2021年高三數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷及答案（三）

1、第卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知全集，則集合等于A(yíng)BCD【答案】D【解析】【分析】求出A與B的并集，根據(jù)全集UR，求出并集的補(bǔ)集即可【詳解】全集，或，則，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵2若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A是實(shí)數(shù)B是純虛數(shù)CD【答案】D【解析】分析：根據(jù)題中所給的條件，將兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)果一一對(duì)照，從而選出滿(mǎn)足條件的項(xiàng).詳解：，是實(shí)數(shù)，故A正確，是純虛數(shù)，故B正確，故C正確，所以D項(xiàng)不正確，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是復(fù)

2、數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，在做題的時(shí)候，需要對(duì)選項(xiàng)中的問(wèn)題一一檢驗(yàn)，從而找到正確的結(jié)果.3已知，則下列結(jié)論中不正確的是（）Amn1Bn1m0C1nm0D1mn0【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)原不等式為，再對(duì)分四種情況討論即得解.【詳解】由題得，所以，當(dāng)時(shí)，所以,所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，所以，所以選項(xiàng)D正確；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，所以選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立.所以選項(xiàng)C不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4某單位去年的開(kāi)支分布的折線(xiàn)圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開(kāi)支（單位：萬(wàn)元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開(kāi)支

3、占總開(kāi)支的百分比為（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由折線(xiàn)圖找出水、電、交通開(kāi)支占總開(kāi)支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開(kāi)支占水、電、交通開(kāi)支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比.【詳解】水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.5已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1，則f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2019)=（ ）A1B0C1D2019【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)滿(mǎn)足f（1x）f（x+1），分析可得f（x）f（x+2），結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得f（x）f（x+2），則函數(shù)f（x）為周期為4的周

4、期函數(shù)，又由f（1）、f（-1）與f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=f（2017）1，f（3）=f（7）= f（2019）=-1，f（2）=f（4）f（6）f（8）f（2018）0，將其相加即可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1x）f（x+1），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，則有f（x）f（x+2），又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）-f（x），則有f（x）-f（x+2），則f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）則函數(shù)f（x）為周期為4的周期函數(shù)，又由f（1）1，則f（1）=f（5）=f（2017）1，f（-1）=- f（1）=-1，

5、則f（3）=f（7）= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）-f（2），則f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）f（6）f（8）f（2018）0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）505-505+0=0；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)周期性的應(yīng)用，注意分析與利用函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題6若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x+2y=1，則x+y的最大值是（ ）A-4B-2C2D4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【詳解】由題得2x+2y22x2y=22x+y,(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-1時(shí)取等)所以122x+y，142x+y,2-22x+y，所

6、以x+y-2.所以x+y的最大值為-2.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7等差數(shù)列中，則（ ）A8B6C4D3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，求解，進(jìn)而可求得，即可得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，又由，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C函數(shù)的最小正周期為D當(dāng)時(shí)

7、，函數(shù)的圖象與直線(xiàn)圍成的封閉圖形面積為【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得f（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論【詳解】解：函數(shù)的部分圖象，可得A2，2再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2，f（x）2sin（2x）令x，求得f（x）2，為函數(shù)的最小值，故A錯(cuò)誤；令x，求得f（x）1，不是函數(shù)的最值，故B錯(cuò)誤；函數(shù)f（2x）2sin（4x）的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，2x，函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)y2圍成的封閉圖形為x、x、y2、y2構(gòu)成的矩形的面積的一半，矩形的面積為（2+2）4，故函數(shù)f（x）的圖象與直

8、線(xiàn)y2圍成的封閉圖形面積為2，故D正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（x+）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題9中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，表示三角形的面積，且滿(mǎn)足，則（ ）ABC或D【答案】B【解析】在A(yíng)BC中，S=acsinB，cosB=代入原式子得到，tanB=，B（0，），B= 故答案為B10如圖中共頂點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關(guān)系為()Ae1e2e3e4 Be2e1e3e4Ce1e2e4e3 De2e1e4e3【答案】C【解析】試題分析：先根據(jù)橢圓越扁離心

9、率越大判斷a1、a2的大小，再由雙曲線(xiàn)開(kāi)口越大離心率越大判斷a3、a4的大小，最后根據(jù)橢圓離心率大于0小于1并且拋物線(xiàn)離心率大于1可得到最后答案解：根據(jù)橢圓越扁離心率越大可得到0a1a21根據(jù)雙曲線(xiàn)開(kāi)口越大離心率越大得到1a3a4可得到a1a2a3a4故選A考點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)的共同特征11九章算術(shù)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鰲臑.在鰲臑中，平面，鰲臑的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】四個(gè)面都是直角三角形，由得，然后證明，這樣PC中點(diǎn)O，就是外接球球心，易求得其半徑，得面積【詳解】四棱錐

10、的四個(gè)面都是直角三角形，又平面，AB是PB在平面ABC上的射影，取PC中點(diǎn)O，則O是外接球球心由得，又，則，所以球表面積為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是尋找外接球的球心：三棱錐的外接球的球心一定在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線(xiàn)上12已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)， ，若，則的大小關(guān)系正確的是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x），由g（x），可得函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到g（x）為偶函數(shù)，即可判斷【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（x），g（x），xf（x）f（x）0，g（x）0，函數(shù)g（x）在（0，+）單調(diào)遞減函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，

11、cg（3）g（3），ag（e），bg（ln2），g（3）g（e）g（ln2），cab，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行比較大小，考查了推理能力，屬于中檔題第卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線(xiàn)上。13已知向量滿(mǎn)足，的夾角為，則_【答案】 【解析】【分析】先計(jì)算，再由展開(kāi)計(jì)算即可得解.【詳解】由，的夾角為，得.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.14已知程序框圖如圖所示，其功能是求一個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)和，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 【答案】【解析】試題分析：程序執(zhí)行過(guò)程中的數(shù)據(jù)變

12、化如下：不成立，輸出，是數(shù)列的和，因此數(shù)列通項(xiàng)公式為考點(diǎn)：1程序框圖；2數(shù)列通項(xiàng)公式15已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為， 且 ，則的解集為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)設(shè)，再分析得到在上是減函數(shù),且，再解不等式得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以在上是減函數(shù),且.所以的解集即是的解集。所以.故答案為：【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)設(shè)，再分析得到在上是減函數(shù),且.16已知是橢圓（）和雙曲線(xiàn)（）的一個(gè)交點(diǎn)，是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，分別為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，若，則的最小值為_(kāi)【答案】.【

13、解析】【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，那么，根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，得到，根據(jù)余弦定理，整理得到，化為，根據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，那么，因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)的半焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，有：，解得，在中，由余弦定理，可得：，即，整理得，所以，又，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率的相關(guān)計(jì)算，熟記橢圓與雙曲線(xiàn)的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，即可求解，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個(gè)考生都必須

14、作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求滿(mǎn)足等式的正整數(shù)的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，解出即可【詳解】（1）由為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由，得由，解得【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題18如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)(1)求證：平面PAC平面PBC；

15、(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值【答案】（1）見(jiàn)解析（2）64【解析】(1)由AB是圓的直徑，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因?yàn)锽C平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)過(guò)C作CMAP，則CM平面ABC.如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系在RtABC中，因?yàn)锳B2，AC1，所以BC3.因?yàn)镻A1，所以A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1)故CB(3，0,0)，CP(0,1,1)設(shè)平面BCP的法向量為n1(x

16、1，y1，z1)，則n1CB=0,n1CP=0所以y1+z10，3x10，不妨令y11，則n1(0,1，1)因?yàn)锳P(0,0,1)，AB(3，1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2(x2，y2，z2)，則n2AP=0,n2AB=0所以不妨令x21，則n2(1，3，0)于是cosn1，n232264.由題圖可判斷二面角為銳角，所以二面角CPBA的余弦值為64.19從某市的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名同學(xué)的體重進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重超過(guò)60kg的概率；(2)假設(shè)該市高一學(xué)生的體重X服從正態(tài)分布N(57，2).利用(1)的結(jié)論估計(jì)該高一某個(gè)學(xué)

17、生體重介于5457kg之間的概率；從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記體重介于5457kg之間的人數(shù)為Y，利用(1)的結(jié)論，求Y的分布列.【答案】（1）.（2）.見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間概率得體重超過(guò)的頻率為后兩個(gè)小矩形的面積；（2）；因?yàn)?，根?jù)二項(xiàng)分布求概率并列分布列.【詳解】(1) 這400名學(xué)生中，體重超過(guò)的頻率為，由此估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重超過(guò)的概率為. (2)，.即高一某個(gè)學(xué)生體重介于5457 kg之間的概率為 .因?yàn)樵撌懈咭粚W(xué)生總體很大，所以從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，可以視為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其中體重介于之間的人數(shù)，.所以

18、的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，意在考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)于此類(lèi)考題，要注意認(rèn)真審題，從數(shù)學(xué)與實(shí)際生活兩個(gè)角度來(lái)理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì),將問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化為古典概型，獨(dú)立事件、互斥事件等概率模型求解，因此對(duì)概率型應(yīng)用性問(wèn)題，理解是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.20已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)且和直線(xiàn)：相切（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軌跡交于，兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)，的斜率之和為定值【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)，由此能求出動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，利用韋達(dá)定理、斜率公式，即可證明結(jié)論【詳解】由題意得

19、：圓心到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)圓心的軌跡方程為（），圓心P的軌跡方程為：；（2）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為， 聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可得，即直線(xiàn)，的斜率之和為定值【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，求軌跡方程常用的方法有直接法、相關(guān)點(diǎn)法等，解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系常用代數(shù)法，屬于?？碱}.21已知函數(shù)f(x)=x2+(x2-3x)lnx （1）求函數(shù)f(x)在x=e處的切線(xiàn)方程 （2）對(duì)任意的x)都存在正實(shí)數(shù)a，使得方程f(x)=a至少有2個(gè)實(shí)根, 求a的最小值【答案】（1）(5e-6)x-y-3e2+3e=0（2）1【解析】分析

20、：（1）求出,由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由的值，可得切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）首先可得是方程的根，只需方程另外至少一個(gè)根即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，可得函數(shù)的極值與最值，從而可得的最大值.詳解：(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx k=f/(e)=5e-6切點(diǎn)為：(e,2-3e) 切線(xiàn)方程為： y-2+3e=(5e-6)(x-e) (5e-6)x-y-3+3e=0 （2）令f/(x)=0 即3x-3+(2x-3)lnx=0 顯然x=1是方程的根 而f(x)=2lnx 易知f(x)在（0，）上遞增，容易驗(yàn)證f()=3-3e f(1), 存在x1使得f(x1)=0 所以當(dāng)x1)時(shí)，f(x)， f/(x)遞減，當(dāng)x1，時(shí)，f(x)， f(x)遞增且f(x1)(1)=0，又f()=，故存在x2x1)使得f(x2) =0，列出下表：x(0,x2)x2(x2,1)1(1,)f/(x)+0-0+f(x)增極大值減極小值增所以f(x)在x=x2處取極大值；在處取得極小值.因f(1)=1；x0時(shí)f(x) 作出f(x)的示意圖可知： a的最小值為1點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)切線(xiàn)方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線(xiàn)切線(xiàn)方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線(xiàn)斜率（當(dāng)曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與