西北工業(yè)大學(xué)矩陣論課件PPT第六章例題廣義逆矩陣

1、例例 1221 1142 2121 a 求求 ) 1 ( a 和一個(gè)和一個(gè)。 ，)21 ( a 解解 ia, 1001221 0101142 0012121 13 12 rr r2r 1013300 0123300 0012121 已知矩陣已知矩陣 第六章第六章 廣義逆矩陣廣義逆矩陣 2 1-逆及其應(yīng)用逆及其應(yīng)用 3 1 r r 3 1 r rr 2 21 23 1110000 01100 01021 3 1 3 2 3 1 3 1 即即 ， 111 0 0 3 1 3 2 3 1 3 1 s),( 4231 eeeep ， 1000 0010 0100 0001 使得使得 sap 0000

2、1010 1201 故故 ) 1 ( asp 2 1 00 00 010 001 k k 222 3 1 3 2 111 3 1 3 1 0 0 kkk kkk 21,k k 任意任意 )21 ( ， a 000 0 000 0 3 1 3 2 3 1 3 1 例例 ， nm ca ) 1 ( a是是a的一個(gè)的一個(gè)1-逆，逆， 則則 ) 2 cos( ) 1 ( aa = ；) 2 sin( ) 1 ( aa = 。 ， ) 1 (2) 1 ( )(aaaa所以所以 ) 2 cos( ) 1 ( aa 4) 1 ( 4 2) 1 ( 2 )( ! 4 ) 2 ( )( ! 2 ) 2 ( aa

3、aai ) ! 6 ) 2 ( ! 4 ) 2 ( ! 2 ) 2 ( )( 642 ) 1 ( aai 1) 2 )cos( ) 1 ( aai 設(shè)設(shè) 分析分析 因?yàn)橐驗(yàn)?)( ) 1 ( aai )( ) 1 ( aai ) 1 ( aa ) 2 sin( ) 1 ( aa 5) 1 ( 5 3) 1 ( 3 ) 1 ( )( ! 5 ) 2 ( )( ! 3 ) 2 ( 2 aaaaaa ) ! 7 ) 2 ( ! 5 ) 2 ( ! 3 ) 2 ( 2 )( 753 ) 1 ( aa ) 2 sin()( ) 1 ( aa ， ) 1 (2) 1 ( )(aaaa所以所以又因?yàn)橛忠驗(yàn)?

4、) 1 ( aa 例例 a 是是 nn c上的矩陣范數(shù)，上的矩陣范數(shù)，。 nm m cp 令令 a b papa ) 1 ( )( mm ca 其中其中 ) 1 ( p是是p的一個(gè)的一個(gè)1-逆，逆，證明 證明 b 是是 mm c 證證 ， nm m cp所以所以。ipp ) 1 ( 1) ) ；0 ) 1 ( a a b opopo 當(dāng)當(dāng)oa 時(shí)，時(shí)， opap ) 1 ( （否則，（否則， ，opap ) 1 ( 則有則有，oappppa ) 1 () 1 ( 矛盾），矛盾）， 0 ) 1 ( a b papa 設(shè)設(shè) 上的矩陣范數(shù)。上的矩陣范數(shù)。 因?yàn)橐驗(yàn)?若若 于是于是 2） b ka a

5、 kpap ) 1 ( 3） b ba aa pbppap ) 1 () 1 ( 4） b ab aa pbppap ) 1 () 1 ( a kpap)( ) 1 ( a kpap ) 1 ( ； b k a a pbap）（ ) 1 ( bb ba a pabp ) 1 ( a pbappp ) 1 () 1 ( bb ba 例例 422 542 122 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 ， 1221 1142 2121 a 4 5 1 b 前例已求得前例已求得a的的1-逆為逆為 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組 的相容性。的相容

6、性。 若相容，求其通解。若相容，求其通解。 該方程組的系數(shù)矩陣及右端向量為該方程組的系數(shù)矩陣及右端向量為 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 baa ) 1 ( 4 5 1 000 0 000 0 3 1 3 2 3 1 3 1 ) 1 ( a（?。ㄈ?0 21 kk 0 1 0 2 a b 所以方程組相容，所以方程組相容， 且通解為且通解為 yaaibax)( ) 1 () 1 ( 0 1 0 2 4 3 2 1 1000 1000 0010 1020 y y y y 進(jìn)一步可化簡為進(jìn)一步可化簡為 42 1 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 2 yy x 42, (yy 任意）任意） 4321 ,(yy

7、yy 任意）任意） 例例 ； 3 2 1 a 解解 h1h )(aaaa )3 , 2 , 1 ( 14 1 求下列矩陣的求下列矩陣的moore-penrose逆：逆： 1 1） 2 2）； 1221 1142 2121 a 解解 a 13 12 rr r2r 3300 3300 2121 因?yàn)橐驗(yàn)?3 1 r rr 2 23 3 moore-penrose逆逆 0000 1100 2121 21 rr 0000 1100 1021 所以所以a的滿秩分解為的滿秩分解為 fga 21 12 11 1100 1021 又有又有 h gg， 21 16 ff h 63 36 且且 1h )(gg，

8、61 12 11 1 1h )(ff 63 36 27 1 從而從而 a h1h1hh )()(fffggg 11 10 02 01 61 12 11 1 21 12 9 1 211 121 516 615 242 121 33 1 3 3）。 nm 11 11 a 解解 fga 1 1 1 m n1 11 所以所以 a h1h1hh )()(fffggg 1 1 1 n mn 11 m1 11 t 1 a mn 因?yàn)橐驗(yàn)?例例 設(shè)設(shè)a是是 n 階可逆矩陣，階可逆矩陣，o是是 n 階零矩陣，階零矩陣， 則則 oo ao oo oa ao oo 分析分析 oo ao o a io 所以所以 oo

9、 ao i o 1 i 1h )( aaoah i o 1 aoi oa oo 1 ； 因?yàn)橐驗(yàn)?oa oo 1 ； 。 oo oa 1 1 ao oo oo oa o a oi 同理，同理，由由得得 oo oa oo oa 1 而由而由 ao oo a o io得得 ao oo 1 ao oo aa aa 11 11 4 1 aa aa aa aa a a ，ii 故故 aa aa i i 1 )2( i 1h )2( aa hh aa i i 1 2 1 2 1 ai 1h )( a hh aa i i 4 1 1 aii 11 11 4 1 aa aa 例例 設(shè)設(shè)a是是 n 階可逆矩陣，

10、階可逆矩陣， 則則 。 分析分析 因?yàn)橐驗(yàn)?例例 設(shè)設(shè)a是是nm且且a的的moore-penrose逆為逆為 ， a則則 aaa a a a 3 1 分析分析 設(shè)設(shè)a的滿秩分解為的滿秩分解為，fga 則則 fgfgfgaaagggf 這是這是aaa的一個(gè)滿秩分解。的一個(gè)滿秩分解。 aaa h1h1h h h h )()3(fffgg g g g 矩陣，矩陣， 。 故故 h1h1hh h1h1hh h1h1hh )()( )()( )()( 3 1 fffggg fffggg fffggg a a a 3 1 例例 422 542 122 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxx

11、x 是否相容？是否相容？ 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組 如果相容，求通解和極小范數(shù)解；如果相容，求通解和極小范數(shù)解； 如果不相容，求全部最小二乘解和極小范數(shù)最小如果不相容，求全部最小二乘解和極小范數(shù)最小 二乘解。二乘解。 解解 該方程組的系數(shù)矩陣和右端向量為該方程組的系數(shù)矩陣和右端向量為 4 a+的應(yīng)用的應(yīng)用 因?yàn)橐驗(yàn)閎aa 所以方程組所以方程組bax 相容，相容， 前面已求得前面已求得 516 615 242 121 33 1 a b 4 5 1 3 8 10 5 11 1 a 其通解為其通解為 ， 1221 1142 2121 a 4 5 1 b yaaib

12、ax)( 4 3 2 1 5521 5521 2234 1149 11 1 3 8 10 5 11 1 y y y y 4321 ,(yyyy 任意任意) bax 0 t )3, 8,10, 5( 11 1 極小范數(shù)解為極小范數(shù)解為 例例 ， 211 211 110 101 101 a 4 4 1 1 1 b 1 1求求a的滿秩分解；的滿秩分解； 2 2求求； a 3 3用廣義逆方法判斷用廣義逆方法判斷bax 4 4求求bax 的極小范數(shù)解或極小范數(shù)最小的極小范數(shù)解或極小范數(shù)最小 已知已知 是否有解；是否有解； 二乘解（指出所求的是哪種解）。二乘解（指出所求的是哪種解）。 fga 110 10

13、1 11 11 10 01 01 解解 1. 1. 因?yàn)橐驗(yàn)?a 15 14 12 rr rr rr 110 110 110 000 101 32 35 34 rr rr rr 000 000 000 110 101 所以所以a的滿秩分解為的滿秩分解為 2. 2. 33211 331077 00888 24 1 3. 3. baa 1 0 1 ab 3 3 1 2 2 bax 4. 4. 極小范數(shù)最小二乘解極小范數(shù)最小二乘解 bax 0 1 0 1 a h1h1hh )()(fffggg 無解；無解； 例例 m xxx, 21 ) 1(m是是 n r中兩兩正交的中兩兩正交的 ，),( 21m

14、xxxa則則 a t t 1 m x x 分析分析 ， nm ixxxfga),( 21 所以所以 a t1t )(fff t t 1 1 1 t t 1 m m m x x xx x x t t 1 1 m m x x i t t 1 m x x 設(shè)設(shè) 單位列向量，單位列向量，記記 因?yàn)橐驗(yàn)?。 例例 ， nm n ca證明證明。1 2 aa 證證 的的最最大大特特征征值值)()( h 2 aaaaaa 但但 )()( h aaaa)( aaaa aa 記記， aab注意注意 2 b 2 )( aa aab 設(shè)設(shè)，xbx則有則有 xxbbxx 22 由由0 x得得 ，0 2 即即1或或0是是b的特征值。的特征值。 由由a列滿秩知，列滿秩知， 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，0ax于是于是 )(axb)(axaaax 即即1是是b的特征值，的特征值， 故故 2 aa 設(shè)設(shè) 的最大特征值的最大特征值b =1 例例 ， 000 100 011 a 則則 )2, 1 ( a 010 000 001 分析分析 ， 3 is ，)