專題03-數(shù)列的解答題(綜合提升篇)

1、 23 / 19 專題三數(shù)列的解答題 以等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題 【背一背重點知識】 1 .等差數(shù)列及等比數(shù)列的廣義通項公式：an am (n m)d,an amgn m ; 2個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列必是非零常數(shù)列； 3.等差數(shù)列及等比數(shù)列前 n項和特征設法：Sn An2 Bn,Sn A(gn 1). 【講一講提高技能】 1必備技能：涉及特殊數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)一般用待定系數(shù)法，注重研究首項及公差或公比; 由原數(shù)列抽取或改變項的順序等生成新數(shù)列，一般注重研究生成數(shù)列在新數(shù)列及原數(shù)列的對應關系，通常用“算 兩次”的思想解決問題 2.典型例題： 例1.【2018廣東省深

2、中、華附、省實、廣雅四校聯(lián)考】已知等差數(shù)列 an的前n項和為Sn , 0), an 12 Sn 1 n N (I)求的值; (II)求數(shù)列的前n項和Tn . anan 1 【答案】(I) 1; (II) n 2n 1 【解析】【試題分析】 利用an 1Sn 1 Sn化簡已知得,ST7 1，這是一個等差數(shù)列, 由此求得 Sn的 通項公式，再利用 an Sn Sn 1求得an ,用等差數(shù)列的性質求出 的值.(II)由(I)求得an 2n 1是個等差 數(shù)列，故用裂項求和法求得數(shù)列的前n項和Tn. 【試題解析】 (I)因為產(chǎn)陰J 代入產(chǎn)2瓦+1,可得：耳廠比=2屈+ 1, 整理可得為 町+1)寫因為也

3、注，所屈兒 所以數(shù)列屁是首項為似、公差為1的等差數(shù)列 所以尻二扳十(皿一1)=用+JI匕吒=(” +!一)- 當乳2時,占廠沙訝-3、 當科=1時円=北 因為廠色=2,所兒 若數(shù)列叫為等差數(shù)列，貝U有角一厲二M十1一久二2, 解得兄=1 (II)由(I)可得an 2n 1，所以 anan 1 1 2n 1 2n 1 1 1 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn aa2 a2a3 1 anan 1 即Tn 1 1 2n 1 2n 1 1 1丄亠 2 2n 1 2n 1 【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列 ,等比數(shù)列的概念, 以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R點, 難度不大; 常見的數(shù)列求和的方法

4、有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于 Cnan bn ,其中a“和bn分別 為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于 ，錯位相減法類似于 Cn an bn，其中an為等差數(shù)列, bn為等 比數(shù)列等. an 中，a1 a17 , a? a723. 例2.【2018河北滄州高三上學期教學質量監(jiān)測】在等差數(shù)列 (i)求數(shù)列 an的通項公式; (n)設數(shù)列 2an bn是首項為1,公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列 g的前n項和Sn. 2 【答案】（I） an 3n 2 ； (II )當 q 1 時，Sn n 3n 1 n 3n ;當 q 1 時，Sn n 3n 1 解析試題分折: 由題意可得數(shù)列的公差=-3,

5、首項珂=一1則其通項公式為口廠一3科+2, （II）由題青結合（D 做論有乞二罰一4+獷打分組求和并討論可得： 當百=1曰寸汕二用（知一1）十用二3斥$當？工1日寸屯二川（知一1）十二一 1-Q 試題解析： 解：（I）設等差數(shù)列 an的公差為d，則a2 a7 2 （II） 令Cn an bn，求數(shù)列Cn的前n項和. I答案】（D證明見解析，bn n（ 11）Tn n in1 8 罟 1 1 【解析】試題分析: （I）將條件整理可得 an 1 3an 1，可得an 1 1 3 an -，從而證得數(shù)列 2 2 等比數(shù)列，求出an 3n 2 1后根據(jù)題意可得 b1 d 1 . ，進而求得bn 1 n

6、 . (II)由(I)得 Cn求和時先分組，再分別用錯位相減求 1 1 Cn3n 1 n n 3n n，根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，對數(shù)列 2 2 和及公式求和可得結果. (II) 由（ an 3n ,bnn , -Cn 令Sn 則3Sn 32 32 32 L 33 n 3n 丄 1 2 3n, 1, 32 an 1 1 3 an 1，又 a 13門 h0 , 數(shù)列 an 1 -是首項為 3 3，公比為3的等比數(shù)列 2 2 2 2 2 2 1 3 n 1 3n 3n 1 an 3n an a2 4,a3 13 , 2 2 2 2 試題解析: 由題可得 3an (I) an 1 an an 1 1

7、0, an 0 , an 13an 1, 由題意得：駕11：，解得； 11, - b 1 n 1 n . 得 2Sn 3 32 3n 3n 1 3n n) 3n 3n1 0 , S7 35 ,且 a2, as, an 成 所以Sn 2.【2018四川綿陽南山中學高三二診熱身考試】已知等差數(shù)列 等比數(shù)列. (I)求數(shù)列 an的通項公式; (II )若Tn為數(shù)列 a*an 1 一的前n項和，且存在n 1 N，使得Tn an 10成立，求 的取值范圍. 【答案】(I) an 1; (ll) 【解析】試題分析: (I) 由題意可得 a 2 4d an an 1 ,裂項相消求和Tn 所以存在 的最大值即

8、可解得的取值范圍. 試題解析: (I)由題意可得 2 a 4d 35, aid ai 又因為d 0，所以 a1 2, d 1. 所以an (II)因為 a*an a1 d 35, ai 因為存在 ，使得Tn an 使得 成立. 2 解得a1, d即可求得通項公式; 10d , ,因為存在 N，使得Tn an 1 (II) 0成立，即存在n N ,使得 10d ，即X 1 ，所以 n 2 10成立，所以存在 1 4 2 n 42 n n 1 丄(當且僅當n 2時取等號) 16 n2成立. 2 n 2 求出- 2 n 20成立，即存在 0成立, n 2 n 2 1 所以，即實數(shù)的取值范圍是 16

9、應*世以求遞推數(shù)列的通項公式和求和的綜合題 【背一背重點知識】 an 1 p(an 2. 1 n(n d) 3. an S,n 1 Sn Sn 1, n 2 4.求和方法：累加、累乘、裂項相消、錯位相減 【講一講提高技能I 1 必備技能：會由Sn與an的關系求數(shù)列通項；會對原數(shù)列適當變形構成一個特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列） 進而求出原數(shù)列通項；能根據(jù)數(shù)列通項特征，選用對應方法求數(shù)列前n項的和. 2.典型例題： 例1.【2018江西臨川二中、新余四中高三1月聯(lián)合考試】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn是等 比數(shù)列，滿足a13, b 1 , b2 S2 10, a5 2b2 a3 . （

10、1）求數(shù)列 an和bn的通項公式； (H )令 Cn 2 ,n為奇數(shù) Sn，設數(shù)列Cn的前n項和Tn，求T?n . bn, n為偶數(shù) 【答案】（I） m2n2 4n 1 bn 2an 2n 1 ； (II) 2n 13 【解析】試題分析；設數(shù)列也丿的公羞為山數(shù)列少的公式再中由 + -=10?円一乃廠口畀得 211 (ID由氓二3冬二加+ 1得生二科仗+2、可得口為奇臥q二一二為偶埶時，二2小, n n + 2 可得比=佃斗勺1 -+勺門)+(勺+ 6豐+仏)，利用等羞數(shù)列與等比數(shù)列的求和公那卩可得出- (I)設數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn 的公比為q , 由b S2 10, a5 2b? an

11、 3 2 n 1 2n (II) 由q 3, an 2n n則為 奇數(shù)時， 2 Cn Sn T2n Ci C3 Qn 1 1 1 1 1 3 3 5 d- 1 2 n 1 4 試題解析: 1, 1, 1 n 2n 1 3 1 4 a3，得 q 6 d 3 4d 2q bn2n 得Sn C2C4 1 2n 1 2n 2n 1 【方法點睛】裂項相消法適用于形如 一類是常見的有相鄰兩項的裂項求和, n為偶數(shù)時, 1 2n 1 Qn 2 4n 1 an an 1 如本題; 10, 3 2d, 解得d 2, q 2, n Cn2 23 ?2n 1 (其中數(shù)列an各項均不為零的等差數(shù)列, c為常數(shù))的數(shù)列

12、, 另一類是隔一項的裂項求和，如 (n 1)(n 1) 1 (n 2)或 n(n 2) 例2.【2018廣東珠海市高三3月質量檢測】已知數(shù)列 的前口項和為_，滿足 (I)求數(shù)列卜4的通項; (|)令 片十，求數(shù)列如1的前甘項和EU. 【解析】試題分析： （I）第（1）問，一般利用項和公式求數(shù)列的通項.（II）第（II）問，一般利用錯位相減求數(shù) 【答案】 列牌的前斤項和I I 幾+1- -您= : ar1+2： =22曰十 3X24-十（X 1）x2占S 兩式相減得一7；=21 + 2i+2a- + 2,-/ix2* 于是= .2時+ 2 3 .【2018河南豫南九校高三下學期第一次聯(lián)考】設正項

13、等比數(shù)列an , 34 81，且32,33的等差中項為 3 3i 32. 2 （I）求數(shù)列 3n的通項公式； 1 （II） 若bn lOg 332n 1，數(shù)列 0的前n項和為S.，數(shù)列Cn滿足G, Tn為數(shù)列Cn的前n項和， 4Sn 1 若人n恒成立，求 的取值范圍. 【答案】(I) 3n 3n ( II ) 【解析】【試題分析】（I）利用基本元的思想將已知轉化為 31, q的形式列方程組解出 31, q ,由此得到通項公式.（II） 化簡bn2 n 1,是個等差數(shù)列，求得其前 n項和為n2,利用裂項求和法可求得 Tn的值，代入不等式，利用分 離常數(shù)法可求得 【試題解析】 （I）設等比數(shù)列 3

14、13 ，解得 1 ，所以 q 3 31的公比為q q 0 ，由題意，得34 2381 q 31q3 3-| 31q n 1 on 3n31 q 3 . 2n 1 (II)由(I)得 bnlog33 2n 1 , Sn n b|bn 2 n 1 2n 1 2 n2 111 1 4n2 12 2n 1 2n 1 113 1 1 L 1 1 3 2n 1 2n 1 1 ，所以 2 n 1 max n 2n 1 若Tnn恒成立，則 2n 1 1 n N 2n 1 恒成立，則 4.【2018河北衡水中學高三上學期九?！恳阎跀?shù)列 an中, n 1 ， anan 12. (I)求數(shù)列 an的通項公式; (

15、II )若 bn log 2an，數(shù)列bn的前n項和為Sn， 求Sn . 【答案】(I) an n 1 2 2 , n疋奇, n(II)當n為奇數(shù)時，Sn 22,n是偶. 當n為偶數(shù)時, 【解析】試題分析: 試題解析： (I)因為anan 1 2n，所以當n 2時，務何 2n 1，所以an 1 2 , an 1 所以數(shù)列 an的奇數(shù)項構成等比數(shù)列，偶數(shù)項也構成等比數(shù)列. 2 又a1 1 , a22，所以當n為奇數(shù)時, q n 1n 1 an 1 22 ；當n為偶數(shù)時, an2 22 n 吩，所以 22 日吞 n疋奇 22,n是偶. (II)因為 a11, anan 12n ,bn log2an

16、，所以 bn bn 1 當n為奇數(shù)時，Sn th b2 b3 b4b5Lbn 1bh 當n為偶數(shù)時，Sn b b2 b3b4Lbn 1bn 5.【2018河北邯鄲高三1月教學質量檢測】已知數(shù)列 an 滿足 ano,a 1,n a. 1 2a. 2an . (I)求數(shù)列 an的通項公式; (II)求數(shù)列弘3n 5的前n項和sn. 【答案】(I) an n 2n 1 ； (II) 2n 竺 7n 1 . 2 【解析】試題分析: （I）結合遞推關系可得bn是以1為首項，公比為 n 2的等比數(shù)列, 據(jù)此可得通項公式為an （Il）結合（I）的結論有an 3n n 52n 1 3n 分鐘求和可得 Sn2

17、n 2 3n 7n . 1 . 2 試題解析：（I）因為n an 1 2an 2an，故 an 2 n 1 an ,得 an 1 a 設 bn，所以 bn 1 2bn , Q a n bn 1 bn 2又因為 bi ai 是以1為首項，公比為 2的等比數(shù)列，故 bn 2n1 an n 1 an n 2 ()由(I) 可知 an 3n n 2* 1 3n 5，故 Sn 2n 21 3 20 21 2n 5n 2n 3n2 7n 2 6.【2018 安徽皖南八校咼三第二次 12月）聯(lián)考】已知 an 是等比數(shù)列, bn滿足0 1, b23，且 aib azb Lanbn 3 2n 3 2n. （I）

18、求 an的通項公式和前n項和 Sn ； （n）求 bn的通項公式. 【答案】(I) Sn 2n 1 ; (II)bn 2n 1 . 【解析】試題分析：（I）由 叭 a2b2 Lan0 32 n 3 2n，令 n 1,n 2可解得印 a22，從 而可得an的通項公式和前 n項和Sn ； （II）結合（I）的結論, 可得 L 2n 1 bn 3 2n 3 2n，從而得n 1時, L 2n 2 bn 13 2n 5 n 1 2，兩式相減、化簡即可得b 的通項公式. 試題解析：（I） Qa1b a2b2 L anbn 3 2n 3 2n , 2 aib, 3 2 1 , ab a2b2 3 4 3 2

19、 7, Q b, 1 , b? 3, 2n1， 的前n項和Sn 2n 1 . ( )由 an 2* 1 及ab a2b2 L an b 3 2n n 3 2 F曰 得 b 2b2 22b3 L 2n1 bn 3 2n n 3 2 n 1時， bi 2b2 22b3 L2n 2bn 1 3 2n 5 2n1 , 2n1b 3 2n 3 2n 3 2 n 5 2* 1 2n 1 n 1 2 , bn 2n Q 2 11 1 b1 , 2 2 1 3 b2, bn 的通項公式為 bn 2n 1 a2 an 7.【2018上海浦東新區(qū)高三一模】 已知等差數(shù)列 an的公差為 2, 1， an 其前n項和

20、Sn Q an是等比數(shù)列, 2，an的通項公式為 a1 2 pn 2n (I)求p的值及an的通項公式; an n 2k 1* (II)在等比數(shù)列 0中，b2印，b3 a2 4，令Cn ( k N )， bn n 2k 求數(shù)列g的前n項和Tn. n n 1 3 3n 1 * ；n 2k, k N 【答案】(I) p 1, an 2n 1 ； (II )Tn 2 8 . n 1 n 2 n 33 * ；n 2k 1,k N 2 8 【解析】試題分析: (I )由 Sn 2 pn 2n求得 p的值及 an 的通項公式； n 1 (II)由題意可得：bn 3 , 分奇偶項討論，分組求和即可. 試題解

21、析： 2 p 2 * * (I ) Q Sn pn 2n , an ,n N , an 2pn p 2,n N , 2pn p 2,n 2 an 1an 2p 2 , p 1, an 3 n 1 2 2n 1 . (II ) d a1 3,b3 a2 4 9 , - q 3, bn b?q n 23 3n 23n 1 , 當 n 2k, k * N 時，Tn a1 b2 :a3 b4 L a2k 1 b2k a1a3 L +a2k 1 b2 b4 L b?k (3 7 L +4k-1) 3 27 L _2k 1 3 k 3 4k 1 k 2k 1 2k 1,k N時，n 1是偶數(shù), Tn Tn

22、 1 bn 1 3n 3n 3 Tn n 3 31 8；n n 33 ；n 8 2k,k N 2k 1,k (II )令 bnan an，求數(shù)列bn的前n項和 3 Sn. 【答案】（I）答案見解析; (II)s.2 n 2 3n 【解析】試題分析：（I） an 1 an可化為 an 1 1 an n 由此數(shù)列 構成首項為1,公比為 等比數(shù)列，從而可得an 的通項公式；（II）由（I）可得bn 2 1 3n 2 n 3n 2n 1 3n ,利用錯位相減法可得數(shù)列 tn 的前n項和sn. an 1 n 1 故數(shù)列 2 n 構成首項為 1, 公比為 1 1的等比數(shù)列. 3 從而 a. 2 n 1 3

23、n 1， 2 即 anQn 1 . 3 (II )由 bn 2 n 1 2 n 2n 1 5 得 Sn1 3 L 2n 1 1 s A A l 3233 2n 1 2n 1 3 3n 3n 1 3n 3n 3 3n 試題解析：（I）由條件得 2 1 ，又n 1時，卑 1, 3 nn 1 2n 1 1 1 兩式相減得：2S. 1 2-3 L 333 3n1 3Sn 1 21 ii 2n 1 3n 1 2n 1 3n 1 3n 27 / 19 f x的圖象過原點，對x R，恒有 9. 【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學期第一次聯(lián)考】二次函數(shù) 2 2 2x 1 f x x 6x 2 成立，設數(shù)

24、列 an 滿足 an an 1 f an , an 0 (I) 求證：對 x R，恒有2x21 x2 6x 2成立； (II) 求函數(shù)f x的表達式； (iii )設數(shù)列 a 前n項和為Sn，求S2018的值. 【答案】(I)證明見解析; 2 (II) f x x 2x ；2018. 【解析】試題分析：(I) 左右兩側做差，結合代數(shù)式的性質可證得 x2 6x 2x2 即對 恒有: 2x2 1 x2 6x 2成立；(II)由已知條件可設 f 2 ax bx, 給定特殊值，令 從而可得: 3，則f 3, b a 3，從而有a 0恒成立，據(jù)此可 知a 2 組求和有: 試題解析: 所以恒有: a1 1

25、，則 f x 2x .結合(I) (II )的結論整理計算可得: an 1 an 2，據(jù)此分 a2 a3a4 a2017a2018 L 2 2018. (I) x2 6x 2 2x2 1 2 3x 6x 3 3 x 0 (僅當x 1時，取 2x2 6x 2成立. (II )由已知條件可設f xax2 bx, 2 則2x 1 6x 2中，令x 1 , 從而可得：3 f 13，所以f 13，即b a 3, 222 又因為 2x 1 f x ax a 3 x恒成立，即 a 2 x a 3 x 2 0恒成立, 當a 20時，x 10，不合題意舍去， a 2 0 a 2 2 當 時, 即2a 1,所以 b 2，所以 f xx 2x. 0 a 10 (III) a*an 1 f 2 anan 2an an 0 an 1 an2an 1 an 2, 所以S2018 ai a2a3 a4La20i7 a20i82 2 L 2 2018, 即 S20182018 . 10. 【2018江蘇南京師大附中、 天一、海門、淮陰四校高三聯(lián)考】 如圖，一只螞蟻從單位正方體 ABCD AIB1C1D1 n步回到點A的概率pn . 衛(wèi)】 (I)分別寫出p1, p2的值; (II)設頂點A出發(fā)經(jīng)過n步到達點C的概率