利用導數(shù)證明不等式的常見題型第七計

1、利用導數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧技巧精髓1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再由單調性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點， 也是近幾年高考的熱點。2、解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或求最值，從而證得 不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。 一、利用題目所給函數(shù)證明【例1】 已知函數(shù) f (x) ln(x 1) x ，求證：當 x 1時，恒有11 ln( x 1) xx1分析： 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構造函數(shù)1g(x) ln( x 1)1，從其導數(shù)入手即可證明。x1 1x【 綠色通

2、道 】 f (x)1x 1 x 1當 1 x 0時， f (x) 0，即 f (x) 在x ( 1,0)上為增函數(shù)當 x 0時， f (x) 0，即 f (x) 在x (0, )上為減函數(shù)故函數(shù) f (x)的單調遞增區(qū)間為 ( 1,0) ，單調遞減區(qū)間 (0, )于是函數(shù) f(x)在( 1, )上的最大值為 f ( x) max f(0) 0 ，因此，當 x 1時，f(x) f (0) 0， 即 ln( x 1) x 0 ln( x 1) x (右面得證) ，1 現(xiàn)證左面，令 g(x) ln( x 1)1，x11則 g (x)1x112 ( x 1)2x2( x 1) 2當x ( 1,0)時,

3、g (x) 0;當x (0, )時,g (x) 0即 g ( x) 在 x ( 1,0) 上為減函數(shù)，在 x ( 0, ) 上為增函數(shù)，故函數(shù) g(x)在 ( 1, )上的最小值為 g(x)min g(0) 0，1 當 x 1時， g(x) g(0) 0，即 ln(x 1) 1 0x1 11 ln( x 1) 1 ，綜上可知，當 x 1時,有1 ln( x 1) xx 1 x 1【警示啟迪 】如果 f (a)是函數(shù) f ( x)在區(qū)間上的最大(小)值，則有f(x) f(a)(或 f (x) f (a) )，那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過 0 就可得證2、直接作差構造函數(shù)證明1 2 2

4、 3 【例 2】已知函數(shù) f (x)x2 ln x. 求證：在區(qū)間 (1, )上，函數(shù) f (x) 的圖象在函數(shù) g(x)x3的23 圖象的下方；分析： 函數(shù) f (x)的圖象在函數(shù) g( x)的圖象的下方不等式 f(x) g(x) 問題，1 2 2 3明 在 區(qū) 間 (1, ) 上 ，即 x2 ln xx3 ， 只 需 證恒 有 12x2 ln x 32 x3 成 立 ， 設F(x) g(x) f (x) ， x (1, )，要證不等式轉化變?yōu)椋寒?x 1時，1考慮到 F(1) 06F(x) F (1) ，這只要證明：12x2223 綠色通道 】設 F(x) g(x) f(x)，即 F(x)

5、 2 x33g(x)在區(qū)間 (1, )是增函數(shù)即可。ln x ，23則F (x) 2x2 x 1 (x 1)(2x x 1)x當x 1時， F (x)=(x 1)(2x2 x 1)從而 F(x)在 (1,)上為增函數(shù)， F(x) F(1)當 x 1時 g(x) f (x) 0，即 f (x) g(x)，33 的圖象的下方。2故在區(qū)間 (1,)上，函數(shù) f (x)的圖象在函數(shù) g(x) 2x3【 警示啟迪 】本題首先根據題意構造出一個函數(shù)(可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)) 并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調性，再根據函數(shù)單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以 設 F(x) f(x)

6、g(x) 做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元后作差構造函數(shù)證明例 3】( 2007 年，山東卷)證明：對任意的正整數(shù)n，不等式分析： 本題是山東卷的第( II )問，從所證結構出發(fā)，只需令1ln( 1)n1x，n12 13 都成立 . nn則問題轉化為：當 x 0 時，恒有 ln(x 1) x2 x3 成立，現(xiàn)構造函數(shù) h(x)x3x2ln(x 1) ，求導即可達到證明。綠色通道 】令 h(x) x3 x2 ln(x 1) ，21則 h (x) 3x2 2x3x3 (x 1)2 在x 1 x 1x (0, ) 上恒正，1123 nn警示啟迪 】我們知道，當 F(x) 在a,b 上單調遞增

7、，則 x a 時，有 F(x) F(a)如果 f(a) (a) ，要證明當 x a時，f (x)(x) ，那么，只要令F(x) f (x) (x) ，就可以利用 F(x) 的單所以函數(shù) h(x)在 (0, )上單調遞增， x (0, )時，恒有 h(x) h(0) 0，即 x3 x2 ln(x 1) 0， ln(x 1) x2 x311對任意正整數(shù) n，取 x(0, )，則有 ln( 1)nn調增性來推導也就是說，在 F (x)可導的前提下，只要證明 F (x) 即可4、從條件特征入手構造函數(shù)證明【例 4】若函數(shù) y= f(x) 在 R 上可導且滿足不等式 x f (x) f (x)恒成立，且

8、常數(shù) a，b 滿足 ab，求證： a f (a) b f (b)綠色通道 】由已知 x f (x)+ f(x)0 構造函數(shù) F(x) xf (x)，則 F(x) x f (x)+ f(x) 0， 從而 F (x)在R上為增函數(shù)。a b F(a) F(b) 即 a f(a)b f(b)警示啟迪 】由條件移項后 xf (x) f (x) ，容易想到是一個積的導數(shù)， 從而可以構造函數(shù) F(x) xf (x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為 xf (x) f ( x) ，則移項后 xf (x) f (x) ，要想到是一個商的導數(shù)的分子，平時解題多注意總結。 思維挑戰(zhàn) 】21、( 2007年，安徽

9、卷) 設a 0, f(x) x 1 ln2 x 2aln x 求證：當 x 1時，恒有 x ln2 x 2aln x 1 ，5a23a2ln a，2、( 2007 年，安徽卷)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)1f(x)x2 2ax, g(x) 3a2 ln x b, 其中 a0，且 b求證： f (x) g(x)x3、已知函數(shù) f(x) ln(1 x) ，求證：對任意的正數(shù) a 、b， 1x恒有 ln a lnb 1 b. a4、( 2007 年，陜西卷)f (x) 是定義在( 0，+ )上的非負可導函數(shù)，且滿足xf (x) f (x) 0，對任意正數(shù) a、 b，若 a b，則必有( A)af (b

10、)bf (a)(B)bf (a)af (b)(C)af (a)f (b)(D)bf (b)f (a)答案咨詢 】1、提示：2ln x 2a2ln xf (x) 1 ，當 x 1， a 0時，不難證明1xx xf (x) 0，即 f (x) 在(0, )內單調遞增，故當 x 1時，2f (x) f (1) 0 ，當 x 1時，恒有 x ln 2 x 2aln x 12、提示：2設 F(x) g(x) f(x) 1 x2 2ax 3a2ln x b則F (x) x 2a 3a 2x(x a)(x 3a) (x 0) a 0， 當x a時， F (x) 0，x故F (x)在(0, a)上為減函數(shù)，在 (a, )上為增函數(shù)，于是函數(shù) F(x) 在 (0, )上的最小值是 F(a) f (a) g(a) 0，故當 x 0時，有 f (x) g(x) 0，即 f (x) g(x)3、提示： 函數(shù) f ( x)的定義域為 ( 1, ) ， f (x) 2 21 x (1 x)2 (1 x)2當 1 x 0時， f (x) 0，即 f (x) 在x ( 1,0)上為減函數(shù)當 x 0時， f (x) 0，即 f (x) 在x (0, )上為增函數(shù)因此在 x 0時, f (x)取得極小值 f (0) 0 ，而且是最小值x1于是 f(x) f(0) 0,從而 ln(1 x) ，即 ln(1 x)