高考數(shù)學(xué)典型例題6---函數(shù)值域及求法

1、黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)典型例題詳解函數(shù)值域與求法每臨大事,必有靜氣;靜則神明,疑難冰釋;積極準(zhǔn)備,坦然面對(duì);最佳發(fā)揮,舍我其誰(shuí)?敬請(qǐng)搜索“黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)”結(jié)合起來(lái)看 效果更好體會(huì)絕妙解題思路建立強(qiáng)大數(shù)學(xué)模型感受數(shù)學(xué)思想魅力品味學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)快樂(lè)函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。難點(diǎn)磁場(chǎng)()設(shè)m是實(shí)數(shù)，記m=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+).(1)證明：當(dāng)mm時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mm.(2)當(dāng)mm時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.(3)求證

2、：對(duì)每個(gè)mm,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.案例探究例1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840 cm2,畫(huà)面的寬與高的比為(1),畫(huà)面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。咳绻?，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最??？命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí).錯(cuò)解分析：證明s()在區(qū)間上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把

3、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.解：設(shè)畫(huà)面高為x cm,寬為x cm,則x2=4840,設(shè)紙張面積為s cm2,則s=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,將x=代入上式得：s=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即=1)時(shí)s取得最小值.此時(shí)高：x=88 cm,寬：x=88=55 cm.如果可設(shè)10,s(1)s(2)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類(lèi)討論的思想.錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的

4、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類(lèi)討論思想解得. (1)解：當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x+2f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為f(1)=.(2)解法一：在區(qū)間1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立.設(shè)y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.解法二：f(x)=x+2,x1,+當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.錦囊妙計(jì)本難

5、點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決的方法主要有：(1) 求函數(shù)的值域此類(lèi)問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.(2) 函數(shù)的綜合性題目此類(lèi)問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目.此類(lèi)問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng).(3) 運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決.此類(lèi)題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、

6、選擇題1.()函數(shù)y=x2+ (x)的值域是( )a.(,b.,+c.,+d.(,2.()函數(shù)y=x+的值域是( )a.(,1b.(,1c.rd.1,+二、填空題3.()一批貨物隨17列貨車(chē)從a市以v千米/小時(shí)勻速直達(dá)b市，已知兩地鐵路線(xiàn)長(zhǎng)400千米，為了安全，兩列貨車(chē)間距離不得小于()2千米 ，那么這批物資全部運(yùn)到b市，最快需要_小時(shí)(不計(jì)貨車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)).4.()設(shè)x1、x2為方程4x24mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m=_時(shí)，x12+x22有最小值_.三、解答題5.()某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為50

7、0臺(tái)，銷(xiāo)售的收入函數(shù)為r(x)=5xx2(萬(wàn)元)(0x5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái))(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；(2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？(3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？6.()已知函數(shù)f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1(1)若f(x)的定義域?yàn)?,+)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域?yàn)?,+),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.()某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周(按120個(gè)工時(shí)計(jì)算)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái).已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：家電名稱(chēng)空調(diào)器彩電冰箱工時(shí)產(chǎn)值(

8、千元)432問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千元為單位)8.()在rtabc中，c=90，以斜邊ab所在直線(xiàn)為軸將abc旋轉(zhuǎn)一周生成兩個(gè)圓錐，設(shè)這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之積為s1，abc的內(nèi)切圓面積為s2，記=x.(1)求函數(shù)f(x)=的解析式并求f(x)的定義域.(2)求函數(shù)f(x)的最小值.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mm時(shí)，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)閞.反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m

9、1,故mm.(2)解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小.而u=(x2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+,此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值.(3)證明：當(dāng)mm時(shí)，m+=(m1)+ +13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立.log3(m+)log33=1.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：m1=x2在(,）上是減函數(shù)，m2=在(,）上是減函數(shù)，y=x2+在x(,)上為減函數(shù),y=x2+ (x)的值域?yàn)椋?.答案：b2.解析：令=t(t0),則x=.y=+t= (t1)2+11值域?yàn)?,1.答案：a二、3.解析：t=+16()2/v=+2=8.

10、答案：84.解析：由韋達(dá)定理知：x1+x2=m,x1x2=,x12+x22=(x1+x2)22x1x2=m2=(m)2,又x1,x2為實(shí)根，0.m1或m2，y=(m)2在區(qū)間(,1）上是減函數(shù)，在2，+上是增函數(shù)又拋物線(xiàn)y開(kāi)口向上且以m=為對(duì)稱(chēng)軸.故m=1時(shí)，ymin=.答案：1 三、5.解：(1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入r(x)與其總成本c(x)之差，由題意，當(dāng)x5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x5時(shí)，只能銷(xiāo)售500臺(tái)，所以y=(2）在0x5時(shí)，y=x2+4.75x0.5,當(dāng)x=4.75(百臺(tái)）時(shí)，ymax=10.78125(萬(wàn)元），當(dāng)x5(百臺(tái)）時(shí)，y120.255=10.75(萬(wàn)

11、元），所以當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大.(3）要使企業(yè)不虧本，即要求解得5x4.750.1(百臺(tái)）或5x48(百臺(tái)）時(shí)，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本.6.解：(1）依題意(a21）x2+(a+1)x+10對(duì)一切xr恒成立，當(dāng)a210時(shí)，其充要條件是，a1或a.又a=1時(shí)，f(x)=0滿(mǎn)足題意，a=1時(shí)不合題意.故a1或a為所求.(2）依題意只要t=(a21)x2+(a+1)x+1能取到(0，+）上的任何值，則f(x)的值域?yàn)閞，故有,解得1a,又當(dāng)a21=0即a=1時(shí)，t=2x+1符合題意而a=1時(shí)不合題意，1a為所求.7.解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，由題意得：x+y+z=360x0,y0,z60.假定每周總產(chǎn)值為s千元，則s=4x+3y+2z,在限制條件之下，為求目標(biāo)函數(shù)s的最大值，由消去z,得y=3603x.將代入得：x+(3603x)+z=360,z=2x z60,x30.再將代入s中，得s=4x+3(3603x)+22x,即s=x+1080.由條件及上式知，當(dāng)x=30時(shí)，產(chǎn)值s最大，最大值為s=30+1080=1050(千元）.得x=30分別代入和得y=36090=270,z=230=60.每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺(tái)，彩電270臺(tái)，冰箱60臺(tái)，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050千元.8.解