2019年整理】第十九章積分(二重三重積分,第一類曲線曲面積分)的定義和性質(zhì)

1、重積分 1. 二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的概念1 對照重積分的基本性質(zhì)寫出第一型曲線積分和第一型曲面積分的類似性質(zhì)2 設(shè)有一質(zhì)量分布不均勻的半圓弧x r cos ,y r sin (0 ) ，其線密度a ( a為常數(shù) )，求它對原點 (0， 0)處質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的引力3 計算球面三角形 x2 y2 z2 a2 ， x 0,y 0,z 0 的圍線的重心坐標設(shè)線密度 1 22224 求均勻球殼 x2y2z2a2(z0)對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量2 2 25 求均勻球面 zaxy(x0,y 0,x y a) 的重心坐標6 求密度0 的截圓錐面 x r cos , y rsin ,

2、z r(0 2 ,0 b r a)對位于曲面頂點 (0,0,0)的單位質(zhì)點的引力當 b 0 時，結(jié)果如何？ 2. 積分的性質(zhì)1. 證明有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積2. 設(shè) 是可度量的平面圖形或空間立體， f ,g 在 上連續(xù)，證明：(1) 若在 上 f(P) 0，且 f (P)不恒等于 0，則 f (P)d 0；(2) 若在 的任何部分區(qū)域 上，有 f(P)d g(P)d ， 則在 上有 f (P) g(P) 3. 設(shè) f (x)在a,b可積， g ( y )在c,d可積，則 f (x)g(y) 在矩形區(qū)域 D a,b c,d上可積，且bdf(x)g(y)dxdy a f(x)dx c g(y

3、)dy D4. 若 f(x,y) 在 D上可積，那么 f (x, y)在D 上是否可積？考察函數(shù)1,若 x，y是有理數(shù),f (x, y)1, 若x， y至少有一個是無理數(shù),在0,1 0,1上的積分5. 設(shè) D 0,1 0,1 ，1, x是有理數(shù)，f (x,y) 0, x是無理數(shù)，證明 f (x,y)在D 上不可積1. 二重積分的計算1 將二重積分f (x, y) dxdy 化為不同順序的累次積分：D(1) D 由 x軸與 x y2 r2(y 0) 所圍成；1(2) D 由 y x,x 2及 y (x 0) 所圍成； x33(3) D 由 y x ,y 2x ,y 1和 y 2圍成；(4) D

4、(x,y) x y 1 2. 計算下列二重積分：(1) (y 2x)dxdy， D 3,5 1,2 ；cos(x y)dxdy ，DD22(3)(4)3.(1)(2)(3)4.5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.(1)(2)(3)7.xyex y dxdy ， D a,b c,d ； Dx dxdy ， D 0,1 0,1 D 1 xy改變下列累次積分的次序：2 3y0 dy y2 f (x,y)dx；221 dx x f (x,y)dy；1x23 0 2 dy y 2 y2(3 x)0dx 0 f(x,y)dy 1 dx 02f (x,y)dy設(shè) f (x, y)在所積分

5、的區(qū)域 D 上連續(xù)，證明b x b ba dx a f(x,y)dy a dy y f(x,y)dx計算下列二重積分：Ixmykdxdy (m,k 0), D 是由 y2 D2px(p 0),x p 圍成的區(qū)域；2xdxdy, D 是由 y 0,y sinx2,x 0和 x 圍成的區(qū)域； Dxdxdy, D ： x2 y2 x ；Dxy dxdy, D ： x2 y2 a2； D(x y)dxdy, D由 y ex,y 1,x 0,x 1所圍成； D2 2 2x2 y2dxdy, D 由 x y2,x 0,x 2,y 2 x所圍成； Dex ydxdy, D是以 (2,2),(2,3) 和 (

6、3,1)為頂點的三角形； Dsin nxdxdy, D由 y x2,y 4x和 y 4所圍成 D求下列二重積分：1 1 20dx xe y dy；1 1 20dx xx2e y dy；sin x2dx 改變下列累次積分的次序：(1)(2)(3)(4)8.(1)(2)(3)9.(1)(2)(3)(4)10.(1)(2)(3)(4)(5)11.(1)(2)(3)1 1 x x y0 dx 0 dy 0 f ( x, y, z)dz ；1 1 x2 y20 dx 0dy 0f(x,y,z)dz；2101 dx 0dy 1 x y f(x, y, z)dz ；11 x211dx 1 x2dy x2 y

7、2 f ( x, y, z)dz 求下列立體之體積：V 由 x2 y2 z2 r2,x2 y2 z2 2rz所確定；2 2 2V 由 z x2 y2,y x2,z 2所確定；V 是由坐標平面及 x 2,y 3,x y z 4 所圍成的角柱體 用極坐標變換將f (x, y) dxdy 化為累次積分：DD ：半圓 x2 y2 a2,y 0 ；D ：半環(huán) a2 x2 y2 b2,x 0 ；22D ：圓 x2 y2 ay (a 0) ；D ：正方形 0 x a,0 y a 用極坐標變換計算下列二重積分：sin x2 y 2 dxdy, D ： 2 x2 y2 4 2 ； D(x y)dxdy, D 是

8、圓 x2 y2 x y 的內(nèi)部； D(x2 y2 )dxdy, D 由雙紐線 (x2 y2)2 a2(x2 y2)(x 0)圍成； Dxdxdy, D 由阿基米德螺線 r 和半射線 圍成； Dxydxdy, D 由對數(shù)螺線 r e 和半射線 0, 2 圍成D2在下列積分中引入新變量2 2 x0 dx 1 x f (x,y)dy,若 uu,v ，將它們化為累次積分：x y,v x y ；y； ； xbxdx f (x,y)dy ( 0 a b,0) ，若 u x,vaxf (x,y)dxdy ， 其 中 Dx,y x y a,x 0,y 0 ， 若(5)2x z4y9 ,2z x4y；9；(6)

9、z x2 y2,z x y2 2 22.求曲線x22 y22xy2 所圍成的面積2222c3. 用柱坐標變換計算下列三重積分：2 2 2 2 2(1) (x y ) dxdydz ，V 由曲面 z x2 y2,z 4,z 16圍成；V44x ucos v,y usin v ；(4) f (x, y)dxdy ， 其 中 D x,y x y a,x 0,y 0 ( a Dx y ,u y uv12. 作適當?shù)淖兞看鷵Q，求下列積分：(1) (x2 y2 )dxdy, D 是由 x3 4 y4 1圍成的區(qū)域；D2 2 2 2(2)(x y)dxdy, D 由 y 4x2,y 9x2,x 4y2,x

10、9y2圍成；D(3)xydxdy, D 由 xy 2,xy 4, y x,y 2x 圍成D0），若3. 三重積分的計算1. 利用二重積分求由下列曲面圍成的立體的體積：（1） z xy,x2 y2 a2,z 0 ；(2)z h x2 y2,z 0,x2 y2 R2； R(3)球面 x2 y2 z2 a2與圓柱面 x2 y2 ax（ a 0 ）的公共部分；(4)22x2 by222z21 c2x2a22yz2 2 ( z 0) ；bcy2,z 0(2)5x2 y2 z2 dxdydz, V 由 x2 y2 z2 2z 圍成； V(3)x2dxdydz，V 由 x2 y2 z2,x2 y2 z2 8

11、圍成 V5.作適當?shù)淖兞看鷵Q，求下列三重積分：2 2 2 2(1)2 2 x y x yx y zdxdydz ， V 由 z ,z ,xy c,xy d,y x,y x V a b圍成的立體，其中 0 a b,0 ；(2)2x 2yzdxdydz ， V 同(1)； V(3)4 2 2y dxdydz ， V 由 x az2 ,x bz2 ( z 0,0 a b ) ， x y,x y V(0) 以及 x h( 0) 圍成；(4)x2 y2z22222 2 2 xyze a bc dxdydz ， V 由2221圍成；V ab c(5)11 x22 x2 y2 2dx dy 2 2 z2dz

12、 0 0x2 y26.求下列各曲面所圍立體之體積：(1)2 2 2 2 2 z x y ,z 2(x y ),y x,y x ；(2)x y 2 z 21 (x 0,y 0,z 0,a 0,b 0,c 0) a b c7.計算下列三重積分：(1)2 2 2 2(x y z)dxdydz, V ： x2 y2 z2 a2 ； V(2)zdxdydz, V 由曲面 z x2 y2,z 1,z 2 所圍成； V(3)(1 x 4 )dxdydz, V 由曲面 x2 z2 y2,x 2,x 4所圍成； V(4)3 2 2 2x3 yzdxdydz, V 是由曲面 x2 y2 z2 1,x 0, y 0

13、,z 0圍成的位于第 V卦限的有界區(qū)域；(5)23xy z dxdydz, V 由曲面 z xy, y x,z 0,x 1所圍成； V(6)y cos( x z)dxdydz, V 是由 y x, y 0, z 0及 x z 所圍成的區(qū) V2域 4. 積分在物理上的應(yīng)用1求下列均勻密度的平面薄板的質(zhì)心：x 2 2 2 2(5) 半球殼 a2 x2 y2 z2 b2,z 0 3求下列密度均勻的平面薄板的轉(zhuǎn)動慣量：(1) 邊長為 a和 b ，且夾角為 的平行四邊形，關(guān)于底邊 b的轉(zhuǎn)動慣量；2(2) y x2,y 1所圍平面圖形關(guān)于直線 y 1 的轉(zhuǎn)動慣量4求由下列曲面所界均勻體的轉(zhuǎn)動慣量：(1)

14、z x2 y2,x y 1,x y 1,z 0關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量；(2) 長方體關(guān)于它的一棱的轉(zhuǎn)動慣量；(3) 圓筒 a2 x2 y2 b2 ， h z h關(guān)于 x 軸和 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量5設(shè)球體 x2 y2 z2 2x 上各點的密度等于該點到坐標原點的距離，求這球的質(zhì)量6求均勻薄片 x2 y2 R2,z 0對 z軸上一點 (0， 0， c )( c 0)處單位質(zhì)點的引力求均勻柱體 x2 y2 a2,0 z h 對于(0，0，c) (ch )處單位質(zhì)點的引力 y2(1) 半橢圓 2 2 1,y 0； ab(2) 高為 h ，底分別為 a和b 的等腰梯形；(3) r a(1 cos )(0 ) 所界的薄板；2(4) ay x2,x y 2a(a 0) 所界的薄板2求下列密度均勻的物體