醫(yī)用高等數(shù)學(xué)：平面圖形的面積1

1、5/28/2021 第二節(jié)第二節(jié) 一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第三三章 二、二、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 表示為 n i ii xfU 1 0 )(lim 一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的 2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過(guò) “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取極限取極限” b a xxfd)( n i ii xf 1 0 )(lim 定積分定義 一個(gè)整體量 ; 二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ? 第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量 的

2、微分表達(dá)式 xxfUd)(d 第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無(wú)限累加 ” 求出整體量的 積分表達(dá)式 Uxxf b a d)( 這種分析方法稱為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 ) 元素元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等 近似值 精確值 第二節(jié) 5/28/2021 一 直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： )(xfy a 0 x y b 1設(shè)連續(xù)曲線)0()(xfy 與直線 )(,babxax 及 x 軸所圍曲則邊梯形面積為 A , ( )d b a Af xx 5/28/2021 ( ) , ,f xa b2 、若在上不都是非負(fù)的 則所圍成圖形 （如右圖）

3、的面積為 b o )(xfy cd e x y o a ( )( )( )( )( ) bcdeb aacde Af x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 5/28/2021 y x o )( 11 xfy )( 22 xfy a b x3、若平面區(qū)域是區(qū)域： 1122 ( )( )yf xyfx xaxb 由上曲線、下曲線 左直線、右直線所圍成， 12 ( )( ).(1) b a Af xfx dx 則其面積公式為： 注注 當(dāng)兩條直線其中之一或兩條縮為點(diǎn)時(shí)當(dāng)兩條直線其中之一或兩條縮為點(diǎn)時(shí), ,仍可用公式仍可用公式(1).(1). 5/28/2021 y4、若平面區(qū)域是區(qū)

4、域： 21 ( )( ). d c Ag yg y dy 則其面積公式為： 如 圖所示。 x y o c d )( 1 ygx)( 2 ygx 1122 ( )( ) , xg yxgy ycyd 由左曲線、右曲線、 下直線、上直線所圍成 5/28/2021 5、如果平面區(qū)域既不是x型區(qū)域，也 不是y型區(qū)域，則用一組平行于坐標(biāo) 軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的 若干個(gè)x型區(qū)域與y型區(qū)域，然后計(jì) 算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面 積等于各區(qū)域面積之和。如右下圖： x E ab A B C D F G o 5/28/2021 顯然：由圖可以知道上部分曲線由三 條不同的曲線：AB、BC與CD 構(gòu)

5、成；下 部分曲線由兩條不同曲線：EF與FG所構(gòu) 成。為計(jì)算其面積，可分別過(guò)點(diǎn)B、C與 F作平行于 y軸的直線，這樣則把平面區(qū) 域分成4個(gè)x型區(qū)域，然后利用前面的X 型區(qū)域的公式就可以計(jì)算了。 下面看幾個(gè)計(jì)算的例子我們就清楚利 用定積分如何計(jì)算不規(guī)則圖形的面積了。 5/28/2021 1)畫出圖形；畫出圖形； 2)求出曲線的交點(diǎn)；求出曲線的交點(diǎn)； 3)選擇積分變量，確定積分區(qū)間；選擇積分變量，確定積分區(qū)間； 4)利用公式求出平面圖形的面積利用公式求出平面圖形的面積. 在求平面圖形的面積時(shí)可按以下步驟進(jìn)行： 5/28/2021 2 11yxyx求由拋物線和直線圍成的圖形的面積 例例1 1)畫出圖形

6、；畫出圖形； 2)求出曲線的交點(diǎn)；求出曲線的交點(diǎn)； 2 1 ( 1,1), (2,3) 1 yx AB yx 32 22 222 1 11 9 11 22 322 xx Axxdxxxdxx a b 練習(xí). 求橢圓求橢圓1 2 2 2 2 b y a x 解解: 利用對(duì)稱性 , xyAdd 所圍圖形的面積 . 有 a xyA 0 d4 利用橢圓的參數(shù)方程 )20( sin cos t tby tax 應(yīng)用定積分換元法得 0 2 4Atbsinttad)sin( 2 0 2 dsin4ttba ba4 2 1 2 ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式 xxxdx y O 5/28/2021 2 2

7、30 . yxxy例2求拋物線與直線： 所圍成的平面區(qū)域的面積 我們可以先做出其圖形如下： A B 1 A 2 A 5/28/2021 分析1：所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-域, 如圖 為了便于計(jì)算需將其圖形進(jìn)行分割, 即可化 成兩個(gè)x-形區(qū)域的面積問(wèn)題。 第一塊的面積： 1 1 0 4 () 3 Axxdx 9 2 1 12 328 () 23 32 3 x Axdx AAA 第 二 塊 的 面 積 ： 則 總 面 積 ： 5/28/2021 2 3 2 1 2 , 23, 1,3 2 2310 . 3 y xy xy yy y Ayydy 分析 ：若把圍成的平面 區(qū)域看成 型區(qū)域：則 左曲線

8、為：右曲 線為：下直線 上直線為： 直接由 型區(qū)域面積的 計(jì)算公式得面積 xxxAd )sin(cos 4 0 .d )cos(sin 2 4 xxx 就不必用公式了就不必用公式了. ).12(2 y = = cos x x O y = sinx 4 2 1 y 練習(xí)練習(xí)求求 y = sinx， y = = cos x， 2 , 0 xx 所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積. 練習(xí)練習(xí)求求 y = sinx， y = = cos x， 解解由上述公式知由上述公式知 2 , 0 xx 所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積. .d |cossin| 2 0 xxxA xxxd )

9、cos(sin 4 0 xxxd )cos(sin 2 4 2 4 4 0 sincossincos xxxx ).12(2 二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積 設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在 則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為 xxAVd)(d 因此所求立體體積為 xxAV b a d)( x a b xxxd )(xA 上連續(xù), O x y )(yx 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段 2 )(xf 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有 軸繞xbxaxfy)()( xd b a V 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段 )()(dycyx 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體

10、體積時(shí), 有 2 )(yyd d c V y c d x y a b x y a b O ( )yf x x o x y P(h,r) 旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式 例例 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn) O 及點(diǎn)及點(diǎn) P( h , r) 的直線，直線的直線，直線 x=h及及 x軸圍軸圍 成一個(gè)直角三角形，將它繞成一個(gè)直角三角形，將它繞 x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為 r，高為，高為 h的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積。的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積。 x x+dx 解解 如圖所示如圖所示 (0, )xh 任取任取 (0, )xh，形成區(qū)間，形成區(qū)間 , x xdx 體積元素為體積元素為 2 dVy dx 2 r xdx h 直線直線OP的方程為的方程為 r yx h 所求體積為所求體積為 2 2 0 1 3 h r Vxdxr h h a y x b 練習(xí). 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓1 2 2 2 2 b y a x 所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而 轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 利用直角坐標(biāo)方程 )( 22 axaxa a b y 則 xxa a b a d)(2 2 0 2 2 2 (利用對(duì)稱性) 32 2 2 3 1 2xxa a b 0 a 2 3 4 ab O a V 0 2xy d 2 x 返回返回 例例2 計(jì)算