滬科版八年級數(shù)學(xué)下知識點總結(jié)

1、滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊知識總結(jié)一元二次方程知識點：1. 一元二次方程的一般形式：0時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關(guān)問題時，多數(shù)習(xí)題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、b、c ;其中a、b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的四種解法要求靈活運(yùn)用，其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較小；公式法雖然適用范圍大，但計算較繁，易發(fā)生計算錯誤；因式分解法適用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少3. 一元二次方程根的判別式：當(dāng)ax?+bx+c=0 （a工0）時， =b-4ac叫一元二次

2、方程根的判別式.請注意以下等價命題: 0 有兩個不等的實根; =0 有兩個相等的實根; V 0 無實根; 0 有兩個實根（等或不等）4. 一元二次方程的根系關(guān)系:2ax +bx+c=0 (a 工 0)時，如0,有下列公式:b V b2 4ac(1) 2 2a； (2) X1X2bc, X1X2aa5. 一元二次方程的解法（1）直接開平方法（也可以使用因式分解法） x2a(a0)解為：x.a(x a)2b(b0)解為:(ax b)2c(c0)解為:ax b(ax b)2(cxd)2(ac)解為：axb (cx d)（2）因式分解法：提公因式分,平方公式,平方差，十字相乘法如：ax2 bx 0(a

3、,b0) x(ax b)此類方程適合用提供因此，而且其中一個根為x2 90 (x 3)(x 3)02x 3x 0 x( x 3)03x(2x 1) 5(2 x 1) 0(3x 5)(2x 1) 02 2x 6x 94 (x 3)42 24x 12x 90(2x 3)02x 4x 120 (x 6)( x 2)022x 5x 120(2x 3)(x 4)0(3)配方法二次項的系數(shù)為“1”的時候：直接將一次項的系數(shù)除于 2進(jìn)行配方，如下所示:x2 Px q 0 (x P)2示例：x2 3x 102 / P2c()q 023 23 2(x )2 ( )2 1 02 2二次項的系數(shù)不為“ 1”的時候：

4、先提取二次項的系數(shù)，之后的方法同上:2ax bx c 0 (a 0)2 ba(x x) c 0aa(xf)22aaR22aa(x 與 c2a 4a(x F)22ab2 4ac4a2示例： 1x2 2x 120 -(x224x) 112(x 2)(4)公式法：一元二次方程ax2bx c0 (a 0)，用配方法將其變形為:(x2-)22ab2 4ac4a2當(dāng)b2 4ac 0時，右端是正數(shù).因此，方程有兩個不相等的實根:xi,2b . b2 4ac2a當(dāng)b2 4ac 0時，右端是零.因此，方程有兩個相等的實根:x1,2b2a當(dāng)b2 4ac 0時，右端是負(fù)數(shù).因此，方程沒有實根。備注：公式法解方程的步

5、驟: 把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2 bx c 0 (a 0)，并確定出a、b、c 求出b2 4ac，并判斷方程解的情況。 代公式：X12 b b2麻(要注意符號)2a探5 .當(dāng)ax2+bx+c=0 (a工0)時，有以下等價命題:(以下等價關(guān)系要求會用公式Xi X2 - ,X1X2 - ; =b2-4ac分析，不要求背記)aa(1)兩根互為相反數(shù)b = 0 且0;c=1且0a = c且厶 0;ac=0且-工0c =0且bz 0;aac=0且-=0c =0且b=0;aaE=0c=0 ;ac v 0aa、c異號；(2) 兩根互為倒數(shù)(3) 只有一個零根(4) 有兩個零根(5) 至

6、少有一個零根(6) 兩根異號(7)兩根異號，正根絕對值大于負(fù)根絕對值-v 0且-0 a、c異號且a、b異號; aa(8) 兩根異號，負(fù)根絕對值大于正根絕對值E v0且a(9) 有兩個正根c 0,衛(wèi)0且0 a、aa-v 0 a、c異號且a、b同號; ac同號，a、b異號且0;(10)有兩個負(fù)根E 0, P v0 且0aaa、c同號，a、b同號且0.6.求根法因式分解二次三項式公式：注意：當(dāng)0時，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解.ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=a xb b2 4acx2ab . b2 4ac2a7.求一元二次方程的公式：x2 - (X1+X

7、2) x + x 1X2 = 0.注意：所求出方程的系數(shù)應(yīng)化為整數(shù)&平均增長率問題應(yīng)用題的類型題之一(設(shè)增長率為X )：(1)第一年為a ,第二年為a(1+x),第三年為a(1+x) 2.(2)常利用以下相等關(guān)系列方程:第三年二第三年或 第一年+ 第二年+第三年二總和.9. 分式方程的解法:(1)去分母法兩邊同乘最簡公分母驗增根代入最簡公分母(或原方程的每個分母)，值 0.(2)換元法湊元換設(shè)元 換兀.驗增根代入原方程每個分母，值0.10. 二元二次方程組的解法:(1)(2)代入消元法分解降次法(3)注意：(1(3)()(方程組中含有一個二元一次方 方程組中含有能分解為(2 ) 0)0應(yīng)分組為

8、4 )0(1 )(3)程；)(2 )(4 )0的方程；(1 )(4)(2)(3)幾個常見轉(zhuǎn)化:(1) X122X22(x1 x2)2x1x2 ；(X1X2)2(X1X2)24x1x2 ；X2(x1 2-)2 2；x或x2(x-)22X1xX2(X1 X2)212(X1 X2)(X1 X2)2 4X1X22(X1 X2)X2)；4x1x2 (x1x2)(X12X12X2(XiX2 )2X1X2 ，X1X2(X1 X2)2(X1 X2)2 4X1X2，X1X2X1X2|X1X2 |x1 x2)2 4x1x2 ,2X1X2X1X2 ( X1X2)X2x12x22(X1X2)24x1x2X1X2x1x

9、2X/2X1X21 .分類為X12.兩邊平方為X2X1X1X2)2X2(3)X1X22X12X2?)43(2)兩邊平方一般不用，因為增加次數(shù).(1)分類為X1X2X1X2(4)可推出X12X1sin A,x；1.X222sinB 且 A B 90 時，由公式 sin A cos A 1， cos A sinB 注意隱含條件：x10, x20. X1,X2若為幾何圖形中線段長 時,可利用圖形中的相等關(guān) 系(例如幾何定理，相似形，面積 等式，公式)推導(dǎo)出含有 X1，X2的關(guān)系式注意隱含條件：X10，X20. 如題目中給出特殊的直 角三角形、三角函數(shù)、比例式、等積式等條件，可把它們轉(zhuǎn)化為某些線段的比

10、，并且 引入“輔助未知元k”.(7)方程個數(shù)等于未知數(shù)個 數(shù)時，一般可求出未知數(shù)的值；方程個數(shù)比未知數(shù)個數(shù) 少一個時, 般求不出未知數(shù)的值，但總可求出任何兩個未知數(shù)的關(guān)系.二次根式知識點：知識點一：二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以衛(wèi)二是C為二次根式的前提條件，如鼻，廠I ，- 等是二次根式，而丿：，J二等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a三0時，C有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。

11、2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a 0時，門沒有意義。知識點三：二次根式二0二打的非負(fù)性“（_）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，,（_）是一個非負(fù)數(shù)，即J心注：因為二次根式 （“-）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)， 0的 算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（盤工0）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即亦乏0心）,這個性 質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若 -，則 a=0,b=0;若 ，則 a=0,b=0;若宀，則 a=0,b=0。 知識點四：二次根式（）的性質(zhì) （【_】）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個

12、非負(fù)數(shù)?！鞍?2注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，貝，一宀，如:知識點五：二次根式的性質(zhì)一盤応U）拓 = | = 文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。 注：1、 化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù) a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,則等于 a本身，即&二同二張A。）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即&二同二-咖 ; 時，、：無意義，而=也知識點七：二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式女口：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、 3、 a (a 0)、V x+y 等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a

13、2、( x+y)八2、VxA2+2xy+yA2 等(3)最終結(jié)果分母不含根號。知識點八：二次根式的乘法和除法1. 積的算數(shù)平方根的性質(zhì)ab= a b (a0, b0)2. 乘法法則a b=ab (a0, b0)二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。3. 除法法則ab=a b (a0, b0)二次根式的除法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算數(shù)平方根。4. 有理化根式。如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。知識點九：二次根式的加法和減法1同類二次根式一般地，把

14、幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。2合并同類二次根式把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并。知識點十：二次根式的混合運(yùn)算1確定運(yùn)算順序2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時5在有些簡便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化知識點一：分母有理化分母有理化有兩種方法I. 分母是單項式如：Va/ Vb=VaxVb/ VbxV b=Vab/b ZFX ZE-J a打bii. 分母是多項式要利用平方差公式女口 1/ V a + V

15、 b=V a V b/( V a + V b)( V aV b)= V aV b/a b如圖Ja二(后+ e (屆一 _ 燈一/15 a b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。勾股定理知識總結(jié)：一.基礎(chǔ)知識點：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即：a2+b2= c2)要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主 要應(yīng)用：(1) 已知直角三角形的兩邊求第三邊(在 ABC中，C 90，則c . , b . a2 , a .c2b2 )(2) 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊(3) 利用勾股定

16、理可以證明線段平方關(guān)系的問題2:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關(guān)系a2+b2 = c2,那么這個三角形是直角三角形。 要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù) 轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時應(yīng)注意：(1) 首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c;(2) 驗證c與a?+b是否具有相等關(guān)系，若 c = a+b，則 ABC是以/C為直角的直角三角形(若c2a2+b2,則厶ABC是以/ C為鈍角的鈍角三角形；若c2a2+b2,貝仏ABC為銳角三 角形)。(定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可

17、認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊 長a， b， c滿足a2 c2 b2，那么以a， b， c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊) 3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做 互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

18、根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下:方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD, 4 _ ab (b2a)2 c2，化簡可證.方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為s 4如c2 2ab c2大正方形面積為S (a b)2 2 2a 2ab b所以a2b2c2方法三：s梯形 -(ab) (a b) , S梯形 2SadeS abe 2 =ab21c2，化簡得證6:勾股數(shù)bE aBb CA a Da2 b2 c2 中，能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即正整數(shù)時，稱a , b

19、 , c為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n2 1,2n,n2 1（ n 2, n為正整數(shù)）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 為正整數(shù)）m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m， n 為正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)1 .勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2. 勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊 關(guān)系的題目。3. 勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程

20、中易 犯的主要錯誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長 a, b, c有下列關(guān)系：a2+b2= c2, ?那么這C個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.baB5. ?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。 如果把其中一個叫 做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）四邊形知識點:關(guān)系結(jié)構(gòu)圖:囚邊形梯形矩形菱形組鄰邊相尊兩組對邊如平荷四邊韋四邊陪一組舗邊相等一角杲宜晞菱瞻正方形一俎對邊平行，罐殆另一組對邊

21、平平廳 押書、知識點講解:一個坤是直帚 玄角梯老1平行四邊形的性質(zhì)(重點)：ABCD是平行四邊形(1兩組對邊分別平行;(2) 兩組對邊分別相等;(3) 兩組對角分別相等;(4) 對角線互相平分；(5) 鄰角互補(bǔ).2.平行四邊形的判定(難點)：.兩組對辺分別平行 從辺看I二.一逍對辺平行且相等L三.兩組對辺分別相等從甬看一一四.蔭組對甬分別相等從對弟線看一一五，肘角綻互相平分的四邊形是平行四邊形3.矩形的性質(zhì)：因為ABCD是矩形(4)(1具有平行四邊形的所 有通性；(2) 四個角都是直角；(3) 對角線相等.是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.4矩形的判定:矩形的判定方法：(1)有一個角是直角的平行四

22、邊形;(2)有三個角是直角的四邊形;(3)對角線相等的平行四邊形;(4)對角線相等且互相平分的四邊形.四邊形ABCD是矩形.5.菱形的性質(zhì):因為ABCD是菱形DC(1具有平行四邊形的所 有通性;(2) 四個邊都相等；(3) 對角線垂直且平分對角.6. 菱形的判定:（1） 平行四邊形一組鄰邊等（2）四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形.（3）對角線垂直的平行四邊形7.正方形的性質(zhì):ABCD是正方形（1具有平行四邊形的所 有通性；（2）四個邊都相等，四個 角都是直角;（3）對角線相等垂直且平分對角.8.正方形的判定:（1）平行四邊形 一組鄰邊等（2）菱形一個直角（3）矩形一組鄰邊等一個直角四邊形

23、ABCD是正方形.名稱定義性質(zhì)判定面積平兩組對對邊平行；定義；S=ah(a 為一邊分別對邊相等；兩組對邊分別相等的邊長，h為這行平行的對角相等；四邊形；條邊上的高）四邊形鄰角互補(bǔ)；一組對邊平行且相等四叫做平行四邊 對角線互相平分； 是中心對稱圖形的四邊形；兩組對角分別相等的邊形。四邊形；對角線互相平分的四形邊形。有一個除具有平行四邊形的性質(zhì)有三個角是直角的四S=ab(a 為一角是直外，還有：四個角都是直邊形是矩形；邊長，b為另矩角的平角；對角線相等的平行四一邊長）行四邊對角線相等；邊形是矩形；形形叫做既是中心對稱圖形又是定義。矩形軸對稱圖形。有一組除具有平行四邊形的性質(zhì)四條邊相等的四邊形S=ah(a為鄰邊相外，還有疋麥形；一邊長，h為等的平四邊形相等；對角線垂直的平行四2菱行四邊對角線互相垂直，且每一邊形是菱形；這條邊上的形形叫做條對角線平分一組對角；定義。高）；菱形。既是中心對稱圖形又是（b、c為兩軸對稱圖形。條對角線的長）正有一組具有平行四邊形、矩形、菱有一組鄰邊相等的矩上二總* （a為鄰邊相形