凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、分類號 編 號 2012010119 畢業(yè)論文題 目 凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 姓 名 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號 281010119 研究類型 研究綜述 指導(dǎo)教師 楊鐘玄 提交日期 2012年5月 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名: 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名:凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用 王紅娟（天水師范

2、學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘 要: 凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)許多問題中都有廣泛的應(yīng)用。本文論述了凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及其判別方法，討論了凸函數(shù)在不等式證明中的重要應(yīng)用并對凸函數(shù)進(jìn)行了推廣。關(guān)鍵詞:凸函數(shù); 性質(zhì); 不等式; jensen不等式convex function and its application in the proof inequalitywang hong-juan( tianshui normal university ,academic of mathematics and statistics, tianshui741000,china)ab

3、stract convex function is a kind of important function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .the paper related and analyzed the definition, property, and discriminant method of the convex function .at the same time,the theme talked about the convex functions important

4、in the proof inequality and popularized about the convex function.key words convex function; property; inequality; jensen inequality目 錄題目：凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用1摘 要1關(guān)鍵詞1引言11 凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及判定定理11.1凸函數(shù)的定義11.2凸函數(shù)的幾種等價(jià)定義21.3凸函數(shù)的性質(zhì)及定理32 關(guān)于凸函數(shù)的四個不等式42.1 jensen不等式142.2 jensen不等式242.3 holder不等式152.4 holder不等式263 凸函數(shù)在不

5、等式證明中的應(yīng)用73.1 利用jensen不等式1和凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式73.2利用jensen不等式2和凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式93.3凸函數(shù)在積分不等式中的應(yīng)用.104 凸函數(shù)的推廣114.1凸函數(shù)的定義推廣114.2凸函數(shù)的性質(zhì)及定理推廣124.2.1凸函數(shù)的性質(zhì)推廣124.2.2 凸函數(shù)的定理推廣13結(jié)束語14參考文獻(xiàn)15致謝16數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用 王紅娟（天水師院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘 要: 凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)許多問題中都有廣泛的應(yīng)用。本文論述了凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及其判別方法，討論了凸函數(shù)在不等式證明中的重要

6、應(yīng)用并對凸函數(shù)進(jìn)行了推廣。關(guān)鍵詞: 凸函數(shù);性質(zhì);不等式; jensen不等式1引言在很多數(shù)學(xué)問題的分析與證明中,我們都需要用到凸函數(shù),例如在數(shù)學(xué)分 析、函數(shù)論泛函分析、最優(yōu)化理論等當(dāng)中.大家都熟悉函數(shù)的圖像,它的特點(diǎn)是:曲線上任意兩點(diǎn)間的弧線總在這兩點(diǎn)連線之下,我們可以下這樣一個定義:設(shè)在上有定義,若曲線上任意兩點(diǎn)間的弧線總位于直線的之下,則稱函數(shù)是凸函數(shù). 上面的定義只是幾何描述性的,為了便于函數(shù)的應(yīng)用,用嚴(yán)格的分式來定義是非常必要的.1.凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及判定定理1.1凸函數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,若對上任意兩點(diǎn), 和正數(shù),總有 , 則為區(qū)間上的凸函數(shù). 若不等式中的不等號改為嚴(yán)

7、格不等號,則稱為內(nèi)的嚴(yán)格不等式.常見的凸函數(shù)有:() 均為內(nèi)的嚴(yán)格凸函數(shù)(ii) 均為內(nèi)的嚴(yán)格凸函數(shù)1.2凸函數(shù)的幾種等價(jià)定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義, 對及,恒有對任意恒有證明 記,則 從而有 所以有 同理可證 綜上所述 (4)在區(qū)間上有定義,當(dāng)且僅當(dāng)曲線的切線恒保持在曲線以下,則稱為凸函數(shù). 1.3凸函數(shù)的性質(zhì)及定理 （）（）.設(shè)都是單調(diào)非負(fù)凸函數(shù),則也是上的凸函數(shù)證明 對任意,因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增,故即 由知注 非負(fù)不能少, 單調(diào)遞增不能少.設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù), 是凸函數(shù),則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù).若為區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù),且不是常數(shù),則在內(nèi)部不能達(dá)到最大值.如果 是 上的凸函數(shù),則 在 的任一閉子區(qū)間上

8、有界.如果是 內(nèi)的凸函數(shù),則在 內(nèi)連續(xù).定理 1 若在 內(nèi)二階可導(dǎo),且 f( x)0,則 是 內(nèi)的凸函數(shù). 若上面的不等號變?yōu)閲?yán)格不等號,則 是 內(nèi)的嚴(yán)格凸函數(shù).2.關(guān)于凸函數(shù)的四個不等式2.1 jensen不等式1 設(shè)為在區(qū)間上有定義, 為凸函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)有證明只是2.2 jensen不等式2 設(shè)則證明 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng)時,由凸函數(shù)的定義知命題成立. 設(shè)當(dāng)是命題成立. 即對任意設(shè)當(dāng)是命題成立.即對任意及,都有,現(xiàn)設(shè)及,令則,有數(shù)學(xué)歸納假設(shè)可推得 這就證明了對任何正整數(shù),凸函數(shù)總有不等式成立.2.3 holder不等式1對任給定的證明: , ;證明 令 則 所以 即 2.4 holder不等

9、式2 定義如前,在上可積,證明:（范數(shù)形式為）證明 用定積分定義證明,將 等分,設(shè),由holder不等式1得兩邊同時乘以,由得:當(dāng)時,由的可積性得3.凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用3.1 利用jensen不等式1和凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式例1 在中,求證: 若為銳角三角形,則. 證明 （1）令由,則在是凸函數(shù).所以由jensen不等式1得:,即得:故（2）,由,則為上的凸函數(shù).所以由 jensen不等式1得: 又由（1）知:,所以有: 則有= = 所以: （3）而在上恒大于零.所以在是凸的.所以由jensen不等式得: 又 所以 即 又 證明如下 = = = = 所以 3.2利用jensen不等式2和

10、凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式例2 用凸函數(shù)的方法證明代數(shù)平均數(shù)于幾何平均數(shù)，在條件并且有,設(shè) 證明 ： 證明 設(shè)=,有根據(jù)定理1知=在上是嚴(yán)格凸函數(shù),根據(jù)jensen不等式2,得,其中,并且又取,=,則有等價(jià)于式子 即 即不等式的后半部分成立只需證明不等式成立即可同理有 所以 于是,有 3.3凸函數(shù)在積分不等式中的應(yīng)用例3 設(shè)是區(qū)間上的凸函數(shù),則 證明 由的凸性保證了有意義,當(dāng),有 因此 令得=因此 , 又 所以 即 另外令得,有 所以 綜上所述不等式成立.4.凸函數(shù)的推廣4.1凸函數(shù)的定義推廣定義1若區(qū)域滿足:其中任意兩點(diǎn)的連線仍屬于d,即,則稱d為凸區(qū)域.定義2設(shè)d為凸區(qū)域, ,若有,則稱為d上的

11、凸函數(shù).4.2凸函數(shù)的性質(zhì)及定理推廣4.2.1凸函數(shù)的性質(zhì)推廣 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域上有定義, 函數(shù)為上為凸函數(shù)，則以下命題成立. ,線段上一點(diǎn)，不妨設(shè) 總有證明 設(shè)則或,由二元凸函數(shù)的定義知特別的當(dāng)時，有.即凸函數(shù)上任意兩點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值不大于這兩點(diǎn)函數(shù)的平均值. 設(shè)在凸區(qū)域d上有連續(xù)的一階偏導(dǎo).則對于有 證明 由于為d上的凸函數(shù)，故,有即 因在凸區(qū)域d上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)，故可微:有=其中因此又，所以有整理得 4.2.2 凸函數(shù)的定理推廣定理2 （jensen不等式）是凸區(qū)域d上凸函數(shù)的充要條件是及有證明 充分性 當(dāng)n=2時有定義知命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,即: .有當(dāng)n=k+1時,及且,

12、令則且,即當(dāng)n=k+1時成立,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知命題成立.必要性顯然.證畢.結(jié)束語凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，特別是在不等式的證明當(dāng)中，運(yùn)用它解題顯得巧妙，簡練。利用函數(shù)的凸性來證明不等式,通常需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù), 再運(yùn)用函數(shù)的凸性的定義及幾個等價(jià)論斷,可將一些初等不等式, 積分不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性態(tài), 從而使不等式簡化進(jìn)而得到證明.。參考文獻(xiàn)1 華東師大數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析m . 北京: 高等教育出版社, 1999.2 翟連林,姚正安. 數(shù)學(xué)分析方法論m .北京:北京農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社, 2000.3 孫本旺, 汪浩. 數(shù)學(xué)分析中的典型例題和解題方法4 林源渠,方企勒. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集m .北京:高等教育出版社, 2002. 5 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義m.北京:高等教育出版社,1997. 6 劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析（上冊、下冊）（第三版m.北京:教育出版社,1988.7 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）m.北京：高等教育出版社，2001.75) 致謝在本論文的寫作過程中,我的導(dǎo)師楊鐘玄傾注了大量的心血,從選題到開題報(bào)告, 從寫作提綱，到一遍又一遍的指出具體問題,嚴(yán)格把關(guān),循循善誘,在此我表示衷心感謝.同時我還要感謝在我學(xué)