電磁理論與電路理論

1、關(guān)于電磁場理論與電路理論的關(guān)系摘 要 電磁場理論和電路理論是大學物理非常重要的內(nèi)容，對與應用物理專業(yè)學生來說，應該掌握電磁場理論和電路理論知識。由于人們對經(jīng)典電路理論的實用性印象極深,而電磁場理論卻相對比較抽象,以至人們有時不知不覺將電路理論和電磁場理論割裂開來,認識不到兩者的內(nèi)在聯(lián)系。本文的目的是建立電磁場理論和電路理論之間的統(tǒng)一關(guān)系,強調(diào)場論的普遍性,我們從“路”理論與“場”理論各自的理論基礎出發(fā),逐步分析清楚了兩種理論基礎間的關(guān)系。這樣,可以更深刻地認識電路中所發(fā)生的各種電磁現(xiàn)象的本質(zhì),加深對電路及電路概念的理解,并在適當?shù)厍樾蜗?更有效地利用“路”理論簡化對復雜電磁場問題地分析。關(guān)鍵詞

2、：電磁場，電路，安培環(huán)路定理，麥克斯韋方程，基爾霍夫定律 人們把電磁場與導體的相互作用而產(chǎn)生電的現(xiàn)象稱為電磁感應。1820年，奧斯特在發(fā)現(xiàn)電流的磁效應，揭示了電與磁聯(lián)系的電生磁一個方面。1831年，法拉第發(fā)現(xiàn)通電線圈在接通和斷開的瞬間，能在鄰近線圈中產(chǎn)生感應電流的現(xiàn)象。揭示了電與磁聯(lián)系的磁生電另一個方面。根據(jù)奧斯特的實驗的原理制造出電動機，根據(jù)法拉第電磁感應的規(guī)律制造出了發(fā)電機。電磁感應現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)在理論上有重大意義，使人們對電和磁之間的聯(lián)系有更進一步的認識，從而激發(fā)人們探索電和磁之間的普遍聯(lián)系的理論。在解決電磁場問題或電路問題時，電磁理論和電路理論是緊密聯(lián)系的,但許多情況下人們對這兩種理論間地

3、認識不全面,導致不能很好地理解兩者之間的關(guān)系,從而在很大程度上影響了應用電路理論簡化電磁場問題地分析,為此文中將從安培環(huán)路定理、麥克斯韋方程、基爾霍夫定律來分析這兩種理論的聯(lián)系。1,安培環(huán)路定理BdIdl圖1，導線I垂直閉曲線L安培環(huán)路定理是表明電磁場與電路相聯(lián)系的重要定理之一，下面試安培環(huán)路定理1的推到。磁場B由無限長直導線激發(fā)，而且閉曲線L躺在與直導線垂直的平面內(nèi)（如圖1），我們來計算B沿L的環(huán)流，由 可知任一線元dl對環(huán)流的貢獻為： （1-1）其中I是導線的電流，a是dl與導線的距離，是B的方向的單位矢，是與dl的夾角（見圖），以導線與片面的交點為圓心，a為半徑作園，則dl對應于一個圓心

4、角及一段弧,由圖易見故: （1-2）恒定磁場B對任意的閉合曲線L的環(huán)流滿足式（1-2）稱為安培環(huán)路定理。安培環(huán)路定理說明了磁場強度B與電流的聯(lián)系。2，麥克斯韋方程人類對電磁理論的認識經(jīng)歷一個由淺入深，由片面到全面的過程，對靜電和靜磁現(xiàn)象的早期研究建立了關(guān)于靜電場和靜磁場的如下方程2：靜電場： （2-1） (2-2) （2-3）圖2，以L為邊線的s1和s2靜磁場： （2-4） 對任意給定的閉曲線L而言，以L為邊線的任意一曲面都有相同的J（傳導電流）通量，麥克斯韋引入電流密度是 ，其中是點位移矢量，P為介質(zhì)中的極化強度，位移電流密度和傳導電流密度是平等的，根據(jù)安培環(huán)路定理： (2-5)上式表明一個

5、物理規(guī)律：變化的電場激發(fā)著渦旋磁場。那么電磁場量E和B必須滿足麥克斯韋方程組3：它反映在場源（電荷密度及電流密度J）給定的前提下電場E和磁場B隨時間的演化所遵循的規(guī)律，電磁場反過來又會按洛侖磁力公式對場源（帶電粒子）施加作用。體現(xiàn)了電磁場與電場的相互作用，也表明電磁理論與電路理論存在著密切的聯(lián)系。3，基爾霍夫定律 對基爾霍夫定律路論與場論之間的關(guān)系進行探討。用電磁場理論推導出電路理論中的基爾霍夫定律，得出基爾霍夫定律的實質(zhì)是電磁場基本規(guī)律的簡化,是“場”的特殊情形。進一步證明了場論是路論的理論基礎。在電路理論中,討論的是路的元件及其施加于元件上的端電壓u和流經(jīng)元件的電流i。在電磁場理論中,討論

6、的是場矢量E、D 、B 、H、和它們的位置函數(shù)的值。 電路參數(shù)的推求要用“場”的方法, 電路基本定律也可以從麥克斯韋電磁場基本方程組導出,“路”與“場”是相互關(guān)聯(lián)的。 基爾霍夫定律4是集總電路的基本定律,它包括電壓定律和電流定律。3.1基爾霍夫電壓定律 在集總電路中, 任何時刻, 沿任一回路, 所有支路（如圖3-1）的電壓的代數(shù)和恒等于零， 即u = 0圖3-1，說明KVL的電路在圖3-1 所示電路中,根據(jù)基爾霍夫電壓定律有： (3-1)3.2基爾霍夫電流定律 在集總電路中, 任何時刻, 對任一結(jié)點, 所有流出結(jié)點的支路電流的代數(shù)和恒等于零,即i = 0在圖3所示電路中,根據(jù)基爾霍夫電流定律有

7、：圖3-2，說明KCL的電路 (3-2)3.3用場論導出路論中的基爾霍夫電壓定律 如圖3-1 所示電路,設R 、L 、C 三個串聯(lián)元件和電源組成的電路符合簡化條件。 圖中 表示電源的電壓,是由電源中的局外電場強度 產(chǎn)生的。 電路中的電場強度為,總的電場強度E為電路中的電場強度和局外電場強度之和,即： (3-3) 電路中的電場強度包括由于在電源兩極、電容器兩極以及導線表面堆積的電荷所造成的庫侖場的電場強度。 對式(3-3) 兩邊求回路積分為： (3-4)因局外場只存在于電源中,故有： (3-5)因庫侖場的電場強度回路積分等于零, 根據(jù)麥可斯韋方程： (3-6)所以電路中的電場強度Ed 的積分為：

8、 (3-7)因電路中有電流流動, 傳導電流密度和總電場強度有關(guān)系故有： (3-8)電路中各段的傳導電流i是相等的,且均勻地分布于導線的橫截面上, 故上式等號右邊第一項可寫為： (3-9) 上式中的 包括電路各段的電阻以及電源的內(nèi)阻。電容中無局外場強, 如果電容器是理想的平行板電容器,極板間距離為d,板面積為,極板上電荷面密度為,則有： (3-10)上式中 為電容器的電容,將式(3-5) (3-7) (3-9) （3-10）代入式(3-4) 中,得： (3-11)可見,式(3-11)與式(3-1)一樣,即為從場理論出發(fā)導得了路理論的基爾霍夫電壓定律。3.4 用場論導出路論中的基爾霍夫電流定律 如

9、圖3-2所示電路,作一封閉面S,且設封閉面有一部分穿過電容器的極板間,截面積為S3,封閉面與電阻支路、電感支路的導線相截的截面積分別為S1,S2根據(jù)麥克斯韋電磁場方程式的全電流定律: (3-12)電流密度:其中:為傳導電流密度,為位移電流密度。 在式(3-12) 等號兩邊取散度,并根據(jù)向量分析,任意向量的旋度進行散度運算后恒等于零,得: (3-13)那么, 在圖2的封閉面S所圍體積的體積分應為零,即:根據(jù)高斯定理5: (3-14) 現(xiàn)在來看式(3-14) ,即 在封閉面S上的積分。在封閉面和導線相截的截面和上的電流密度是只有傳導電流密度(截面S1的電流面密度)和 (截面S2 的電流面密度),而

10、無位移電流密度,即 , 因此,在這兩個截面上面積分為傳導電流 和 ,即: (3-15)圖3-3，電容器及導線電路圖 (3-16) 如圖（3-3），封閉面在電容器極板間部分上的電流密度是位移電流密度 ,而無傳導電流密度,即：。下面求位移電流密度 在穿過電容器的極板間截面積S3的積分。設在圖示的電路中, 圍繞導線取一閉合曲線和一以為邊界且與導線相截的面,由安培環(huán)路定律有: (3-17) 由于傳導電流密度只存在于導線中,因此,如果另取一個同樣以為邊界但不與導線相截卻包括電容器的一個極板的面S3 ,則顯然上式中傳導電流密度在上的面積分即傳導電流流到電容器的一個極板,而在電容器極板間則以位移電流的形式使

11、電流保持連續(xù),即有: (3-18)根據(jù)上述的推導, 由式(14)、(15)、(16)和式(18)得到 在封閉面S 上的積分為: (3-19)可見,式(3-19)與式(3-2) 一樣,即為從場理論出發(fā)導得了路理論的基爾霍夫電流定律。綜上所述，從電磁場理論出發(fā),分別導出了電路理論中著名的基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律,表明電路基爾霍夫定律是電磁場的特殊情形,也可以從場方程導出。因而在電路理論論和電磁理論兩套體系下,電磁場的理論更為普遍,電磁場理論是電路理論的基礎。電路中的基爾霍夫定律的實質(zhì)是電磁場基本規(guī)律的簡化，電路理論和電磁理論的規(guī)律是相互關(guān)聯(lián)的。電路理論只研究由理想化電路元件組成的電路模型,而電路的參數(shù)如電阻、電感、電容及電路基本定律是電磁現(xiàn)象和過程在特定條件下得到的,也就是說只能運用電磁場的知識才能深刻理解。因此,徹底、深刻地了解電磁理論和電路理論的關(guān)系,對培育學生的創(chuàng)新能力和理論聯(lián)系實際具有深遠意義。參考文獻1. 梁燦彬，秦光武，梁竹建著，電磁學第二版，高等教育出版社，2004