挖掘中點(diǎn)-構(gòu)造中位線

1、挖掘中點(diǎn)，構(gòu)造中位線濟(jì)寧市梁山縣小路口鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)鄭繼春（適用于魯教版初三版12 月刊）三角形中位線定理是平面幾何中一個(gè)重要定理，它既反映了線段之間的位置關(guān)系，又呈現(xiàn)了線段之間的數(shù)量關(guān)系. 三角形中位線定理在一些幾何解題中常見(jiàn)它的身影. 特別是遇到中點(diǎn)時(shí)， 經(jīng)常要聯(lián)想到三角形的中位線定理，利用三角形中位線定理能起牽線搭橋甚至是關(guān)鍵性的作 .但是，在解題時(shí)往往只知道一個(gè)中點(diǎn)，而另一個(gè)中點(diǎn)就需要同學(xué)們根據(jù)題目的特點(diǎn)，自己去挖掘 . 下面舉幾例向同學(xué)們介紹幾種在不同條件下挖掘中點(diǎn)的方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、直接取中點(diǎn).例 1、已知：如圖，AD 為 VABC 的高， B =2 C ， M 為 BC

2、中點(diǎn)，1求證： DM =AB證明：取 AC 中點(diǎn) N ，連結(jié) MN ，則 MN AB ,1且 MN= AB, NMC= B 2又 Rt VADC 中， N 為斜邊 AC 中點(diǎn)， DN =NC NDC =C,又 NMC = B = NDC + DNM =2 C DNM = NDC , DM =MN1DM=AB【感悟 】：此題中， DM 和 AB 位置較遠(yuǎn)，不易推導(dǎo)關(guān)系. 通過(guò)添中位線把1 AB轉(zhuǎn)化成MN, MN在DM 和12AB 之間架起了一座橋梁，問(wèn)題迎刃而解 .2二、利用等腰三角形的“三線合一”找中點(diǎn).例 2、 ABC中， AD平分 BAC， CD AD,E 為 BC的中點(diǎn)，求證： DE A

3、B.證明：延長(zhǎng)CD交 AB 于 F AD平分 BAC BAD CAD CD AD ADC ADF 90 AD AD ACD AFD （ ASA） CD FD E 是 BC的中點(diǎn) DE是 BCF的中位線 DE AB【感悟 】：本題關(guān)鍵是挖出隱含的中點(diǎn)，從而來(lái)使問(wèn)題得以解決. 如圖若我們延長(zhǎng)CD交于帶點(diǎn), 根據(jù)題中條件容易證得VV, 所以, 即為的ABFAFDADCDF DCDCF中點(diǎn)；又 E為BC 的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可以得出DE P FB,即DE P AB.三、利用平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)例 3、如圖， ME P AB ,MEAB ， D 為線段 EC 的中點(diǎn) , A、 M 、

4、D 三點(diǎn)在同一條直線上 . 求證： MDBC.證明：連結(jié)BE，交 AM于 O. ME P AB,MEAB ，四邊形ABME為平行四邊形 .點(diǎn) O為 BE的中點(diǎn) .又 D 為 CE的中點(diǎn)， OD為 BCE的中位線， OC BC,即 MD BC.【 感悟 】要證明 MDBC.除了以前常用的方法外，現(xiàn)在三角形的中位線定理又使我們多了一條途徑 .根據(jù)本題的條件已經(jīng)有了D 為線段 EC 的中點(diǎn)，若再找一個(gè)且是同一個(gè)三角形邊的中點(diǎn) , 連結(jié)就有了三角形中位線，有些中點(diǎn)是明顯的，有的中點(diǎn)卻是 “隱藏”在圖形中，需要用平時(shí)積累的知識(shí)使它現(xiàn)身. 本題的 ME P AB, MEAB 可以得出：四邊形 ABME 是平行四邊形， 平行四邊形的對(duì)角線是互相平分的，若我們連結(jié)對(duì)角線 BE 與對(duì)角線 AM 的交點(diǎn)就是線段的中點(diǎn)，在V中，根據(jù)三角形的中位線定理可以得出OC BC，即 MDOBEEBCBC.總之，隱含在圖形中的中點(diǎn)往往是我們平時(shí)容易忽視的，但挖出這些“隱藏的中點(diǎn)”往往有可能是一道題破題的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié) . 根據(jù)上面三道例題