?yàn)閍b=aa1=2

12、,所以a(0,-1,0),b(3,0,0),c(0,1,0),a1(0,-1,2),b1(3,0,2),c1(0,1,2).(1)因?yàn)閜為a1b1的中點(diǎn),所以p32,-12,2.從而bp=-32,-12,2,ac1=(0,2,2).故|cos|=|bpac1|bp|ac1|=|-1+4|522=31020.因此,異面直線bp與ac1所成角的余弦值為31020.(2)因?yàn)閝為bc的中點(diǎn),所以q32,12,0,因此aq=32,32,0,ac1=(0,2,2),cc1=(0,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面aqc1的一個法向量,則 aqn=0,ac1n=0,即32x+32y=0,2y+2z=0.

13、不妨取n=(3,-1,1).設(shè)直線cc1與平面aqc1所成角為,則sin =|cos|=|cc1n|cc1|n|=252=55,所以直線cc1與平面aqc1所成角的正弦值為55.4.(2018湖北八校4月聯(lián)考,18)如圖,四邊形abcd與bdef均為菱形,fa=fc,且dab=dbf=60.(1)求證:ac平面bdef;(2)求直線ad與平面abf所成角的正弦值.解析(1)證明:設(shè)ac與bd相交于點(diǎn)o,連接fo,四邊形abcd為菱形,acbd,且o為ac中點(diǎn),fa=fc,acfo,又fobd=o,ac平面bdef.(5分)(2)連接df,四邊形bdef為菱形,且dbf=60,dbf為等邊三角形

14、,o為bd的中點(diǎn),fobd,又acfo,acbd=o,fo平面abcd.oa,ob,of兩兩垂直,可建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz,如圖所示.(7分)設(shè)ab=2,四邊形abcd為菱形,dab=60,bd=2,ac=23.dbf為等邊三角形,of=3.a(3,0,0),b(0,1,0),d(0,-1,0),f(0,0,3),ad=(-3,-1,0),af=(-3,0,3),ab=(-3,1,0).設(shè)平面abf的法向量為n=(x,y,z),則afn=-3x+3z=0,abn=-3x+y=0,取x=1,得n=(1,3,1).(10分)設(shè)直線ad與平面abf所成角為,則sin =|cos|=|adn|a

15、d|n|=155.(12分)考法三求二面角的方法5.(2018廣東茂名模擬,18)如圖,在矩形abcd中,cd=2,bc=1,e,f是平面abcd同一側(cè)的兩點(diǎn),eafc,aeab,ea=2,de=5,fc=1.(1)證明:平面cdf平面ade;(2)求二面角e-bd-f的正弦值.解析(1)證明:四邊形abcd是矩形,cdad.aeab,cdab,cdae.又adae=a,cd平面ade.cd平面cdf,平面cdf平面ade.(2)ad=bc=1,ea=2,de=5,de2=ad2+ae2,aead.又aeab,abad=a,ae平面abcd.以d為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xy

16、z,則d(0,0,0),b(1,2,0),f(0,2,1),e(1,0,2).db=(1,2,0),df=(0,2,1),設(shè)平面bdf的法向量為m=(x,y,z),mdb=x+2y=0,mdf=2y+z=0,令x=2,得m=(2,-1,2).同理可求得平面bde的一個法向量為n=(2,-1,-1),cos=mn|m|n|=336=66,sin=306.故二面角e-bd-f的正弦值為306.6.(2019河北石家莊4月模擬,18)如圖,已知三棱錐p-abc中,pcab,abc是邊長為2的正三角形,pb=4,pbc=60.(1)證明:平面pac平面abc;(2)設(shè)f為棱pa的中點(diǎn),求二面角p-bc

17、-f的余弦值.解析(1)證明:在pbc中,pbc=60,bc=2,pb=4,由余弦定理可得pc=23,pc2+bc2=pb2,pcbc,(2分)又pcab,abbc=b,pc平面abc,pc平面pac,平面pac平面abc.(4分)(2)在平面abc中,過點(diǎn)c作cmca,以ca,cm,cp所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系c-xyz(圖略).則c(0,0,0),p(0,0,23),a(2,0,0),b(1,3,0),f(1,0,3).(6分)設(shè)平面pbc的法向量為m=(x1,y1,z1),則cbm=x1+3y1=0,cpm=23z1=0,z1=0,取y1=-1,則x1=3,即m

18、=(3,-1,0)為平面pbc的一個法向量.(8分)設(shè)平面bcf的法向量為n=(x2,y2,z2),則cbn=x2+3y2=0,cfn=x2+3z2=0,取x2=3,則y2=-1,z2=-1,即n=(3,-1,-1)為平面bcf的一個法向量,(10分)cos=mn|m|n|=3+1+02(3)2+(-1)2+(-1)2=255.由題圖可知二面角p-bc-f為銳二面角,故二面角p-bc-f的余弦值為255.(12分)應(yīng)用篇知行合一【應(yīng)用集訓(xùn)】1.(2018天津十二校4月聯(lián)考,17)如圖,四邊形abcd是邊長為3的正方形,平面adef平面abcd,afde,adde,af=26,de=36.(1)

19、求證:平面ace平面bed;(2)求直線ca與平面bef所成角的正弦值;(3)在線段af上是否存在點(diǎn)m,使得二面角m-be-d的大小為60?若存在,求出amaf的值;若不存在,說明理由.解析(1)證明:因?yàn)槠矫鎍def平面abcd,平面adef平面abcd=ad,de平面adef,dead,所以de平面abcd.(2分)又因?yàn)閍c平面abcd,所以deac.因?yàn)樗倪呅蝍bcd是正方形,所以acbd,又因?yàn)閐ebd=d,de平面bed,bd平面bed,所以ac平面bde.(3分)又因?yàn)閍c平面ace,所以平面ace平面bed.(4分)(2)因?yàn)閐edc,dead,addc,所以建立空間直角坐標(biāo)系

20、d-xyz如圖所示.則a(3,0,0),f(3,0,26),e(0,0,36),b(3,3,0),c(0,3,0),(5分)所以ca=(3,-3,0),be=(-3,-3,36),ef=(3,0,-6).設(shè)平面bef的法向量為n=(x1,y1,z1).則nbe=0,nef=0,即-3x1-3y1+36z1=0,3x1-6z1=0,令x1=6,則y1=26,z1=3,則n=(6,26,3).(6分)所以cos=can|ca|n|=-363239=-1313.(7分)所以直線ca與平面bef所成角的正弦值為1313.(8分)(3)存在,理由如下:設(shè)m(3,0,t),0t26.(9分)則bm=(0,

21、-3,t),be=(-3,-3,36).設(shè)平面mbe的法向量為m=(x2,y2,z2),則mbm=0,mbe=0,即-3y2+tz2=0,-3x2-3y2+36z2=0,令y2=t,則z2=3,x2=36-t,則m=(36-t,t,3).(10分)又ca=(3,-3,0)是平面bde的一個法向量,|cos|=|mca|m|ca|=|96-6t|32(36-t)2+t2+9=12,(11分)整理得2t2-66t+15=0,解得t=62或t=562(舍去),(12分)amaf=14.(13分)2.(2019安徽六安一中4月月考,18)如圖1,在rtabc中,c=90,bc=3,ac=6,d,e分別

22、是ac,ab上的點(diǎn),且debc,de=2,將ade沿de折起到a1de的位置,使a1ccd,如圖2.(1)若m是a1d的中點(diǎn),求直線cm與平面a1be所成角的大小;(2)線段bc上是否存在點(diǎn)p,使平面a1dp與平面a1be垂直?說明理由.解析(1)由折疊的性質(zhì)得cdde,a1dde,又cda1d=d,de平面a1cd.又a1c平面a1cd,a1cde,又a1ccd,cdde=d,a1c平面bcde.(3分)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則c(0,0,0),d(-2,0,0),a1(0,0,23),e(-2,2,0),b(0,3,0),a1b=(0,3,-23),a1e=(-2,2,-23),設(shè)

23、平面a1be的法向量為n=(x,y,z),則a1bn=0,a1en=0,3y-23z=0,-2x+2y-23z=0,取z=3,則x=-1,y=2,n=(-1,2,3).(5分)又m(-1,0,3),cm=(-1,0,3),cos=cmn|cm|n|=1+31+4+31+3=22.cm與平面a1be所成角的大小為45.(6分)(2)假設(shè)線段bc上存在點(diǎn)p滿足條件,設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a,0),則a0,3,a1p=(0,a,-23),dp=(2,a,0),設(shè)平面a1dp的法向量為n1=(x1,y1,z1),則ay1-23z1=0,2x1+ay1=0,取y1=6,則x1=-3a,z1=3a,n1=(-

24、3a,6,3a).(9分)若平面a1dp與平面a1be垂直,則n1n=0,3a+12+3a=0,即6a=-12,a=-2,0a3,a=-2舍去.線段bc上不存在點(diǎn)p,使平面a1dp與平面a1be垂直.(12分)【五年高考】考點(diǎn)一用向量法證明平行、垂直1.(2018天津,17,13分)如圖,adbc且ad=2bc,adcd,egad且eg=ad,cdfg且cd=2fg,dg平面abcd,da=dc=dg=2.(1)若m為cf的中點(diǎn),n為eg的中點(diǎn),求證:mn平面cde;(2)求二面角e-bc-f的正弦值;(3)若點(diǎn)p在線段dg上,且直線bp與平面adge所成的角為60,求線段dp的長.解析本題主

25、要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.依題意,可以建立以d為原點(diǎn),分別以da,dc,dg的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得d(0,0,0),a(2,0,0),b(1,2,0),c(0,2,0),e(2,0,2),f(0,1,2),g(0,0,2),m0,32,1,n(1,0,2).(1)證明:依題意得dc=(0,2,0),de=(2,0,2).設(shè)n0=(x0,y0,z0)為平面cde的法向量,則n0dc=0,n0de=0,即2y0=0,2x0+2z0=0,不妨令

26、z0=-1,可得n0=(1,0,-1).又mn=1,-32,1,可得mnn0=0,又因?yàn)橹本€mn平面cde,所以mn平面cde.(2)依題意,可得bc=(-1,0,0),be=(1,-2,2),cf=(0,-1,2).設(shè)n=(x1,y1,z1)為平面bce的法向量,則nbc=0,nbe=0,即-x1=0,x1-2y1+2z1=0,不妨令z1=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x2,y2,z2)為平面bcf的法向量,則mbc=0,mcf=0,即-x2=0,-y2+2z2=0,不妨令z2=1,可得m=(0,2,1).因此有cos=mn|m|n|=31010,于是sin=1010.所以,二面角e-

27、bc-f的正弦值為1010.(3)設(shè)線段dp的長為h(h0,2),則點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,0,h),可得bp=(-1,-2,h).易知,dc=(0,2,0)為平面adge的一個法向量,故|cos|=|bpdc|bp|dc|=2h2+5,由題意,可得2h2+5=sin 60=32,解得h=330,2.所以,線段dp的長為33.方法歸納利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟(1)審清題意并建系,利用條件分析問題,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合建系過程與圖形,準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)確定直線的方向向量和平面的法向量,利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向量,若已知某

28、直線垂直某平面,可直接取該直線的方向向量為該平面的法向量;(4)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系,空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題去論證、求解;(5)問題還原,結(jié)合條件與圖形,作出結(jié)論(注意角的范圍).2.(2017天津,17,13分)如圖,在三棱錐p-abc中,pa底面abc,bac=90.點(diǎn)d,e,n分別為棱pa,pc,bc的中點(diǎn),m是線段ad的中點(diǎn),pa=ac=4,ab=2.(1)求證:mn平面bde;(2)求二面角c-em-n的正弦值;(3)已知點(diǎn)h在棱pa上,且直線nh與直線be所成角的余弦值為721,求線段ah的長.解析本題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基

29、礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.如圖,以a為原點(diǎn),分別以ab,ac,ap方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得a(0,0,0),b(2,0,0),c(0,4,0),p(0,0,4),d(0,0,2),e(0,2,2),m(0,0,1),n(1,2,0).(1)證明:de=(0,2,0),db=(2,0,-2).設(shè)n=(x,y,z)為平面bde的法向量,則nde=0,ndb=0,即2y=0,2x-2z=0.不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又mn=(1,2,-1),可得mnn=0.因?yàn)閙n平面bde,所以mn平面

30、bde.(2)易知n1=(1,0,0)為平面cem的一個法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面emn的法向量,則n2em=0,n2mn=0.因?yàn)閑m=(0,-2,-1),mn=(1,2,-1),所以-2y-z=0,x+2y-z=0.不妨設(shè)y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-421,于是sin=10521.所以,二面角c-em-n的正弦值為10521.(3)依題意,設(shè)ah=h(0h4),則h(0,0,h),進(jìn)而可得nh=(-1,-2,h),be=(-2,2,2).由已知,得|cos|=|nhbe|nh|be|=|2h-2|h2+523=721,整理得10h

31、2-21h+8=0,解得h=85或h=12.所以,線段ah的長為85或12.方法總結(jié)利用空間向量法證明線面位置關(guān)系與計算空間角的步驟:(1)根據(jù)題目中的條件,充分利用垂直關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,盡量使相關(guān)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求出相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量,根據(jù)題目的要求,選擇適當(dāng)?shù)墓?將相關(guān)的坐標(biāo)代入進(jìn)行求解或證明;(3)檢驗(yàn),得出最后結(jié)論.3.(2016課標(biāo),19,12分)如圖,四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,adbc,ab=ad=ac=3,pa=bc=4,m為線段ad上一點(diǎn),am=2md,n為pc的中點(diǎn).(1)證明mn平面pab;(2)求直線a

32、n與平面pmn所成角的正弦值.解析(1)證明:由已知得am=23ad=2.取bp的中點(diǎn)t,連接at,tn,由n為pc的中點(diǎn)知tnbc,tn=12bc=2.(3分)又adbc,故tnam,故四邊形amnt為平行四邊形,于是mnat.因?yàn)閍t平面pab,mn平面pab,所以mn平面pab.(6分)(2)取bc的中點(diǎn)e,連接ae.由ab=ac得aebc,從而aead,且ae=ab2-be2=ab2-bc22=5.以a為坐標(biāo)原點(diǎn),ae的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a-xyz.由題意知,p(0,0,4),m(0,2,0),c(5,2,0),n52,1,2,pm=(0,2,-4),pn=

33、52,1,-2,an=52,1,2.設(shè)n=(x,y,z)為平面pmn的法向量,則npm=0,npn=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0,(10分)可取n=(0,2,1).于是|cos|=|nan|n|an|=8525.即直線an與平面pmn所成角的正弦值為8525.(12分)4.(2019浙江,19,15分)如圖,已知三棱柱abc-a1b1c1,平面a1acc1平面abc,abc=90,bac=30,a1a=a1c=ac,e,f分別是ac,a1b1的中點(diǎn).(1)證明:efbc;(2)求直線ef與平面a1bc所成角的余弦值.解析(1)證明:連接a1e,因?yàn)閍1a=a1c,e是ac的中點(diǎn),

34、所以a1eac.又平面a1acc1平面abc,a1e平面a1acc1,平面a1acc1平面abc=ac,所以,a1e平面abc.如圖,以點(diǎn)e為原點(diǎn),分別以射線ec,ea1為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系e-xyz.不妨設(shè)ac=4,則a1(0,0,23),b(3,1,0),b1(3,3,23),f32,32,23,c(0,2,0).因此,ef=32,32,23,bc=(-3,1,0).由efbc=0得efbc.(2)設(shè)直線ef與平面a1bc所成角為.由(1)可得bc=(-3,1,0),a1c=(0,2,-23).設(shè)平面a1bc的法向量為n=(x,y,z).由bcn=0,a1cn=0,得-3

35、x+y=0,y-3z=0.取n=(1,3,1),故sin =|cos|=|efn|ef|n|=45.因此,直線ef與平面a1bc所成的角的余弦值為35.評析本題主要考查面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面角的求解、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,在建立空間直角坐標(biāo)系之前,應(yīng)有必要的證明過程,保證從e引發(fā)的三條直線兩兩垂直.在利用直接法求線面角時,一定先“找角”,再“求角”.5.(2018課標(biāo),20,12分)如圖,在三棱錐p-abc中,ab=bc=22,pa=pb=pc=ac=4,o為ac的中點(diǎn).(1)證明:po平面abc;(2)若點(diǎn)m在棱bc上,且二面角m-pa-c為30,求pc與平面pam所成角的

36、正弦值.解析(1)證明:因?yàn)閍p=cp=ac=4,o為ac的中點(diǎn),所以opac,且op=23.連接ob.因?yàn)閍b=bc=22ac,所以abc為等腰直角三角形,且obac,ob=12ac=2.由op2+ob2=pb2知poob.由opob,opac,obac=o,知po平面abc.(2)如圖,以o為坐標(biāo)原點(diǎn),ob的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz.由已知得o(0,0,0),b(2,0,0),a(0,-2,0),c(0,2,0),p(0,0,23),ap=(0,2,23).取平面pac的法向量ob=(2,0,0).設(shè)m(a,2-a,0)(0a2),則am=(a,4-a,0).設(shè)平面p

37、am的法向量為n=(x,y,z).由apn=0,amn=0得2y+23z=0,ax+(4-a)y=0,可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos=23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2.由已知可得|cos|=32.所以23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2=32.解得a=-4(舍去)或a=43.所以n=-833,433,-43.又pc=(0,2,-23),所以cos=34.所以pc與平面pam所成角的正弦值為34.考點(diǎn)二用向量法求空間角與距離6.(2019課標(biāo),18,12分)如圖,直四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面是菱形,aa1=4,ab=2,bad=60,e,m,n分

38、別是bc,bb1,a1d的中點(diǎn).(1)證明:mn平面c1de;(2)求二面角a-ma1-n的正弦值.解析本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的性質(zhì)定理,二面角求解等知識點(diǎn);旨在考查學(xué)生的空間想象能力;以直四棱柱為模型考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)證明:連接b1c,me.因?yàn)閙,e分別為bb1,bc的中點(diǎn),所以meb1c,且me=12b1c.又因?yàn)閚為a1d的中點(diǎn),所以nd=12a1d.由題設(shè)知a1b1dc,可得b1ca1d,故mend,因此四邊形mnde為平行四邊形,mned.又mn平面edc1,所以mn平面c1de.(2)由已知可得deda.以d為坐標(biāo)原點(diǎn),da的方向

39、為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xyz,則a(2,0,0),a1(2,0,4),m(1,3,2),n(1,0,2),a1a=(0,0,-4),a1m=(-1,3,-2),a1n=(-1,0,-2),mn=(0,-3,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面a1ma的法向量,則ma1m=0,ma1a=0.所以-x+3y-2z=0,-4z=0.可取m=(3,1,0).設(shè)n=(p,q,r)為平面a1mn的法向量,則nmn=0,na1n=0.所以-3q=0,-p-2r=0.可取n=(2,0,-1).于是cos=mn|m|n|=2325=155,所以二面角a-ma1-n的正弦值為105.7.(20

40、19課標(biāo),19,12分)圖1是由矩形adeb,rtabc和菱形bfgc組成的一個平面圖形,其中ab=1,be=bf=2,fbc=60.將其沿ab,bc折起使得be與bf重合,連接dg,如圖2.(1)證明:圖2中的a,c,g,d四點(diǎn)共面,且平面abc平面bcge;(2)求圖2中的二面角b-cg-a的大小.解析本題主要考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的計算;本題還考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力;通過平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化,考查了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)證明:由已知得adbe,cgbe,所以adcg,故ad,cg確定一個平面,從而a,c,g,d四點(diǎn)共面.由已知

41、得abbe,abbc,故ab平面bcge.又因?yàn)閍b平面abc,所以平面abc平面bcge.(2)作ehbc,垂足為h.因?yàn)閑h平面bcge,平面bcge平面abc,所以eh平面abc.由已知,菱形bcge的邊長為2,ebc=60,可求得bh=1,eh=3.以h為坐標(biāo)原點(diǎn),hc的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系h-xyz,則a(-1,1,0),c(1,0,0),g(2,0,3),cg=(1,0,3),ac=(2,-1,0).設(shè)平面acgd的法向量為n=(x,y,z),則cgn=0,acn=0,即x+3z=0,2x-y=0.所以可取n=(3,6,-3).又平面bcge的法向量可取

42、為m=(0,1,0),所以cos=nm|n|m|=32.因此二面角b-cg-a的大小為30.思路分析(1)利用折疊前后ad與be平行關(guān)系不變,可得adcg,進(jìn)而可得a、c、g、d四點(diǎn)共面.由折疊前后不變的位置關(guān)系可得abbe,abbc,從而ab平面bcge,由面面垂直的判定定理可得結(jié)論成立.(2)由(1)可得eh平面abc.以h為坐標(biāo)原點(diǎn),hc的方向?yàn)閤軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量,進(jìn)而求得二面角b-cg-a的大小.8.(2018課標(biāo),19,12分)如圖,邊長為2的正方形abcd所在的平面與半圓弧cd所在平面垂直,m是cd上異于c,d的點(diǎn).(1)證明:平面amd平面bmc;

43、(2)當(dāng)三棱錐m-abc體積最大時,求面mab與面mcd所成二面角的正弦值.解析本題考查面面垂直的判定、二面角的計算、空間向量的應(yīng)用.(1)證明:由題設(shè)知,平面cmd平面abcd,交線為cd.因?yàn)閎ccd,bc平面abcd,所以bc平面cmd,故bcdm.因?yàn)閙為cd上異于c,d的點(diǎn),且dc為直徑,所以dmcm.又bccm=c,所以dm平面bmc.而dm平面amd,故平面amd平面bmc.(2)以d為坐標(biāo)原點(diǎn),da的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xyz.當(dāng)三棱錐m-abc體積最大時,m為cd的中點(diǎn).由題設(shè)得d(0,0,0),a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0

44、),m(0,1,1),am=(-2,1,1),ab=(0,2,0),da=(2,0,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面mab的法向量,則nam=0,nab=0,即-2x+y+z=0,2y=0,可取n=(1,0,2).da是平面mcd的法向量,因此cos=nda|n|da|=55,sin=255.所以面mab與面mcd所成二面角的正弦值是255.解后反思一、面面垂直的判定在證明兩平面垂直時,一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.二、利用向量求二面角問題的常見類型及解題方法1.求空間中二面角的大小,可根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求出二面角的兩個面所

45、在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.2.給出二面角的大小求解或證明相關(guān)問題,可利用求解二面角的方法列出相關(guān)的關(guān)系式,再根據(jù)實(shí)際問題求解.9.(2017課標(biāo),19,12分)如圖,四棱錐p-abcd中,側(cè)面pad為等邊三角形且垂直于底面abcd,ab=bc=12ad,bad=abc=90,e是pd的中點(diǎn).(1)證明:直線ce平面pab;(2)點(diǎn)m在棱pc上,且直線bm與底面abcd所成角為45,求二面角m-ab-d的余弦值.解析本題考查了線面平行的證明和線面角、二面角的計算.(1)證明:取pa的中點(diǎn)f,連接ef,bf.因?yàn)閑

46、是pd的中點(diǎn),所以efad,ef=12ad.由bad=abc=90得bcad,又bc=12ad,所以efbc,則四邊形bcef是平行四邊形,所以cebf,又bf平面pab,ce平面pab,故ce平面pab.(2)由已知得baad,以a為坐標(biāo)原點(diǎn),ab的方向?yàn)閤軸正方向,|ab|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a-xyz,則a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,1,0),p(0,1,3),pc=(1,0,-3),ab=(1,0,0).設(shè)m(x,y,z)(0x1),則bm=(x-1,y,z),pm=(x,y-1,z-3).因?yàn)閎m與底面abcd所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面

47、abcd的法向量,所以|cos|=sin 45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又m在棱pc上,設(shè)pm=pc,則x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),或x=1-22,y=1,z=62,所以m1-22,1,62,從而am=1-22,1,62.設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面abm的法向量,則mam=0,mab=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.易知所求二面角為銳角.因此二面角m-ab-d的余弦值為105.方法總結(jié)本題涉及直線與平面所成的角

48、和二面角,它們是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),解決此類題時常利用向量法,解題關(guān)鍵是求平面的法向量,再由向量的夾角公式求解.解題關(guān)鍵由線面角為45求點(diǎn)m的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.10.(2016浙江,17,15分)如圖,在三棱臺abc-def中,平面bcfe平面abc,acb=90,be=ef=fc=1,bc=2,ac=3.(1)求證:bf平面acfd;(2)求二面角b-ad-f的平面角的余弦值.解析(1)證明:延長ad,be,cf相交于一點(diǎn)k,如圖所示.因?yàn)槠矫鎎cfe平面abc,且acbc,所以,ac平面bck,因此,bfac.又因?yàn)閑fbc,be=ef=fc=1,bc=2,所以bck為等邊三角形,且f為ck

49、的中點(diǎn),則bfck.所以bf平面acfd.(2)由(1)知bck為等邊三角形.取bc的中點(diǎn)o,連接ko,則kobc,又平面bcfe平面abc,所以,ko平面abc.以點(diǎn)o為原點(diǎn),分別以射線ob,ok的方向?yàn)閤,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz.由題意得b(1,0,0),c(-1,0,0),k(0,0,3),a(-1,-3,0),e12,0,32,f-12,0,32.因此,ac=(0,3,0),ak=(1,3,3),ab=(2,3,0).設(shè)平面ack的法向量為m=(x1,y1,z1),平面abk的法向量為n=(x2,y2,z2).由acm=0,akm=0得3y1=0,x1+3

50、y1+3z1=0,取m=(3,0,-1);由abn=0,akn=0得2x2+3y2=0,x2+3y2+3z2=0,取n=(3,-2,3).于是,cos=mn|m|n|=34.又易知二面角b-ad-f為銳二面角,所以,二面角b-ad-f的平面角的余弦值為34.方法總結(jié)若二面角的平面角為,兩半平面的法向量分別為n1和n2,則|cos |=|cos|,要求cos 的值,還需結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,進(jìn)而決定cos =|cos|,還是cos =-|cos|.評析本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.11.(2017山東,17,12分)

51、如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形abcd(及其內(nèi)部)以ab邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的,g是df的中點(diǎn).(1)設(shè)p是ce上的一點(diǎn),且apbe,求cbp的大小;(2)當(dāng)ab=3,ad=2時,求二面角e-ag-c的大小.解析(1)因?yàn)閍pbe,abbe,ab,ap平面abp,abap=a,所以be平面abp,又bp平面abp, 所以bebp,又ebc=120,因此cbp=30.(2)解法一:以b為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以be,bp,ba所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得a(0,0,3),e(2,0,0),g(1,3,3),c(-1,3,0),故ae=(2,0,-3

52、),ag=(1,3,0),cg=(2,0,3),設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面aeg的法向量.由mae=0,mag=0可得2x1-3z1=0,x1+3y1=0.取z1=2,可得平面aeg的一個法向量m=(3,-3,2).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面acg的法向量.由nag=0,ncg=0可得x2+3y2=0,2x2+3z2=0.取z2=-2,可得平面acg的一個法向量n=(3,-3,-2).所以cos=mn|m|n|=12.易知所求角為銳二面角,因此所求的角為60.解法二:取ec的中點(diǎn)h,連接eh,gh,ch.因?yàn)閑bc=120,所以四邊形behc為菱形,所以ae=ge=ac=gc=32

53、+22=13.取ag的中點(diǎn)m,連接em,cm,ec,則emag,cmag,所以emc為所求二面角的平面角.又am=1,所以em=cm=13-1=23.在bec中,由于ebc=120,由余弦定理得ec2=22+22-222cos 120=12,所以ec=23,因此emc為等邊三角形,故所求的角為60.12.(2015課標(biāo),19,12分)如圖,長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,點(diǎn)e,f分別在a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4.過點(diǎn)e,f的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線af與平面所成角的正弦值.解析(1)交線圍成的正方形ehgf如圖:(2)作emab,垂足為m,則am=a1e=4,em=aa1=8.因?yàn)閑hgf為正方形,所以eh=ef=bc=10.于是mh=eh2-em2=6,所以ah=10.以d為坐標(biāo)原點(diǎn),da的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xyz,則a(10,0,0),h(10,10,0),e(10,4,8),f(0,4,8),fe=(10,0,