隨機(jī)過程分析

1、隨機(jī)過程分析摘要 隨著科學(xué)的發(fā)展， 數(shù)學(xué)在我們?nèi)粘５耐ㄐ朋w系中有著越來越重 的地位，因?yàn)樵诳茖W(xué)研究中， 只有借助于數(shù)學(xué)才能精確地描述一個(gè)現(xiàn) 象的不同量之間的關(guān)系 , 從最簡單的加減乘除，到復(fù)雜的建模思想等 等。其中，隨機(jī)過程作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，更是在整個(gè)通信過程 中發(fā)揮著不可小覷的作用。 如何全面的對隨機(jī)信號進(jìn)行系統(tǒng)和理論的 分析是現(xiàn)在通信的關(guān)鍵，也是今后通信業(yè)能否取得巨大進(jìn)步的關(guān) 鍵。關(guān)鍵字 通信系統(tǒng) 隨機(jī)過程 噪聲 通信中很多需要進(jìn)行分析的信號都是隨機(jī)信號。 隨機(jī)變量、 隨機(jī) 過程是隨機(jī)分析的兩個(gè)基本概念。 實(shí)際上很多通信中需要處理或者需 要分析的信號都可以看成是一個(gè)隨機(jī)變量， 利用在

2、系統(tǒng)中每次需要傳 送的信源數(shù)據(jù)流，就可以看成是一個(gè)隨機(jī)變量。例如，在一定時(shí)間內(nèi) 電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。 也就是說把隨某個(gè)參量 而變化的隨機(jī)變量統(tǒng)稱為隨機(jī)函數(shù)； 把以時(shí)間 t 為參變量的隨機(jī)函數(shù) 稱為隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程包括隨機(jī)信號和隨進(jìn)噪聲。 如果信號的某個(gè) 或某幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知，這種信號就稱為隨機(jī)信號； 在通信系統(tǒng)中不能預(yù)測的噪聲就稱為隨機(jī)噪聲。 下面對隨機(jī)過程進(jìn)行 分析。一、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性1、數(shù)學(xué)期望 : 表示隨機(jī)過程的 n 個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動中心，即均值a(t) EX(t)xpi(x;t)dxi2、 方差：表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對于均值a(t)的偏離程

3、度。即均方值與均值平方之差。2(t) DX(t) EX(t) E(X(t)2EX(t) a(t)2 x a(t)2 山以“人3、自協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)：衡量隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)來表示。(1) 自協(xié)方差函數(shù)定義Cxt) EX(tJ a(tJX(t2)aSXi a(tjx2 a(t2)p(xix;ti,t2)dxidx2式中t1與t2是任意的兩個(gè)時(shí)刻；a(t1)與a(t2)為在t1及t2得到的數(shù)學(xué)期望；用途：用協(xié)方差來判斷同一隨機(jī)過程的兩個(gè)變量是否相關(guān)。(2) 自相關(guān)函數(shù)Rx (ti,t2)EX(ti)X (t2 )X1X2 P2(Xi,X

4、2；ti,t2)dXidX2用途：a用來判斷廣義平穩(wěn)；b用來求解隨機(jī)過程的功率譜密度及平均功率。二、平穩(wěn)隨機(jī)過程1、定義(廣義與狹義)：(眄,仏，抵冷，如已4(孔直廣爭需加+匸七十匚q十刃則稱X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。該平穩(wěn)稱為嚴(yán)格平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)。廣義平穩(wěn)概念：若一個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無關(guān)， 而其相關(guān)函數(shù)僅與T有關(guān)，則稱這個(gè)隨機(jī)過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此, 研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有很大的實(shí)際意義。2、平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征1、均值：a(t) a ；2、 方差：2(t) 2 ；3、自相關(guān)函數(shù)：R(ti,t2) R()4、各態(tài)歷經(jīng)性

5、概念：對于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程，如果統(tǒng)計(jì)平均=時(shí)間平均，這 個(gè)隨機(jī)過程就叫做各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程。a a即:2飛R()RT5一般來說,在一個(gè)隨機(jī)過程中，不同樣本函數(shù)的時(shí)間平均值是不 一定相同的，而集平均則是一定的。因此,一般的隨機(jī)過程的時(shí)間平均 工集平均,只有平穩(wěn)隨機(jī)過程才有可能是各態(tài)歷經(jīng)的。即各態(tài)歷經(jīng)的 隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)的隨機(jī)過程則需要滿足一定的條件才 是各態(tài)歷經(jīng)的。3、平穩(wěn)隨機(jī)過程的頻譜特性(1) 、自相關(guān)函數(shù)我們已經(jīng)知道，平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和時(shí)間t無關(guān)，而只與時(shí)間間隔T有關(guān)，即R( ) E(X(t)X(t )R(0) EX2(t) SR(0)為X(t)的均方值(平均功率

6、)。對偶性 R(t ) =R(t)即自相關(guān)函數(shù)是T的偶函數(shù)。(2) 、功率譜密度對于任意的功率信號f(t)的功率譜為:而對于一個(gè)隨機(jī)過程來說，E (t)有許許多多次實(shí)現(xiàn)(即許許多多個(gè)樣本函數(shù)，其中某一次實(shí)現(xiàn)也是功率信號，其功率譜密度可以用上式表 示。但它不能作為隨機(jī)過程的功率譜密度。隨機(jī)過程的功率譜密度可以看作是每一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均(即數(shù)學(xué)期望)。設(shè)E (t) 一次實(shí)現(xiàn)的截?cái)嗪瘮?shù)為E T(t) , E T(t)的付氏變換為FT(),2則該樣本函數(shù)的功率譜為：PXlim Xt；w)這樣，整個(gè)隨機(jī)過程的平均功率譜為：2 2 |Xt(w)|e|Xt(w)| Px (w) EPx(w)

7、 EHm HmT該隨機(jī)過程的平均功率為： P 右Px( )d且滿足：Px( ) R()三、通信中如何應(yīng)用隨機(jī)過程在通信系統(tǒng)中， 編碼過程分為信源編碼和信道編碼兩種， 信源編 碼是為了壓縮信息之間的相關(guān)性， 最大限度提高傳信率， 目的在于提 高通信效率；而信道編碼則相反，通過引入相關(guān)性，使信息具有一定 的糾錯(cuò)和檢錯(cuò)的能力從而提高傳輸信息的可靠性。對于信道編碼，由于信道中存在隨機(jī)噪聲，或者隨機(jī)干擾，使得 經(jīng)過信道傳輸后所接收到的碼元與發(fā)送碼元之間存在差異， 這種差異 就是傳輸產(chǎn)生的差錯(cuò)。一般，信道噪聲，干擾越大，碼元產(chǎn)生差錯(cuò)的 概率也就越大。所以信道編碼的任務(wù)就是構(gòu)造出以最小冗余度代價(jià)換取最大抗

8、干擾性能的碼字組合。 從信道編碼的構(gòu)造方法看， 其基本思路是根據(jù) 一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中加入一些人為多余的碼字。 這些碼字 的引入時(shí)信息之間具有相關(guān)性，雖然降低了信息所能攜帶的信息量， 但是通過相關(guān)性可以克服由于隨機(jī)噪聲引入的誤碼情況。四、隨機(jī)過程在通信中的具體應(yīng)用1、馬爾可夫過程的應(yīng)用馬爾可夫隨機(jī)過程的發(fā)展史說明了理論與實(shí)際之間的密切關(guān)系。 許多研究方向的提出，歸根到底是有其實(shí)際背景的。反過來，當(dāng)這些 方向被深入研究后，又可指導(dǎo)實(shí)踐，進(jìn)一步擴(kuò)大和深化應(yīng)用范圍。下 面簡略介紹一下馬爾可夫隨機(jī)過程在通信方面的應(yīng)用情況。許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機(jī)器損修，病人候診， 紅綠燈交換，存

9、貨控制，水庫調(diào)度，購貨排隊(duì)，等等，都可用一類概 率模型來描述。 這類概率模型涉及的過程叫排隊(duì)過程， 它是點(diǎn)過程的 特例。當(dāng)把顧客到達(dá)和服務(wù)所需時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律研究清楚后， 就可以 合理安排服務(wù)點(diǎn)。在通信、雷達(dá)探測、地震探測等領(lǐng)域中，都有傳遞信號與接收信 號的問題。 傳遞信號時(shí)會受到噪聲的干擾， 為了準(zhǔn)確地傳遞和接收信 號，就要把干擾的性質(zhì)分析清楚，然后采取辦法消除干擾。這是信息 論的主要目的。 噪聲本身是隨機(jī)的， 所以概率論是信息論研究中必不 可少的工具。信息論中的濾波問題就是研究在接收信號時(shí)如何最大限 度地消除噪聲的干擾， 而編碼問題則是研究采取什么樣的手段發(fā)射信 號，能最大限度地抵抗干擾。

10、在空間科學(xué)和工業(yè)生產(chǎn)的自動化技術(shù)中 需要用到信息論和控制理論， 而研究帶隨機(jī)干擾的控制問題， 也要用 到馬爾可夫隨機(jī)過程。2、馬爾科夫鏈在分析頻譜占用情況時(shí)的應(yīng)用馬爾可夫過程是一個(gè)具有無后效性的隨機(jī)過程， 無后效性是指隨 機(jī)過程在時(shí)刻 t 的狀態(tài)已知的條件下， 在時(shí)刻 t+1 所處狀態(tài)僅與時(shí)刻 t 的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時(shí)刻 t 以前的狀態(tài)都無關(guān)。 那些時(shí)間離散、 狀態(tài)離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。頻譜在無線通信中是稀缺的資源。 傳統(tǒng)的頻譜分配方式靜態(tài)地分 配頻譜，頻譜利用率很低， 很多時(shí)候頻譜并沒有被完全利用，而近年 來對無線服務(wù)的需求不斷增大， 因此頻譜資源日益緊張。 而以

11、馬爾科 夫鏈為原理的認(rèn)知無線電技術(shù)可以有效地解決頻譜資源緊張問題。 認(rèn) 知無線電是一種智能通信系統(tǒng)。 具有認(rèn)知功能的無線通信設(shè)備可以感 知周圍的環(huán)境， 再利用已經(jīng)分配給授權(quán)用戶， 但在某一特定的時(shí)刻和 環(huán)境下并沒有被占用的頻帶，即動態(tài)再利用“頻譜空穴”；并能夠根 據(jù)輸入激勵(lì)的變化實(shí)時(shí)地調(diào)整其參數(shù)，在有限信號空間中以最優(yōu)的方 式有效地傳送信息，以實(shí)現(xiàn)無論何時(shí)何地都能保證通信的高可靠性和 無線頻譜利用的高效性。頻段狀態(tài)實(shí)時(shí)預(yù)測模型一般情況下 CR將待查的頻段分為以下3 種不同的情況：（1）黑空：被主用戶的原始分配業(yè)務(wù)大部分占據(jù)， 存在 高功率的干擾，不能被感知用戶使用。（2）灰空:被授權(quán)用戶的原始

12、分 配業(yè)務(wù)部分占用，存在一定程度的功率干擾，基本不被感知用戶使用。（3）白空:末被授權(quán)用戶的原始分配業(yè)務(wù)占用， 僅存在環(huán)境噪聲，可以 被感知用戶非授權(quán)地使用。為了能更好地進(jìn)行頻譜共享，對待查頻段 這3種情況，有必要利用馬氏鏈建模來實(shí)時(shí)估計(jì)和預(yù)測狀態(tài)變化情況， 為頻譜共享和動態(tài)頻譜接入提供參考。假如，經(jīng)過一段時(shí)間的檢測并通過概率統(tǒng)計(jì)分析，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為1-a-b ab 、灰空c1 -c-ddA fe狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為根據(jù)馬爾可夫原理，大多數(shù)情況下，隨著時(shí)間的推進(jìn)，馬爾可夫過程都會演化到一個(gè)穩(wěn)態(tài)概率分布。根據(jù)平穩(wěn)分布的公式黑空+灰空+白空=1黑空x( 1-a-b ) +灰空x C+

13、白空x f=黑空黑空x b+灰空x d+白空x( 1-f-e )二白空可分別求得黑空、灰空、白空，再根據(jù)檢測周期T,可分別求得平均返回時(shí)間，這樣就可以為 CF優(yōu)化動態(tài)頻譜分配提供參考。3、排隊(duì)論在通信網(wǎng)中的運(yùn)用排隊(duì)論又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，主要解決與隨機(jī)到來、排隊(duì)服務(wù)現(xiàn)象有關(guān)的應(yīng)用問題。是研究系統(tǒng)由于隨機(jī)因素的干擾而出現(xiàn)排隊(duì)(或擁塞)現(xiàn)象的規(guī)律的一門學(xué)科，排隊(duì)論的創(chuàng)始人Er la n g是為了解決電 話交換機(jī)容量的設(shè)計(jì)問題而提出排隊(duì)論。它適用于一切服務(wù)系統(tǒng)，包括通信系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)等。隨著電子計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展和更新，通信網(wǎng)的建立和完善，信息科學(xué)及控制理論的蓬勃發(fā)展均涉及到最優(yōu)設(shè) 計(jì)與最佳服務(wù)問題，從

14、而使排隊(duì)論理論與應(yīng)用得到發(fā)展。顧客通過網(wǎng)絡(luò)必須經(jīng)過三個(gè)環(huán)節(jié)，即顧客到達(dá)、排隊(duì)等候處理(服 務(wù))、離去。如圖：顧客到達(dá)顧客皚去顧客排隊(duì)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則排隊(duì)系統(tǒng)的組成包括三個(gè)部分：1.輸入過程2.排隊(duì)規(guī)則3.服務(wù) 機(jī)構(gòu)。其中，在輸入過程中，顧客的相繼到達(dá)時(shí)間間隔可分為確定型 和隨機(jī)型，顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式可以逐個(gè)或成批 ；顧客到達(dá)系統(tǒng)可以 是獨(dú)立的或相關(guān)的，輸入過程可以是平穩(wěn)、馬氏、齊次的。排隊(duì)規(guī)則 可分為損失制，等待制和混合制。(1)損失制，顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，若系 統(tǒng)中所有服務(wù)窗均被占用，則到達(dá)的顧客隨即離去，比如打電話時(shí)碰 到占線，計(jì)算機(jī)限定的內(nèi)存等均為此種情況；(2)等待制，顧客到達(dá)

15、系 統(tǒng)時(shí),雖發(fā)現(xiàn)服務(wù)窗均忙著，但系統(tǒng)設(shè)有場地供顧客排隊(duì)等待之用，于 是到達(dá)系統(tǒng)的顧客按排隊(duì)規(guī)則進(jìn)行排隊(duì)等候服務(wù)；(3)混合制，它是損 失制與等待制混合組成的排隊(duì)系統(tǒng)，此系統(tǒng)僅允許有限個(gè)顧客排隊(duì)等 候排隊(duì)。服務(wù)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)可以一個(gè)窗口或多個(gè)窗口為顧客進(jìn)行服務(wù)各窗 口的服務(wù)時(shí)間可以是確定性或隨機(jī)型，顧客在系統(tǒng)內(nèi)逗留的時(shí)間均值 Ws顧客排隊(duì)等候服務(wù)的時(shí)間均值 Wq服務(wù)時(shí)間的均值t顯然 Ws=Wq+t我們可以講通信網(wǎng)帶入到上述理論中， 與排隊(duì)論中的術(shù)語相對應(yīng) 信道數(shù)m相當(dāng)于窗口數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)的平均呼叫數(shù)相當(dāng)于顧客的到達(dá) 率入，每次呼叫占用線路的平均時(shí)間相當(dāng)于平均服務(wù)時(shí)間。排隊(duì)系統(tǒng) 模型, 相當(dāng)于電話網(wǎng)中一個(gè)具有轉(zhuǎn)發(fā)功能節(jié)點(diǎn)上的業(yè)務(wù)情況。在通信 過程中, 往往要經(jīng)過通信路徑上的轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點(diǎn) , 因