圓錐曲線競(jìng)賽考試題及答案

1、競(jìng)賽圓錐曲線專題階段考試（時(shí)間120分鐘滿分140分）一：填空題（本題共8個(gè)小題，每題8分共計(jì)64分）1.方程、.6（x-4）2 6（y-3）2二| ? x + y 18 |所表示的曲線是 2.過(guò)點(diǎn)（.2007 ,0）的所有直線中，過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)（縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)）的直線條數(shù)為 2 23如圖，從雙曲線 篤-每=1（a 0,b 0）的左焦點(diǎn)F引圓x2 y2=a2的切線， a b切點(diǎn)為T(mén).延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于P點(diǎn)若M為線段FP的中點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|MT|與b-a的大小關(guān)系為 4. 對(duì)于每一個(gè)整數(shù)n ,拋物線y=（ n2 n ）x2-（2 n T）x 1與x軸交于兩點(diǎn)An, B

2、n,| AnBn 表示該兩點(diǎn)間的距離，貝S IA1B1I IA2B2II A2008B2008I二5. 已知（二,3二）,直線 h : x 、1-cosb = 0，直線 12 :xsin y 1 co -a = 0 , l1與l2的位置關(guān)系是 2 26. 若a, b, c成等差數(shù)列，則直線ax+by+c = 0被橢圓28 截得線段的中點(diǎn)的軌跡方程為7. 過(guò)直線I: y二X，9上的一點(diǎn)p作一個(gè)長(zhǎng)軸最短的橢圓，使其焦點(diǎn)為F1 -3,0 ,F2 3,0，則橢圓的方程為a2x2- y2=18已知橢圓2的焦距是4,則a =二：解答題（9題18分，10題18分，11題20分，附加題20分共計(jì)76分）9 （

3、本題18分）設(shè)F是拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)，A、B為拋物線上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，且滿足FAFB=0 .延長(zhǎng)AF、BF分別交拋物線于點(diǎn)C、D （如 圖）.求四邊形ABCD面積的最小值.2 2xy設(shè)A、B分別為橢圓一2 卡=1ab10、（本題18分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率 e =，過(guò)左焦點(diǎn)&作x軸的垂線交橢圓于A,A，兩點(diǎn)，AA =4。2（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) P,P，過(guò)P,P作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外。若PQ PQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程。+ b附加題（本小題滿分20分）2 2a b 0和雙曲線篤-篤=1的公a

4、b共的左、右頂點(diǎn)。P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于 A B的動(dòng)點(diǎn)，且 滿足 AP + BP = &（AQ + BQ）（八 R,|k| 1）。設(shè)直線 AP、BP、AQ BQ 的斜率分別為k、k2、k3、k4.（1）求證：k+k2+k3+k4=0；（2） 設(shè)F1、F2分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)。若PF2/QR，求 kJ k22 k32 k42的值。競(jìng)賽圓錐曲線考試答案1.橢圓2.解析：顯然直線x . 2007上不存在有理點(diǎn)。假設(shè)斜率為k的直線 y二k（x 2007）上存在兩個(gè)不同的有理點(diǎn)（X1,yJ和（X2,y2）。若k = 0,則k二丿x2 _ x111.（本題20分）已知拋物線y2 =4ax（

5、a 0）的焦點(diǎn)為F,以點(diǎn)A（ a 4，0）為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于 M、N兩點(diǎn)。（1）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)F的橢圓上。（2）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a,使得|FP|是|FM |與|FN| 的等差中項(xiàng)？如果存在，求a的值；如果不存在，說(shuō)明理由。必為有理數(shù)。由y1二k（X1 - . 2007）可得捲-上一、2007，此時(shí)等式左邊是有理數(shù)而k右邊是無(wú)理數(shù)，矛盾。另外當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線為OX軸，所以滿足條件的直線有 且僅有1條。3. | MO I -|MT |=b -a由根與系數(shù)的關(guān)系知：x1 X2 = 2k 2 4k2,XiX2=1是 | AC ；

6、(捲-X2)2 - (y1 - y2)2二 1 k2, (x1 x2 )2 - 4x1x220084.5.垂直20099.設(shè)F是拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)，A、B為拋物線上異于原點(diǎn)6.2(x 丄)2 U 嘰=12 244(1 k2)10分O的兩點(diǎn)，且滿足 FA FB =0 .延長(zhǎng)AF、BF分別交拋物線于點(diǎn) C、D (如圖).求四邊形ABCD面積的最小值.10、1又因?yàn)锳C _ BD，所以直線BD的斜率為-,k1 2從而直線BD的方程為：y (X-1)，同理可得|BDF4(k2). k18(1 + k 2 )2故 SabcdQAB| 葉十2 1= 8(k22 2) _ 8 (2 2) = 32k2

7、15分當(dāng)k二1時(shí)等號(hào)成立所以，四邊形ABCD的最小面積為32.20分9.解析：設(shè)A (X1,%)、C(X2,y2)，由題設(shè)知，直線AC的斜率存在，設(shè)為 k .因直線AC過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，所以，直線 AC的方程為y=k(x-1).聯(lián)立方程組 片*-1)，消y得&2 _2(k2 +2)x + k2 =0 y =4x.八I)由戦型點(diǎn)機(jī)十皿| f討餐 4伽上腐號(hào)y r從砒上趴從囲 a1 -JiL_ _ 1AI /_故該)Mfll的標(biāo)準(zhǔn)方flj為匸*#116 貳(由men的苛稱件設(shè)q(0)叫z又設(shè)昨加是槪圓上任盤(pán)一嵐simm上16=*八2Y + * (班O設(shè)內(nèi)f 由融歆足橢跚上到Q的距離廉小的點(diǎn)* 因

8、此上式肖 =曲時(shí)取最小值収因*| ( - 4 J),所以) 式當(dāng)八 %時(shí)取小值，從而禺=如且QPF S 8 -因?yàn)闀A丄嚴(yán)0且嚴(yán)仙.r),所以鄰弋滬.即g -北尸-/ = 0.由橢側(cè)方程及x, = g得-R(I _ fl) 0, 馬16/2 . .11.已知拋物線y =4ax(a 0)的焦點(diǎn)為F,以點(diǎn)A ( a 4, 0)為圓心，| AF |為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于 M、N兩點(diǎn)。(1) 求證：點(diǎn) A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò) F的橢圓上。(2) 設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a,使得|FP|是|FM |與|FN |的等差中項(xiàng)?11.解析：(1)因?yàn)?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a 4， 0)，拋物線

9、y2二4ax(a - 0)的焦點(diǎn)為F ( a， 0)，準(zhǔn)線為 l:x=-a，所以 | FA |= 4所以 以A為圓心，|FA|為半徑的圓在x軸的上方的方程為2 2(x-a-4) y=16， ( x 0, y 0)y2 = 4ax由/22(x-a-4) y = 16, (x 0, y 0)2 2得 x (2a - 8)x a 8a = 0設(shè) M( xyj，N( X2, y2)(其中：Xi, yM i = 1, 2)均為正數(shù))，則有xr X2 = 82a,為 X2 = 8a：x = (2a_8)2 _4(a28a)=-64a 64 0所以0 ： a 1又 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離相等所以 |

10、FM | |FN卜|花 a| 化 a|二(xa) (X2 a)-(x1 x2) 2a二 8| MN |：| FM | | FN 戶8因?yàn)辄c(diǎn)F、M、N均在O A上，所以| AM鬥AN鬥AF |= 4 ,如果存在，求a的值；如果不存在，說(shuō)明理由。| AM | AN | = 8所以O(shè)P =，OQ , O, P, Q三點(diǎn)共線，于是得XiX2yi y2因?yàn)?| AM | AN | = 8, | FM | FN |=8 ,且 | MN 卜：8所以點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)F的橢圓上（2）假設(shè)存在滿足條件的a,則有2|FP |=| FM | |FN |=8，即 | FP |= 4設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（Xo, yo）

11、，則有由得 k i+k2+k3+k4=0； （ii 分）2 2由點(diǎn)Q在橢圓上，有芻號(hào)=i.a2b2Xi +X2x04 一 a2yi +y2yV由 | FP | = 4，(4 -a - a)2 a( . XiX2)2 = i6化簡(jiǎn)，得 2a. a2 8 = -2a(a - 4)所以 a 二 0或 a = i ,與 0 ： a ： i 矛盾故不存在滿足條件的a ,即不存在a值，使得點(diǎn)P為 |FM|與|FN|的等差中項(xiàng)。i2.解析：（i）設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 P（Xi,2b22aMN的中點(diǎn)，且|FP|是k i+k2=yiyi 二 2xiyiXi a Xi _aXi2 -a22 b2 x同理可得意 k3+k4=22a y2yi)，Q(X2, y2)，則yi(4(分)設(shè)O為原點(diǎn)，貝y 2OP =AP BPAQ BQ =2 OQ，由 OP 二 OQ，得(x I, yi)=(x 2, y2).22所以 X 2=丄X I , y2=丄y I ,從而- y寧=222a b又