ch4_解析函數(shù)的域性展開-2[高教書苑]

1、1 1 解析函數(shù)的局域性展開 1高級教育 2 2 解析函數(shù)的泰勒展開 解析函數(shù)的洛朗展開 解析函數(shù)的局域性展開 2高級教育 3 3 講授要點 Taylor展開 l展開定理 l討論 l基本函數(shù)展開式 Taylor展開舉例 l級數(shù)乘法與待定系數(shù)法 l多值函數(shù)的Taylor展開 l在無窮遠點的Taylor展開 解析函數(shù)的唯一性 l解析函數(shù)零點的孤立性 l解析函數(shù)的唯一性 3高級教育 4 4 解析函數(shù)的泰勒展開 冪級數(shù) 解析函數(shù)的泰勒展開 4高級教育 5 5 定義（冪級數(shù)） 5高級教育 6 u收斂特性：以a為中心的冪級數(shù) 在某個圓 內收斂且絕對收斂 在 上絕對一致收斂 在圓外 發(fā)散 收斂圓 收斂半徑

2、a 收斂 發(fā)散 R r Raz raz Raz 6高級教育 7 7 定理（泰勒展開） 設函數(shù)f(z)在以a為圓心的圓C內及C上解析,則對于圓內的任何z 點,f(z)可用冪級數(shù)展開為(或者說,f(z)可在a點展開為冪級數(shù)) 0 )()( n n n azazf a R r 0 z r c C n n n n af d a f i a ！ )( )( )( 2 1 )( 1 其中 C取逆時針方向 7高級教育 8 8 定理（泰勒展開） 0 )()( n n n azazf C n n n n af d a f i a ！ )( )( )( 2 1 )( 1 其中 證 根據(jù)柯西積分公式，對于圓C內任意

3、一點z,有 C d z f i zf )( 2 1 )( 0 1 )()( 11 n n a az aazaz 8高級教育 9 9 C n n n df a az i zf )( )( )( 2 1 )( 0 1 n n C n azd a f i 0 1 )( )( 2 1 n n n aza 0 C n n n n af d a f i a ！ )( )( )( 2 1 )( 1 9高級教育 1010 討論 定理的條件可以放寬，只要f(z)在C內解析即可 10高級教育 1111 這里泰勒展開的形式和實變函數(shù)中的泰勒公式相同，但 是條件不同 在實變函數(shù)中，f(x)的任何階導數(shù)存在，還不足以保

4、 證泰勒公式存在（或泰勒公式收斂） 在復變函數(shù)中，解析的要求（一階導數(shù)存在）就足以 保證泰勒級數(shù)收斂 11高級教育 1212 收斂范圍：函數(shù)f(z)的奇點完全決定了泰勒級數(shù)的收斂半徑.設 b是f(z)的離a點最近的奇點,則一般說來,收斂半徑R=b-a f(z)在圓z-ab-a內處處解析，f(z)可以在圓內展開為泰勒級數(shù) （或者說，泰勒級數(shù)在圓z-ab-a內收斂）.這就是說，f(z)的泰勒 級數(shù)收斂半徑不小于b-a 收斂半徑一般也不能大于b-a.否則，b點就包含在收斂圓內，因而冪級 數(shù)在收斂圓內處處解析，與b點為奇點的假設矛盾(除非b點是可去奇點). 0 2 2 )( z1 1 n nn z1z

5、 收斂半徑R=i=1 0 2 2 )( 1 1 n nn x x 11x 實數(shù)范圍內，泰勒級數(shù)的收斂半徑與函數(shù)性質之間的聯(lián)系就難以討論 12高級教育 1313 泰勒展開的唯一性：給定一個在圓C內解析的函數(shù)，則 它的泰勒展開式是唯一的，即展開系數(shù)an是完全確定的 13高級教育 1414 基本函數(shù)展開式 0 z-1 1 n n z1z 0 2 !2 1 n nn z n z n zz zez e n n niziz z ni ee z 0 12 )!12( )( 2 sin z e n n niziz z n ee z 0 2 )!2( )( 2 cos z 14高級教育 1515 泰勒展開舉例

6、求泰勒級數(shù)的方法難以一一羅列 這里只介紹一些普通常見的方法 中心指導思想：設法建立起與基本函數(shù)的關系 15高級教育 1616 0 2 )( n n z 0 2 )( n nn z 1z 2 z1 1 例1 有理函數(shù)總可以用部分分式的方法化簡 例2 2 z23z-1 1 zz21 2 1 1 00 )2(2 n n n n zz 0 1 )12( n nn z2/1z 16高級教育 1717 有些函數(shù)可以表示成更簡單的函數(shù)的導數(shù)或積分，從而 可以容易地求出其Taylor級數(shù) 例3 zdz d 1 1 ）z-1（ 1 2 0n n z dz d 1 1 n n nz 0 )1( n n zn1z

7、17高級教育 1818 講授要點 Taylor展開 l展開定理 l討論 l基本函數(shù)展開式 Taylor展開舉例 l級數(shù)乘法與待定系數(shù)法 l多值函數(shù)的Taylor展開 l在無窮遠點的Taylor展開 解析函數(shù)的唯一性 l解析函數(shù)零點的孤立性 l解析函數(shù)的唯一性 18高級教育 1919 級數(shù)乘法 如果函數(shù)可以表示成兩個（或幾個）函數(shù)的乘積，而每一 個因子的泰勒展開比較容易求出時，則可采用級數(shù)相乘的 方法 例4 zz21 1 -1 1 z23z-1 1 2 0k0l lkl 0l ll 0k k z2z2z n n n z 00l l 2 n n n z 0 1 122/1z 19高級教育 2020

8、 級數(shù)乘法 冪級數(shù)在收斂圓內絕對收斂，故級數(shù)相乘是合法的， 乘積在兩收斂圓的公共區(qū)域內仍絕對收斂 20高級教育 2121 待定系數(shù)法 例5 求tanz在z=0的泰勒展開 由于tanz是奇函數(shù)，故在z=0的泰勒展開應只有奇次冪 0 12 12 tan k k k zaz z z z cos sin tan zzztancossin 0 12 )!12( )( n n n z n 0l 2l l z (2l)! )( 0k 12k 12k za 12 00 12 )22( )( n n n k k kn za kn 21高級教育 2222 12 00 12 0 12 )!22( )( )!12(

9、)( n n n k k kn n n n za kn z n 此恒等式在何區(qū)域內成立？ 根據(jù)泰勒展開的唯一性，比較系數(shù) 逐次代入n=0,1,2, 即可求出系數(shù)a1,a3,a5, )!12( 1 )!22( )( 0 12 n a kn n k k k 22高級教育 2323 例5：求tanz在z=0的泰勒展開 753 z 315 17 z 15 2 z 3 1 ztanz 應用待定系數(shù)法，能得到系數(shù)之間的遞推關系，原則上 可以逐個求出展開系數(shù) 但一般不容易求出級數(shù)的通項公式（即展開系數(shù)an的解 析表達式） 如果只需要求出級數(shù)中德某一項或某幾項系數(shù)，也可以 采用待定系數(shù)法 23高級教育 242

10、4 講授要點 Taylor展開 l展開定理 l討論 l基本函數(shù)展開式 Taylor展開舉例 l級數(shù)乘法與待定系數(shù)法 l多值函數(shù)的Taylor展開 l在無窮遠點的Taylor展開 解析函數(shù)的唯一性 l解析函數(shù)零點的孤立性 l解析函數(shù)的唯一性 24高級教育 2525 對于多值函數(shù)，在適當規(guī)定單值分枝后，即可像單值函數(shù) 那樣做泰勒展開 1）1（ 0 z z 10f）（ z(0)f 0z 1 ）1（ )1(）（ 2 z11)-(0)f 0z 1)n-(1)-(0)f (n) 25高級教育 2626 n n z n 0 2 2 )1( 1zz z)(1 n z n n ! )1()1( 26高級教育 2

11、727 2 2 )1( 1zz z)(1 n z n n ! )1()1( n n z n 0 級數(shù)的收斂區(qū)域，還要視割線的做法而定，收斂半徑 等于z=0到割線的最短距離 最大可能的收斂區(qū)域z1，R=1 27高級教育 2828 例7 求多值函數(shù)f(z)=ln(1+z)在z=0的泰勒展開,規(guī)定 0z1ln 0z ）（ 在上述規(guī)定下，函數(shù)ln(1+z)可表示為定積分 z z1 1 z1ln 0 ）（dz z z1ln 0 0 )(）（dzz n n n z 0 0 )(dzz n n n1 0 1 )( n n n z n n n n z n 1 1 )( 28高級教育 2929 例7：求多值函數(shù)

12、f(z)=ln(1+z)在z=0的泰勒展開,規(guī)定 0z1ln 0z ）（ n n n z n 1 1 )( ）（z1ln 收斂區(qū)域也要看割線怎么作.收斂半徑等于z=0到割線的 最短距離，最大可能的收斂區(qū)域是z1,R=1 思考題：單值分枝的規(guī)定ln(1+z)z=0=0體現(xiàn)在何處？ 29高級教育 3030 例6和例7中的結果 也作為基本的函數(shù)展開式，應該熟記 1， )( ）（ 1，）1（ 1 1 0 zz n zz n z n n n n n z1ln 30高級教育 3131 講授要點 Taylor展開 l展開定理 l討論 l基本函數(shù)展開式 Taylor展開舉例 l級數(shù)乘法與待定系數(shù)法 l多值函數(shù)

13、的Taylor展開 l在無窮遠點的Taylor展開 解析函數(shù)的唯一性 l解析函數(shù)零點的孤立性 l解析函數(shù)的唯一性 31高級教育 3232 如果函數(shù)f(z)在z=點解析，則也可以在z=點展開成 泰勒級數(shù) f(z)在z=點解析，則f(1/t)在t=0點解析 所謂f(z)在點展開成泰勒級數(shù)，就是作變換z=1/t，而 將f(1/t)在t=0點展開成泰勒級數(shù) f(1/t)在t=0點的泰勒展開 f(1/t)=a0+a1t+a2t2+antn+ t1/r，也就是說，級數(shù)在以 為圓心的某個圓內收斂 33高級教育 3434 講授要點 Taylor展開 l展開定理 l討論 l基本函數(shù)展開式 Taylor展開舉例

14、l級數(shù)乘法與待定系數(shù)法 l多值函數(shù)的Taylor展開 l在無窮遠點的Taylor展開 解析函數(shù)的唯一性 l解析函數(shù)零點的孤立性 l解析函數(shù)的唯一性 34高級教育 3535 解析函數(shù)的零點 如果f(z)在a點及其鄰域內解析，f(a)=0,則稱z=a為f(z) 的零點 因為f(z)在z=a點及其鄰域內解析，故當z-a 充分小時 0 )(）（ n n n azazf 若z=a為零點，則必有 0 110 m aaa0 m a 相應地 0)()()( )1( afafaf m 0)( )( af m z=a點為f(z)的m階零點 35高級教育 3636 解析函數(shù)的零點 如果f(z)在a點及其鄰域內解析，

15、f(a)=0,則稱z=a為f(z) 的零點 l零點的階數(shù)都是確定的正整數(shù)-在函數(shù)的解析區(qū)域內， 不可能有分數(shù)次的零點 l解析函數(shù)零點的一個重要性質是它的孤立性 36高級教育 3737 講授要點 Taylor展開 l展開定理 l討論 l基本函數(shù)展開式 Taylor展開舉例 l級數(shù)乘法與待定系數(shù)法 l多值函數(shù)的Taylor展開 l在無窮遠點的Taylor展開 解析函數(shù)的唯一性 l解析函數(shù)零點的孤立性 l解析函數(shù)的唯一性 37高級教育 3838 根據(jù)解析函數(shù)零點的孤立性定理，可以推出解析函數(shù)零 點的下列性質： 38高級教育 3939 推論2的成立范圍是以z=a點為圓心的圓域，但是很容易 推廣到一半形

16、狀的區(qū)域 39高級教育 4040 40高級教育 4141 可以將 改寫為 41高級教育 4242 也可以將改寫為 作為它的特殊情形，還有 42高級教育 4343 解析函數(shù)的洛朗展開 43高級教育 4444 講授要點 洛朗展開 l展開定理 l舉例 l多值函數(shù)的洛朗展開 單值函數(shù)的孤立奇點 l孤立奇點 l孤立奇點的分類 l函數(shù)在無窮遠處的奇異性 解析延拓 l一個例子 l解析延拓的概念 44高級教育 4545 解析函數(shù)的洛朗展開 l一個函數(shù)除了可在解析點作泰勒展開外，有時 還需要將它在奇點附近展開成冪級數(shù) l這就是洛朗展開 45高級教育 4646 C是環(huán)域內繞內圓一周的任意一條閉合曲線 - )(）（

17、 n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 46高級教育 4747 展開定理（洛朗展開） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 將環(huán)域的內外邊界分別記為C1和C2，根據(jù)復連通區(qū)域的 柯西積分公式，對于環(huán)形區(qū)域內的任意一點z，有 d z f i d z f i CC 21 )( 2 1)( 2 1 ）（zf 下面分別計算沿C1和C2的積分 47高級教育 4848 展開定理（洛朗展開） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1

18、 )( )( 2 1 1 )( i2 1 - C d z f 1)()( )( i2 1 C d bbz f bz b d bz f C 1 )( i2 1 1 對于沿C1的積分 48高級教育 4949 展開定理（洛朗展開） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 對于沿C1的積分 11 0 )( i2 1)( i2 1 - C k k C d bz b bz f d z f 1 0 )()( )( 2 1 1 k k k C bzdbf i )( 1 Rbz 49高級教育 5050 展開定理（洛朗展開） - )(）（ n

19、n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 對于沿C2的積分，可直接引用泰勒展開的結果 22 0 n )( i2 1)( i2 1 C n C d bz b b f d z f n n C n bzd b f i 0 1 2 )( )( 2 1 )( 2 Rbz 50高級教育 5151 展開定理（洛朗展開） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 將兩部分合并起來，就有 積分路徑統(tǒng)一寫成了C，為什么能這樣？ - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d

20、b f i a 1 )( )( 2 1 51高級教育 5252 討論 洛朗展開的條件也可以放寬為f(z)在環(huán)形區(qū)域R1z- b R2內單值解析即可 52高級教育 53 f(z)在C1內不解析 一般說來，在C1上有奇點 至于b點，可能是f(z)的奇點，也可能是f(z)的解析點 如果b點是C1 內的唯一奇點，則C1可以無限縮小，收斂范圍就 變成能是f(z)的奇點，也可能是f(z)的解析點0z-b R. 這時就得到f(z)在孤立奇點b的鄰域內的洛朗展開 53高級教育 5454 f(z)在C2外不解析 一般說來，在C2上有奇點 外周C2的半徑也可以為，甚至在點也收斂 54高級教育 5555 洛朗展開既

21、有正冪項，又有負冪項 正冪項在圓C2 內（z-b R1 ）絕對收斂，在C1外的任意一個 閉區(qū)域中一致收斂，稱為洛朗級數(shù)的主要部分 兩部分合起來，就構成洛朗級數(shù)，在環(huán)域R1 z-b R2 內絕 對收斂，在環(huán)域內的任意一個閉區(qū)域中一致收斂 當R1 =0時，洛朗級數(shù)的主要部分就完全反映了f(z)在z=b點的 奇異性 55高級教育 5656 洛朗展開的唯一性 設f(z)在R1 z-b R2 內有兩個洛朗級數(shù) nn n n n n b)(zab)(zaf(z) 56高級教育 5757 評述 洛朗展開的唯一性告訴我們 l不論用什么方法，得到的f(z)在同一個環(huán)形區(qū)域 內的洛朗展開式唯一的 l如果(在同環(huán)域

22、的)兩個泰勒級數(shù)相等，則可以逐 項比較系數(shù) 57高級教育 5858 在無窮遠點的洛朗展開 如果無窮遠點是函數(shù)f(z)的奇點，而在無窮遠點的鄰 域內單值解析的話，則可將f(z)在點的鄰域內作洛 朗展開(有時就簡單地說成在點作洛朗展開) 58高級教育 5959 講授要點 洛朗展開 l展開定理 l舉例 l多值函數(shù)的洛朗展開 單值函數(shù)的孤立奇點 l孤立奇點 l孤立奇點的分類 l函數(shù)在無窮遠處的奇異性 解析延拓 l一個例子 l解析延拓的概念 59高級教育 6060 求洛朗展開，可以直接利用公式求系數(shù)(這時要計算圍道積 分，一般比較麻煩).除此之外，沒有求洛朗展開的特殊方法 由于函數(shù)在給定環(huán)域內的洛朗展開

23、是唯一的，因此，不論用 什么方法，只要得到了在這個環(huán)域內收斂到f(z)的冪級數(shù)， 那它就一定是f(z)的洛朗展開 洛朗展開中講過的方法，以及有關的結果，都可以應用來求 洛朗展開 60高級教育 6161 例1 求 在 0|z|1 內的展開式 ) 1( 1 zz 在 0|z|1 內的展開式 ) 1( 1 zz 此題中的函數(shù)與例1相同，但展開區(qū)域不同 ) 1( 1 zz)/ 1 (1 11 2 zz n n zz 0 2 11 2n n z1z 62高級教育 6363 評述 1 ) 1( 1 2 zz zz n n l這個級數(shù)可以看成是函數(shù)在z=0為心的環(huán)域1|z| 內的展開 l也可以看成是函數(shù)在z

24、=鄰域內的冪級數(shù)展開式 l而且是函數(shù)在z=鄰域內的泰勒展開 l事實上，函數(shù) 在z=處解析 ) 1( 1 zz 63高級教育 6464 例3 用待定系數(shù)法求 cotz 在 z=0 領域內的洛朗展開 z z zbz n n n sin cos cot 1 12 12 cotzsinzcosz 0 2 )!2( )( n n n z n 0 12 )!12( )( k k k z k 0 12 12 l l l zb 0 )(2 0 12 )!12( )( k lk l l k zb k 0 2 0 12 )!122( )( k n n l l ln zb kn 64高級教育 6565 令n=0,1

25、,2,逐次求解，即得 由此得到遞推關系 n l l l n b ln 0 12 )!2( 1 )!122( )( 0n 1 1 b ! 2 1 ! 1 1 ! 3 1 1 11 bbn 3 1 1 b ! 4 1 ! 1 1 ! 3 1 ! 5 1 2 311 bbbn 45 1 3 b ! 6 1 ! 1 1 ! 3 1 ! 5 1 ! 7 1 3 5311 bbbbn 945 2 5 b 65高級教育 6666 例3 用待定系數(shù)法求 cotz 在 z=0 領域內的洛朗展開 53 945 2 45 1 3 1 z 1 cotzzzz 根據(jù)cotz的奇點分布，可判別此級數(shù)的收斂范圍 為0|z|

26、0 69高級教育 7070 l 0k0l l l k k t 1 l!2 z k! t 2 z t 1 t 2 z exp l -k lk 0k0l l 2 z l!k! t 0n n 0l n2l l t 2 z !nll! 1n n l n2l l t 2 z !nll! n n n n(z)t J t 1 t 2 z exp 其中 70高級教育 7171 評述 71高級教育 7272 講授要點 洛朗展開 l展開定理 l舉例 l多值函數(shù)的洛朗展開 單值函數(shù)的孤立奇點 l孤立奇點 l孤立奇點的分類 l函數(shù)在無窮遠處的奇異性 解析延拓 l一個例子 l解析延拓的概念 72高級教育 7373 73

27、高級教育 7474 74高級教育 7575 講授要點 洛朗展開 l展開定理 l舉例 l多值函數(shù)的洛朗展開 單值函數(shù)的孤立奇點 l孤立奇點 l孤立奇點的分類 l函數(shù)在無窮遠處的奇異性 解析延拓 l一個例子 l解析延拓的概念 75高級教育 7676 孤立奇點 設f(z)為單值函數(shù)(或多值函數(shù)的一個單值分枝)，b點是它的奇 點.如果在b點存在一個鄰域，在該鄰域內(除b點外)， f(z)處 處可導，則稱b為f(z)的孤立奇點 非孤立奇點的例子 lz=0是這些奇點的聚點：在z=0的任意一個鄰域中，總存在無 窮多個奇點 l因此z=0是非孤立奇點 76高級教育 7777 講授要點 洛朗展開 l展開定理 l舉

28、例 l多值函數(shù)的洛朗展開 單值函數(shù)的孤立奇點 l孤立奇點 l孤立奇點的分類 l函數(shù)在無窮遠處的奇異性 解析延拓 l一個例子 l解析延拓的概念 77高級教育 7878 n n n bza f(z) 可能出現(xiàn)三種情況 l級數(shù)展開式不含負冪項b點稱為f(z)的可去奇點 l級數(shù)展開式只含有限個負冪項b點稱為f(z)的極點 l級數(shù)展開式只有無窮多個負冪項b點稱為f(z)的本性奇點 78高級教育 7979 可去奇點 舉例 z=0是可去奇點 0n 2n n z 1)!(2n )( z sinz z 53 945 2 45 1 3 1 cot 1 zzzz z z 79高級教育 8080 函數(shù)在可去奇點處的行

29、為 由于在可去奇點處，級數(shù)展開式中不含負冪項，故級數(shù)不 只是在環(huán)域內收斂，而且在環(huán)域的中心，即可去奇點z=b 處也收斂 收斂區(qū)域是一個圓，圓心在可去奇點z=b，級數(shù)在收斂圓 內的任一閉區(qū)域中一致收斂 80高級教育 8181 函數(shù)在可去奇點處的行為 函數(shù)在可去奇點處 的極限值是有限的 反之，如果z=b是函數(shù) f(z)的孤立奇點，而且 f(z)在z=b的鄰域內有 界，則z=b是f(z)的可 去奇點 81高級教育 8282 極點 mn n n bza f(z) 函數(shù)在極點鄰域內洛朗展開有有限個負冪項 1m 1m m m b)(zab)(za b)(zaab)(za 10 1 1 b)(zaab)(z 1mm m (z)b)(z m 82高級教育 8383 函數(shù)在極點處的行為 （證明見下頁） 83高級教育 8484 函數(shù)在極點處的行為 利用這個關系，可以幫助我們尋找極點 84高級教育 8585 本性奇點 函數(shù)在本性奇點鄰域內的洛朗展開具有無窮多個負冪項 如果z=b是函數(shù)f(z)的本性 奇點，則當zb時，f(z)的 極限不存在 準確地說，zb 的方式 不同，f(z)可以逼近不同 的數(shù)值 85高級教育 8686 本性奇點 當z以不同方式趨于0時，就有不同的結果： 86高級教育 8787 本性奇點 特別是 87高級教育 8888 本性奇點 88高級教育 8989 本