18.長方體模型中的等腰四面體

1、中國高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號)愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明長方體模型中的等腰四面體模型解題法之七 以長方體的頂點為頂點的四面體中,存在三對對棱都相等的四面體,我們稱該四面體為等腰四面體;利用長方體模型易得等腰四面體中特定的線面位置關(guān)系和度量結(jié)論.母題結(jié)構(gòu):在等腰四面體abcd中,設(shè)bc=ad=a,ac=bd=b,ab=cd=c,則(基本結(jié)論):四個面是全等的銳角三角形;每個頂點上的三條棱兩兩夾角之和=1800;對棱中點的連線共點、互相垂直平分,且是對棱的公垂線,重心、外心(外接球球心)、內(nèi)心(內(nèi)切球球心)三心重合;(度量結(jié)論):母體長方體的三條棱長

2、分別為x=,y=,z=;體積v=xyz;(成角結(jié)論):對棱夾角的余弦值分別為|、|、|;三個側(cè)面間三個二面角的余弦和為1;(外接球):外接球的球心o是母體長方體的中心;外接球半徑r=.母題解析:在下面的子題中給出證明. 1.基本結(jié)論 子題類型:(2012年安徽高考試題)若四面體abcd的三組對棱分別相等,即ab=cd,ac=bd,ad=bc,則 (寫出所有正確結(jié)論編號).四面體abcd每組對棱相互垂直;四面體abcd每個面的面積相等;從四面體abcd每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于900而小于1800;連接四面體abcd每組對棱中點的線段互垂直平分;從四面體abcd每個頂點出發(fā)的三條棱的長

3、可作為一個三角形的三邊長.解析:把四面體abcd放置到長方體中,如圖:四面體abcd每組對棱不相互垂直;因四面體abcd的四個面是四個全等三角形四面體abcd每個面的面積相等;從四面體abcd每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長;且從四面體abcd每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角恰是一個三角形的三個內(nèi)角,其和為1800;四面體abcd每組對棱中點的連線平行于長方體的棱,且過長方體的中心互垂直平分.綜上,命題正確的是:.點評:本題全面考查了等腰四面體的基本性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論,體現(xiàn)了解決等腰四面體問題的本質(zhì)方法. 2.模型功能 子題類型:(2015年浙江高考試題)如圖,三棱錐a-bcd中,ab

4、=ac=bd=cd=3,ad=bc=2,點m,n分別是ad,bc的中點,則異面直線an,cm所成的角的余弦值是 .解析:把三棱錐a-bcd放置到長方體中,如圖,由cmenane是異面直線an,cm所成的角;由ae2+be2=ab2=9,be2+de2=bd2=9,ae2+de2=ad2=4ae2=de2=2,be2=7an=en=2cosane=1-=.點評:本題有多種解法,但只有這種解法最簡單、自然和本質(zhì),突出呈現(xiàn)了長方體的模型功能. 3.成角結(jié)論 子題類型:(2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)四面體abcd中,ab=cd,ac=bd,ad=bc.()求證:這個四面體的四個面都是銳角三角形

5、;()設(shè)底面為bcd,另外三個面與面所形成的二面角為、,求證:cos+cos+cos=1.解析:()構(gòu)造長方體模型如圖,則長方體中的四面體abcd符合題目條件,因四面體abcd中的四個面為全等三角形,故只需證abc是銳角三角形.設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則ab2=a2+c2,bc2=b2+c2,ac2=a2+b2ab2+bc2ac2,ab2+ac2bc2,bc2+ac2ab2abc是銳角三角形;()設(shè)點a在平面bcd內(nèi)的射影點為h,由()知點h在bcd內(nèi),由射影面積公式:cos=,cos=,cos=cos+cos+cos=1.點評:本題對母題中的基本結(jié)論和成角結(jié)論給出了證明,其中,

6、長方體的模型功能起到了不可替代的作用. 4.子題系列:1.(1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如果四面體的每一個面都不是等腰三角形,那么其長度不等的棱的條數(shù)最少為( )(a)3 (b)4 (c)5 (d)62.(1989年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試題)在四面體abcd中,ab=cd=4,ac=ad=bc=bd=3,則此四面體的體積為 .3.(1990年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試題)己知四面體各面都是棱長分別為5,的三角形,則此四面體的體積是 .4.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)已知四面體abcd中,ab=cd=2,bc=ad=,ac=bd=,則該四面體的體積是 .5.(201

7、0年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇初賽試題)在三棱錐a-bcd中,已知acb=cbd,acd=adc=bcd=bdc=,且cos=.已知棱ab的長為6,則此棱錐的體積為 .6.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建初賽試題)四面體abcd中,ab=cd=a,bc=ad=b,ca=bd=c.如果異面直線ab與cd所成的角為,那么cos= .7.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)四面體a-bcd中,ab=cd=5,ac=bd=,ad=bc=,則四面體a-bcd的外接球半徑為 .8.(2002年第十三屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題)四面體abcd的各面都是銳角三角形,且ab=cd=a,ac=bd=b,a

8、d=bc=c,平面分別截棱ab、bc、cd、da于點p、q、r、s,則四邊形pqrs的周長的最小值是( )(a)2a (b)2b (c)2c (d)a+b+c 5.子題詳解:1.解:由每一個面都不是等腰三角形長度不等的棱的條數(shù)3;又由等腰四面體的長度不等的棱的條數(shù)=3.故選(a).2.解:在等腰四面體abcd中,ab=cd=a,ac=ad=b,bc=bd=c,把等腰四面體abcd放置于長方體ac1bd1-a1cb1d中,如圖,設(shè)cb1=x,ca1=y,cc1=z,則x2+y2=a2,y2+z2=b2,z2+x2=c2x2+y2+z2=0.5(a2+b2+c2)=m2x=,y=,z=vabcd=xyz-4xyz=xyz=;在本題中,v=.3.解:由v=20. 4.解:由v=40. 5.解:放置到棱長分別為6,6,12的長方體中v=144.6.解:把等腰四面體abcd放置于長方體ac1bd1-a1cb1d中,則異面直線ab與cd所成的角=直線a1b1與cd所成的角cos=|cosa1oc|(其中