數(shù)值分析課后題答案

1、第二章 2當(dāng) x 1, 1,2 時，f(x) 數(shù)值分析 0, 3,4,求f (x)的二次插值多項式。 (X X1)(x X2) (X。 X1)(X X2) (X X0)(X X2) (X1 滄)任 X2) (X X)(X X1) (X2 X)(X2 X1) l(x) h(x) l2(x) 則二次拉格朗日插值多項式為 2 L2(x)yklk(x) k 0 解: X01,X11,X22, f(x。) 0,f(X1)3,f(X2) 4; 1 -(X 1)(x 2) 2 1 -(x 1)(x 2) 6 1 3(x 1)(x 1) X 2 (X 4 一 3 2) (X X /V 1 - 2 6設(shè)Xj,

2、j 0,1,L ,n為互異節(jié)點，求證： n (1) x：lj(x)xk(k 0,1,L ,n); j 0 n (2) (Xj x)klj(x) 0 (k 0,1,L ,n); j 0 證明 (1)令 f (x) xk n 若插值節(jié)點為Xj,j0,1,L , n，則函數(shù)f (x)的n次插值多項式為xkl j(x)。 j 0 f(n 1() 插值余項為 Rn(x) f (x) Ln(x)n 1(x) (n 1)! 又Q k n, f(n 1)()0 FUx)0 n x：lj(x) xk (k 0,1,L ,n); j 0 n (Xj x)klj(x) j 0 n n (C?xj( x)ki)lj(

3、x) j 0 i 0 nn ik ii Ck( x) (Xjlj(x) i 0j 0 又Q 0 i n由上題結(jié)論可知 n x：lj(x)xi j 0 n 原式Ck( x)k ixi i 0 (x x)k 0 7 設(shè) f (x) 2 C2 a,b 且 f (a) f(b) max f (x) a x b 1(b a) 2 max a x b f (x). 解：令X。 a, xi b， 以此為插值節(jié)點 x X X X0 Li(x)f(x。) f (Xi) X0 Xi X X0 X b X a =f(a) f(b)- 得證。 a b x a 0,求證: 則線性插值多項式為 又 Q f (a) f(b

4、) 0 Li(x)0 插值余項為R(x) 1 f (x) J(x) - f (x)(x x)(x xi) f(x) 2f (x)(x x)(x Xi) 又Q (X Xo)(X Xi) i(X 4(xi 4(b Xo) (Xi 2 X) Xo)2 a)2 max a x b f(x) 8(b a)2 max f (x) 7 a x b 、， 8在 4 X 4上給出f(x) ex的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求 eX的近似值，要使 截斷誤差不超過 10 6，問使用函數(shù)表的步長 h應(yīng)取多少? 解：若插值節(jié)點為 x 1,xi和xi 8，則分段二次插值多項式的插值余項為 1 R(x) 3! f ( )(

5、X Xi i)(X X)(x Xi i) 3! 8(X Xi i)(X 6 R2(X) x)(x X i)max f (x) 設(shè)步長為 h, 即 xi 1 xi h,X i Xi h R2(X) 1e4 -% 6 3.3 e4h3. 27 若截斷誤差不超過10 6， R2(x)10 6 3 4.36 e h 10 27 h 0.0065. 9若 yn 2n,求 4yn及 4 yn， 解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進行求解。 n yn2 44 yn (E 1) yn ( j 0 4 ( j 0 4 ( j 0 1)j 1)j 1)j (2 1)4yn E4 jyn y4 n 24 j

6、yn yn 2n 1 E 2)4yn 1 4yn (E2 1 24 yn (E 2)4(E 1)4yn E yn 2n 16. f(x) x7x4 3x 1,求 F 20,21 ,L ,27 及 F 20,21 丄,28 。 解: Q f(x) X7 X4 3x 1 2i,i 0,1,L ,8 則f Xo,Xi丄 ,xn (n)() n! f Xo,Xi,L ,X7 (7)() 7! 7! 1 7! f X0,X1 丄,X (8)() 8! 19 . 求 次數(shù)不 高于 4 次的多項式 P （ x）， 使它 P(0) P (0)0,P(1)P(1) 0, P(2) 解法一：利用埃米爾特插值可得到

7、次數(shù)不高于 4的多項式 X0* 1 y。0, y11 m00m 1 H3(x)yj j(x)mj j(x) j oj o o(x)(1 2乞)(乞)2 Xo Xi Xo Xi (1 2x)( x 1)2 1(x)(1 2)2 X1 Xo X1 Xo (3 2x)x2 2 o(X) X(X 1) 2 1(x) (X 1)x 3 H3(x)(3 2x)x (x 1)x x 2x 2 2 設(shè) P(x) H3(x) A(x Xo) (X X1) 其中，A為待定常數(shù) Q P(2) 1 P(x)x3 2x2 Ax2(x 1)2 從而P(x) 1 2 2 /(x 3) 解法二：采用牛頓插值，作均差表: 一階

8、均差 二階均差 0 0 1 1 1 2 1 0 -1/2 又由得 所以 第四章 1. 確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所 具有的代數(shù)精度： hf(x)dx Aif( h) AJ(O) Af(h)； 2h 2h f(x)dx Aif( h) Aof(O) Af(h)； 1 If(x)dx f( 1) 2f(Xi) 3f(X2)/3; h2 。f(x)dx hf(O) f(h)/2 ah2 f (0) f (h); 解： m的多項 求解求積公式的代數(shù)精度時，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過 式均能準(zhǔn)確地成立，但對于m+1次多項式就不準(zhǔn)確成立，

9、進行驗證性求解。 h (1)若 (1) f(x)dx A1f( h) AJ(0) A1f(h) h 令 f (x)1，則 2h A1 Ao A1 令 f (x) x，則 0A 1h A1h 令 f(x) x2，則 2h3 h2A1 h2A1 3 A 4h 1 從而解得 A h 3 A1 h 3 令 f (x) x3，則 f (x)dx ：x3dx 0 Af h) AJ(0) A1f (h) 令 f (x) x4 h hf(x)dx h 4 . hxdx 2h5 5 A1f ( h) A0f (0) A-i f (h)- h5 3 h 故此時， h f (x)dx Af h) AJ(0) A1f

10、(h) 故 f(x)dx h A1f( h) A0f(0) Af(h) h 故 h f (x)dx A 1f ( h) A)f(0) Af(h) 令 f (X) x，則0 A 1h A1h 令 f (X) X2，則 3 h3 h2A1 h2A A0 3h 從而解得 A 3h A18h 3 令 f (X) x3，則 2h2h 3 f (x)dxx3dx 2h2h 0 Af h)A0f (0) 2h 故 2h f(x)dx A 1 f (h) A)f(0) AJ(h)成立。 令 f (x) x4，則 2h2h 4 f (x)dxx dx 2h2h 64以 h 5 A1f( h) A0f(0) 16

11、 5 Af(h)h5 3 故此時， 2h f (x)dx 2h AJ( h)A0f (0) Af(h) 因此， 2h 2hf(x)dx A1f( h) A0f (0) Af(h) 具有3次代數(shù)精度。 令 f(x) 則4h 1 , (3 )若 A,f(h) 0 A1A0A1 1 (2 )若 2hf(x)dx Af h) AJ(O) AJ(h) 1f(x)dx f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/3 f(x) 1 1，則 1 f (x)dx 2f( 1) 2f(x.) 3f (x2)/3 f(x) 2x1 3x2 f (x) X2，則 21 22 2x-| 3x2 從而解得 X 0.2899 亠

12、 或 X?0.5266 Xi 0.6899 X2 0.1266 令 f (x) 3 r, x，則 1 1f(x)dx 1 x3dx 0 1 f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/ 3 0 3f (x2)/ 3不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。 1 故 1f(x)dx f( 1) 2f(X1) (4 )若 0 f(x)dx hf(O) f(h)/2 ah2 f (0) f (h) 令 f (x) h 0 f (x)dx h, hf(O) f(h)/ ah2 f (0) f (h) h 令 f (x) h 0 f(x)dx h xdx 0 -h2 2 h f (0) f(h)/ 2 2 a

13、h f (0) f (h) -h2 2 令 f (x) ，則 h 0 f(x)dx hx2dx 1h3 03 2 h f (0) f (h)/ 2 ah f (0) f (h) 1h3 2ah2 2 故有 1h3 2 1 a 12 -h3 3 2ah2 令 f (x) x3 ，則 h 0 f(x)dx 3dx 0 h f (0) 4 1 2 f (h)/ 2 h f (0) 12 f (h) -h4 2 -h4 4 令 f (x) ，則 h 415 x dx h 05 1 2 h f (0) f (h)/ 2 h2 f (0) 12 h 0 f(x)dx f (h) -h5 2 -h5 3 -

14、h5 6 故此時， h 0 f (x)dx h f (0)f(h)/2 因此, 1 2 -h2f (0) f (h), 12 h 1 2 0 f (x)dx hf(0) f (h)/ 2 12h2f (0) f(M 1 7。若用復(fù)化梯形公式計算積分Iexdx，問區(qū)間0,1應(yīng)多少等分才能使截斷誤差不超過 0 10 6 ？ 解： b a 采用復(fù)化梯形公式時，余項為R(f)h2f ( ),(a,b) 12 1 又Q Ioexdx故 f (x) ex, f (x) ex,a 0,b 1. Rn(f)| h2|f()h2 12 12 若Rn f 10 6，則 當(dāng)對區(qū)間0,1進行等分時，h丄， n 故有n

15、 因此，將區(qū)間476等分時可以滿足誤差要求 第五章 2. 用改進的歐拉方法解初值問題 取步長h=計算，并與準(zhǔn)確解相比較。 近似解 準(zhǔn)確解 近似解 準(zhǔn)確解 3、解：改進的歐拉法為 1 % 1 yn hf(Xn,yn) 論屏 人仁人.) 2 將f (x, y) x2 x y代入上式，得 h2 h %1 1 h yn - 1 hxn1 * 1人1人1 2 2 冋理，梯形法公式為 yn 1 井yn hRxn(1 Xn) Xn 1(1 xn J 將 y。0, h 0.1 代入上二式， 計算結(jié)果見表9 5 表9 5 X n 改進歐拉yn 1 y(Xn) yn 1 梯形法yn |y(Xn) yn | 0.

16、1 0. 005500 3 0. 005238095 4 0. 2 0 . 0 0.337418036 10 0 . 0 0.755132781 10 0. 3 0 . 0 0 . 0 3 0. 4 0 . 0 0.658253078 10 0 . 0 0.136648778 10 0. 5 0 . 7 0 . 8 0.962608182 10 3 0.185459653 10 3 0.125071672 10 2 0.223738443 10 3 2 0.152291668 10 3 0.253048087 10 可見梯形方法比改進的歐拉法精確。 4、用梯形方法解初值問題 證明其近似解為 并

17、證明當(dāng)時，它原初值問題的準(zhǔn)確解。 證明：梯形公式為 yn 1 yn 2f(Xn，yn) f (Xn i,yn 1) 代 f (x, y) y入上式，得 解得 yn 1 2 (2 h h)yn 因為 y。 1，故 yn yn 1 yn 2 2 h 2 (齊)yn 1 h)n (i h yn yn 1 以h為步長經(jīng)n步運算可求得 y(x) 的近似值yn，故 nh, n X h代入上式有 X 一 h 7 h h 2 2 /V n y m Hh J h X -h h - X -h h T 10.證明解的下列差分公式 是二階的，并求出截斷誤差的首項。 ,代入得，截斷誤差首項為。 12.將下列方程化為一階

18、方程組: 1) ，其中。 2) (2)，其中。 1、用二分法求方程的正根，要求誤差小于 解 設(shè)，故1,2為的有根區(qū)間.又，故當(dāng)時，單增，當(dāng)時單增.而，由單調(diào)性知的惟一正根.根據(jù) 二分法的誤差估計式知要求誤差小于，只需，解得，故至少應(yīng)二分6次具體計算結(jié)果見表 7-7. 表7-7 0 1 2 - 1 2 + 2 + 3 - 4 - 5 - 即. 3、為求在附近的一個根，設(shè)將方程改寫成下列等價形式，并建立相應(yīng)的迭代公式 (1) ，迭代公式； (2) ，迭代公式； (3) ，迭代公式. 試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根 解取的鄰域，來考察. (1) 當(dāng)時”故迭代公式在上整體收斂 (2) 當(dāng)時 故在,上整體收斂 故發(fā)散 由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式計算要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字，只需 即 取計算結(jié)果見表7-8. 表7-8 1 2 3 4 5 6 由于,故可取 7、用下列方法求在附近的根.根的準(zhǔn)確值