用單擺測量重力加速度的原理及大擺角時(shí)的等時(shí)性

1、用單擺測量重力加速度的原理及大擺角時(shí)的等時(shí)性一、引言一個小球和一條細(xì)線就可以組成一個單擺， 如圖 1 所示。單 擺是一個很簡單的物理模型， 因蘊(yùn)涵重要的物理思想， 成為簡諧 振動、非線性物理等教學(xué)中必講的內(nèi)容之一。 同時(shí)由于在一定條 件下具有解析解， 單擺成為測量加速度的一個重要方法。 用單擺 測重力加速度實(shí)驗(yàn)可見于中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)及部分大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教 材中， 由于中學(xué)生還未學(xué)習(xí)微分方程， 一般教材會直接給出周期 的計(jì)算公式， 中學(xué)生對公式的由來感到疑惑。 大學(xué)生學(xué)習(xí)過微分 方程之后，他們又會對“擺角必須小于 5 度”的限制條件產(chǎn)生懷 疑：為什么加上這個條件？擺角大于 5 度時(shí)，單擺還具有等時(shí)性

2、嗎？這是學(xué)生經(jīng)常問的問題， 然而許多物理實(shí)驗(yàn)教材并未給出解 答。與此同時(shí)，還有一些粗心的同學(xué)，不管老師怎么強(qiáng)調(diào)，他依 然會使用大擺角進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， 那么這些同學(xué)的測量結(jié)果誤差多大？ 本文試圖從定性及定量的角度進(jìn)行回答。二、運(yùn)動方程單擺雖然簡單， 卻處在一個非常復(fù)雜的物理背景之下， 許多 因素都會影響它的運(yùn)動， 進(jìn)而影響它的運(yùn)動方程的形式。 限于篇 幅，本文不考慮細(xì)線的質(zhì)量和伸縮、 球的大小、 各種阻力及浮力。 設(shè)細(xì)線長為I，小球的質(zhì)量為 m重力加速度為g,方向豎直向 下，擺線與豎直方向角位移為 e，平衡位置右邊為正，左邊為 負(fù)。設(shè)z軸通過點(diǎn)0且垂直紙面，向外為正方向。小球從夾角9 0 釋放，初速為

3、 0。本文將從轉(zhuǎn)動定律和機(jī)械能守恒兩種角度建立 單擺的運(yùn)動方程。1. 轉(zhuǎn)動定律小球只受重力mg和細(xì)線對其的拉力F,方向分別為豎直向 下和沿細(xì)線方向指向點(diǎn) 0小球的位矢為r，模為細(xì)線長I，小 球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=ml2。由轉(zhuǎn)動定律可知：M=Ja (1)M為力矩，a為角加速度。r x( mg+F =mI2 a (2)r與F夾角為180度，矢量積的大小為0。圖1所示的角位置 9 指向 z 軸正方向， r 與 g 的矢量積指向 z 軸負(fù)方向，因此 有：-lmgsin 9 =ml2d29 dt2 ( 3)d29 dt2+glsin 9 =0( 4)令3 =gl (5)可得單擺的運(yùn)動方程為：d29 d

4、t2+ 3 2sin 9 =0( 6)2. 機(jī)械能守恒定律由于不考慮細(xì)線伸縮，拉力 F 始終與小球的運(yùn)動方向垂直， 不做功；只有重力做功，而重力為保守力，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。 設(shè)小球運(yùn)動到圖1所示位置時(shí)速度大小為 v，細(xì)線與豎直方向夾 角為e，則有：mgl （1-cos e ） +12mv2=mgl （1-cos e 0）（ 7）對方程（ 7）兩邊進(jìn)行微分可得：mglsin e de +mvdv=0（ 8）由于只有切向速度， v=vt ，且 vt=d （l e ） dt ，兩邊同時(shí)除 以 dt 可得：mglsin e de dt+mvdvtdt=0 （9）mgsine d（l e ） dt+md

5、（l e ） dtd2 （l e ） dt2=0（10）化簡后即得式（ 4）。三、單擺的等時(shí)性解出式（ 6）中角度與時(shí)間的關(guān)系，即可得出單擺是否具有 等時(shí)性，但其為二階非線性微分方程，沒有初等函數(shù)形式的解。 當(dāng)e較小時(shí)，tan ee，式（6）變?yōu)槎A常系數(shù)齊次微分方 程：d2e dt2+ 3 2e =0 （11）其特解為三角函數(shù)：e =e 0cos3 t （12）可求出其周期為：T0=2n 3 =2n lg （13）這就是常見的單擺周期公式，也是計(jì)算重力加速度的公式。因此，當(dāng)e較小時(shí)，單擺具有等時(shí)性。那么大擺角時(shí)，單擺還 具有等時(shí)性嗎？答案是肯定的，理由為：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，那 么當(dāng)細(xì)線的長度

6、、小球的質(zhì)量、初始位置及初始速度確定之后， 小球在每一個位置具有的勢能是確定的， 動能也是確定的， 因此 速度也是確定的，擺過任何的角微元 de 所用的時(shí)間是確定的， 那么小球往復(fù)所用的總時(shí)間就是確定的。所以，大擺角時(shí)，單擺 依然具有等時(shí)性。 既然如此， 為什么還要求擺角小于 5 度呢？原 因是只有擺角較小時(shí)，重力加速度和周期之間才有式（13）那樣的簡單關(guān)系。四、大擺角的周期雖然從式（ 6）不能求解出大擺角時(shí)初等函數(shù)形式的周期， 但我們可以求解出數(shù)值解。小球擺過任意弧長 ld e 所用的時(shí)間 為：dt=ld e vt （ 14）則單擺的周期可用下式計(jì)算：T=4/ e OOld e vt （15

7、）代入式（ 7）和（ 13）可得：TT0=2n / e OOlcos e -cos e Od e （16）?o出一系列不同的擺角 e O，手動編程或使用 Mathematica等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件都可以計(jì)算出結(jié)果，如圖 2 所示。擺角等于 5 度時(shí)，單擺的周期T相對擺角趨于O時(shí)的周期TO只改變了不到 O.O5%，可以很好地近似為簡諧振動。圖中還顯示，隨著擺角的 增加，周期比值并非線性增加，而是呈指數(shù)增加。擺角為 30 度 時(shí)，周期增加了 1.73%， 60度時(shí)，增加了 7.32%，而 90 度時(shí)， 則增加了 18.03%。本文的結(jié)果與成思源和萬明理等人的結(jié)果相 近，而避免了其使用的橢圓積分等非初等函數(shù)知識， 便于大學(xué)生 理解。五、結(jié)論 本文使用微積分知識及初等函數(shù)求解了單擺的周期， 論證了 任意擺角（不大于 90 度）都具有等時(shí)性。