用二分法求方程的近似解

1、教學目標教學目標： 教學重點教學重點：用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 教學難點教學難點：二分法求方程近似解的算法二分法求方程近似解的算法 掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助計掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助計 算機或計算器求方程的近似解；理解二分法求方程近算機或計算器求方程的近似解；理解二分法求方程近 似解的算法原理，進一步理解函數(shù)與方程的關(guān)系；似解的算法原理，進一步理解函數(shù)與方程的關(guān)系； 培養(yǎng)學生利用現(xiàn)代信息技術(shù)和計算工具的能力；培養(yǎng)學生利用現(xiàn)代信息技術(shù)和計算工具的能力； 培養(yǎng)學生探究問題的能力與合作交流的精神，以及辯培養(yǎng)學生探究問題的能力與合作交流的精神，以及辯

2、 證思維的能力；證思維的能力； 鼓勵學生大膽探索，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，鼓勵學生大膽探索，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣， 培養(yǎng)學生探尋和欣賞數(shù)學美，形成正確的數(shù)學觀培養(yǎng)學生探尋和欣賞數(shù)學美，形成正確的數(shù)學觀. . 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 中學電視臺中學電視臺 “幸運幸運52”錄制現(xiàn)場錄制現(xiàn)場 有獎競猜有獎競猜 問題情境問題情境( (提出問題提出問題) ) 請同學們猜一猜某物品的價格請同學們猜一猜某物品的價格 問題問題1能否求解以下幾個方程能否求解以下幾個方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0 問題問題2不解方程不解方程,能否求出方程

3、能否求出方程(2)的近似解？的近似解？ 指出：指出：用配方法可求得方程用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，的解， 但此法不能運用于解另外兩個方程但此法不能運用于解另外兩個方程. 學生活動學生活動 意義建構(gòu)意義建構(gòu)( (體驗數(shù)學、感知數(shù)學體驗數(shù)學、感知數(shù)學) ) 由圖可知：方程由圖可知：方程x2-2x-1=0 的一個根的一個根x1在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)，內(nèi)， 另一個根另一個根x2在區(qū)間在區(qū)間(- -1,0) 內(nèi)內(nèi) x y 1 2 03 y=x2-2x-1 -1 畫出畫出y=x2-2x-1的圖象的圖象(如圖如圖) 結(jié)論：借助函數(shù)結(jié)論：借助函數(shù) f(x)= x2- -2x- -1的圖象，我們

4、的圖象，我們 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn) f(2)=- -10，這表明此函數(shù)圖象，這表明此函數(shù)圖象 在區(qū)間在區(qū)間(2, 3)上穿過上穿過x軸一次，可得出方程在區(qū)軸一次，可得出方程在區(qū) 間間(2,3)上有惟一解上有惟一解. 問題問題3不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x2- -2x- -1=0的的 一個正的近似解（精確到一個正的近似解（精確到0.1）? 思考思考：如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間？：如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間？ 由于2.375與2.4375的近似值都為 2.4,停止操作,所求近似解為2.4。 數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微！數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微！ 2 - 3 + x y 1 2

5、03 y=x2-2x-1 -1 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 2.375 - 2 - 3 + 2.25 - 2.5 + 2.375 - 2.4375 + 2 - 2.5 + 3 + 232.5 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 22.5 2.25 由于2.375與2.4375的近似值都為 2.4,停止操作,所求近似解為2.4。 1簡述上述求方程近似解的過程 x1(2,3) f(2)0 x1(2,2.5) f(2)0 x1(2.25,2.5) f(2.25)0 x1(2.375,2.5) f(2.375)0 x1(2.375,2.4375) f(2.375)0 f(2.5)=

6、0.250 f(2.25)= -0.43750 f(2.375)= -0.23510 通過自己的語言表達，有助于對概念、方法的理解! 2.375與2.4375的近似值都是2.4, x12.4 解：設f (x)=x2-2x-1，x1為其正的零點 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷，且上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0 的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所的零點所 在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近 零點，進而得到零點零點，進而得到零點(或?qū)匠痰母驅(qū)匠痰母?近似解的近似解的 方法叫做二分法方法叫做二分法

7、 數(shù)學理論( (建立數(shù)學建立數(shù)學) ) 問題問題5：二分法實質(zhì)是什么？：二分法實質(zhì)是什么？ 用二分法求方程的近似解，實質(zhì)上就是通用二分法求方程的近似解，實質(zhì)上就是通 過過“取中點取中點”的方法，運用的方法，運用“逼近思想逐步縮逼近思想逐步縮 小零點所在的區(qū)間。小零點所在的區(qū)間。 問題問題4 4如何描述二分法？如何描述二分法？ 例題：利用計算器，求方程例題：利用計算器，求方程2x=4- -x的近似解的近似解 （精確到（精確到0.1） 怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？ 在同一坐標系內(nèi)畫函數(shù)在同一坐標系內(nèi)畫函數(shù) y=2x 與與y=4- -x的圖象（如圖）的圖象（如圖） 能否不

8、畫圖確定根所在的區(qū)間？能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？ 方程有一個解方程有一個解x0(0, 4) 如果畫得很準確，可得如果畫得很準確，可得x0(1, 2) 數(shù)學運用數(shù)學運用(應用數(shù)學應用數(shù)學) 解：設函數(shù)解：設函數(shù) f (x)=2x+x- -4 則則f (x)在在r上是增函數(shù)上是增函數(shù)f (0)= - -30 f (x)在在(0,2)內(nèi)有惟一零點，內(nèi)有惟一零點， 方程方程2x+x- -4 =0在在(0, 2)內(nèi)有惟一解內(nèi)有惟一解x0. 由由f (1)= -10 得：得：x0(1,2) 由由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10 得：得：x0(1,1.5) 由由f (1.25)= - -

9、0.370 得：得：x0(1.25,1.5) 由由f (1.375)= - -0.0310 得：得：x0(1.375,1.5) 由由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0 得：得： x0(1.375,1.4375) 1.375與與1.4375的近似值都是的近似值都是1.4, x01.4 問題問題6：能否給出二分法求解方程：能否給出二分法求解方程f(x)=0(或或 g(x)=h(x)近似解的基本步驟？近似解的基本步驟？ 1利用利用yf(x)的圖象，或函數(shù)賦值法的圖象，或函數(shù)賦值法(即驗證即驗證 f (a)f(b)0 )，判斷近似解所在的區(qū)間，判斷近似解所在的區(qū)間(a, b

10、). ； 2“二分二分”解所在的區(qū)間，即取區(qū)間解所在的區(qū)間，即取區(qū)間(a, b) 的中點的中點 2 1 ba x 3計算計算f (x1)： (1)若若f (x1)0，則，則x0 x1； (2)若若f (a)f(x1)0，則令，則令bx1 (此時此時x0(a, x1); (3)若若f (a)f(x1)0，則令，則令ax1 (此時此時x0(x1,b). ； 4判斷是否達到給定的精確度，若達到，則判斷是否達到給定的精確度，若達到，則 得出近似解；若未達到，則重復步驟得出近似解；若未達到，則重復步驟24 練習練習1： 求方程求方程x3+3x-1=0的一個近似解的一個近似解(精確到精確到 0.01) 畫

11、畫y=x3+3x-1的圖象比較困難，的圖象比較困難， 變形變形為為x3=1-3x，畫兩個函數(shù)的圖象如何？，畫兩個函數(shù)的圖象如何？ 知識拓展知識拓展 介紹如何利用介紹如何利用excel來來 幫助研究方程的近似解？幫助研究方程的近似解？ x y 10 y=1-3x y=x3 1 有惟一解有惟一解x0(0,1) excel 練習練習2: 下列函數(shù)的圖象與下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點軸均有交點,其中不能其中不能 用二分法求其零點的是用二分法求其零點的是 （ ）c x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 問題問題7:根據(jù)練習根據(jù)練習2，請思考利用二分法求函數(shù)，請思考利用二分法求函數(shù) 零點的條件是

12、什么？零點的條件是什么？ 1. 函數(shù)函數(shù)y=f (x)在在a,b上連續(xù)不斷上連續(xù)不斷 2. y=f (x)滿足滿足 f (a)f (b)0，則在，則在(a,b)內(nèi)必有零點內(nèi)必有零點. 思考題思考題 從上海到美國舊金山的海底電纜有從上海到美國舊金山的海底電纜有15 個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修 理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少 需要檢查幾個接點？需要檢查幾個接點？ 1 2 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 回顧反思回顧反思( (理解數(shù)學理解數(shù)學) ) 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.理解二分法是一種求方程近似解的常用理解二分法是一種求方程近似解的常用 方法方法 2.能借