專題二立體幾何線面垂直面面垂直

1、與線面垂直得轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線與線所在平面得特征,從PC，得AD丄平面PBC。又平面，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直 ，即從線面垂直得到線線垂直。，通過本題可以瞧到，面面垂直線面專題二：立體幾何一-線面垂直、面面垂直一、知識(shí)點(diǎn)(1) 線面垂直性質(zhì)定理(2) 線面垂直判定定理(3) 面面垂直性質(zhì)定理(2 )面面垂直判定定理線面垂直得證明中得找線技巧通過計(jì)算,運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直1。如圖1,在正方體中，為 得中點(diǎn),AC交BD于點(diǎn)0,求證:平面mb Do 證明：連結(jié)MO,tDB丄,DB丄AC, DB丄平面，而平面 DB丄.設(shè)正方體棱長為，則八在Rt中，.,二。/ 0

2、M n DB = 0,.丄平面 M BD。評(píng)注:在證明垂直關(guān)系時(shí)，有時(shí)可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計(jì)算 來證明.利用面面垂直尋求線面垂直2、如圖2,就是 A B C所在平面外得一點(diǎn)，且PA丄平面ABC，平面PAC丄平面P BC. 求證：BC丄平面FAC、證明：在平面P AC內(nèi)作AD丄PC交P C于D、因?yàn)槠矫鍼AC丄平面PBC,且兩平面交于 平面PAC，且AD丄PC，由面面垂直得性質(zhì)PBC， A D 丄 BC./ PA丄平面 AB C，平面 ABC， P A丄 BC./ A D nPA = A，. BC 丄平面 PAC、評(píng)注:已知條件就是線面垂直與面面垂直線中得一條納入一個(gè)平面中，使另一

3、條直線與該平面垂直 間圖形中，高一級(jí)得垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)得垂直關(guān)系 垂直線線垂直、一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關(guān)系為：線線垂直線面垂直面面垂直.這三者之間得關(guān)系非常密切 ，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面就是判定定理 而從后面推出前面就是性質(zhì)定理。同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問題.下面舉例說明。3。如圖1所示，AB CD為正方形，丄平面ABCD過且垂直于得平面分別交于.求證:,.證明：平面ABC D,、，平面 SAB 又平面 SAB . 平面 AEFG 平面SBC二。同理可證.評(píng)注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要得轉(zhuǎn)化

4、。4.如圖 2,在三棱錐 A -BCD中 ,BC=AC AD =BD，作BEX CEDE為垂足，作AHI BE于H、求證：AHL平面 BCD證明：取AB得中點(diǎn)F，連結(jié)CF，D F.又，.平面CD Fo 平面 CDF , .又”平面ABE平面B CD評(píng)注:本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.如此反復(fù)，直到證得結(jié)論.5.如圖3,就是圓O得直徑，C就是圓周上一點(diǎn)，平面ABC .若AE1P C，E為垂足，F(xiàn)就是PB 上任意一點(diǎn)，求證:平面AEFI平面PBC證明：/ A B就是圓0得直徑，、平面ABC，平面ABC平面APC平面 PBC，平面

5、APC丄平面PBC/ AE丄PC平面AP平面PB C= PC AE丄平面PB C平面 AEF 平面 AEF I平面PBC評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有得直線中尋找平面 得垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線 線垂直得關(guān)系.，A N SB 于 N， AM SC10。如圖，在空間四邊形 SABC中，SA平面ABC， ABC = 90 于M。求證：AN B C ;SC平面AN M 分析：要證AN BC,轉(zhuǎn)證，B C平面SAB。要證S C平面A NM,轉(zhuǎn)證，S C垂直于平面 ANM內(nèi)得兩條相交直線,即證SC AM, SC AN。要證SC AN,轉(zhuǎn)證AN 平面SBC,就可以

6、了。證明： SA平面ABC? SA BC?又 V BC AB,且 A BSA = A? a BC 平面 S AB?V- A N 平面 SAB? a a N B CV AN BC, AN S B,且 S BBC = B?A. a N 平面 SBC? SCC 平面 SB C? a an sc?又. A M SC,且 AMAN = A? SC 平面 ANM例2 如圖9 -40,在三棱錐 SABC中,S A丄平面 A B C,平面S AB丄平面 SBCo圖9 40(1)求證:AB丄EC ；(1)【證明】作 AH丄SB于H, 平面SA B丄平面S BC.平面S AB n平面SB C =SB , / A

7、H丄平面S BC,又SA丄平面 A B C,. SA丄BC,而SA在平面SBC上得射影為 SB, ab C丄S B,又SA n S B =S,a BC丄平面SA B o aB C 丄AB、例3如圖9 4 1 ,P A丄平面A B CD ,四邊形ABCD就是矩形,PA=AD=a, M、N分別 就是AB、 PC得中點(diǎn).M圖 941求證:平面MND丄平面PCD【證明】取P D中點(diǎn)E,連結(jié)EN, E A,則EN CD AM, a四邊形ENMA就是平行四邊 形,ae a / MN./ AE丄PD ,AE丄CD ,a AE丄平面PC D,從而MN丄平面P CD, / MN平面MN D, a平面 M N D

8、丄平面PCD、【注】 證明面面垂直通常就是先證明線面垂直，本題中要證 MN丄平面P CD較困難,轉(zhuǎn)化為證明AE丄平面PC D就較簡單了。另外，在本題中，當(dāng)AB得長度變化時(shí)，可求異面直線P C與AD所成角得范圍。iBi、BC、例4如圖9-4 2，正方體A BCD A1B 1C1D1中，E、F、M、N分別就是A C1 D 1、B1C1 得中點(diǎn).圖9 -4 2 求證:平面M NF丄平面 EN F.【證明】 M、N、E就是中點(diǎn)，aaa即M N丄EN,又N F丄平面 A 1C1, am N丄N F,從而MN丄平面ENF .VM N 平面MNF,a平面M NF丄平面E N F、4o如圖9 45,四棱錐PA

9、BCD得底面就是邊長為 a得正方形，PA丄底面AB C D,E為 AB得中點(diǎn)，且PA=A B .圖 94 5(1 )求證:平面P CE丄平面PC D;(2)求點(diǎn)A到平面PCE得距離、(1) 【證明】PA丄平面ABCD,AD就是P D在底面上得射影，又四邊形A BCD 為矩形， CD 丄 AD, CD丄 PD, / A DA PD = D CD 丄面 PAD, / P DA為二面角P CD-B得平面角， PA= PB=AD ,PA丄 AD./ PDA=45 ，取 Rt PAD斜邊 PD 得中點(diǎn)F，則 A F 丄 P D , / AF 面 PAD C D 丄 AF,又 PDA CD=D AF 丄平

10、面 P CD,取 PC得中點(diǎn)G 連 GF、AG、EG,則 GF C D又 AE CD, GF AE.四邊形 AGEF為平行四邊形二AF / EG, EG丄平面PDC又EG平面P EC ,平面P EC丄平面PCD。(2) 【解】由(1)知A F/平面PEC，平面PC D丄平面PEC ,過F作FH丄PC于H,則F H丄平面PE C FH為F到平面PEC得距離，即為A到平面PEC得距離。在 PFH與 P CD中，/ P 為公共角，而/ FHP= / C D P =90 , P FHPCD .二,設(shè) A D =2,A PF= PC=, FH = A到平面PE C得距離為。【拓展練習(xí)】一、備選題1。如圖

11、，AB就是圓0得直徑1就是圓周上一點(diǎn)，PA丄平面A BC.求證:平面P AC丄平面PBC;(2 )若D也就是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑 A B得兩側(cè),試寫出圖中所有互相垂直得各 對(duì)平面、(1 )【證明】 C就是AB為直徑得圓O得圓周上一點(diǎn),AB就是圓0得直徑 BC 丄 AC;又P A丄平面ABC,BC 平面A BC, BC丄PA，從而B C丄平面PAC、/ BC 平面 P B C ,平面PAC丄平面 PB C.(2)【解】 平面PAC丄平面 A BCD ;平面P AC丄平面 P BC；平面PAD丄平面 PBD ;平面 PA B丄平面 ABCD;平面P AD丄平面 A BC D、，底面邊長為a,

12、D,E分別就是B B ,CC 上得一點(diǎn)，2。ABC-A B C就是正三棱柱B D= a ,EC=a、(1)求證:平面A DE丄平面AC C【證明】分別取A C、AC得中點(diǎn)M、N，連結(jié)M N,(1 )則M N / A A / B B, B、M、N、B 共面， M 為 A C中點(diǎn),B C =B A ，二 B M 丄 A C 又 B M 丄 AA 且 AA n A C =A B M 丄平面 A ACC 。 設(shè)M N交AE于P ,/ CE=A C,. PN = N A =.又 DB = a,.PN=B D ./ PN / BD, PN B D 就是矩形 汙就是 P D/B N, BN/ B M, PD

13、/ B M./ B M 丄平面 ACC A , PD丄平面 ACC A ，而 PD平面 AD E ,平面A DE丄平面AC C A .(2)【解】 PD丄平面A CC A ， P D 丄 A E,而 PD=B M =a,AE =a.AD E=x AE X PD=Xo二、練習(xí)題或ffi垂宣專世練習(xí)一、定理填空，,就說這殺巨線和這個(gè)平面垂玄.】啟我札平年喜劉果一一推直線和2統(tǒng)面垂直知.定定理和性;定理線血基S判罡富理，即果一采宜線和一個(gè)平直內(nèi)牝養(yǎng)衆(zhòng)相燮宜線:都?jí)緯F，那么這條宜蠻至楚丁這個(gè)平面判定宗1： 判定宦理2 性貢定理矢如果卿諜平濘線中的一邑于一個(gè)平面，出3么-條亙線垂直于兩個(gè)乎行平中豹=!平面那去_ 如耒兩秦旨線同車百于一亍半面.那么這湧條方運(yùn)_ 二、糰左習(xí)題：I設(shè)M吾亍平面F 4日壺示直線，錯(cuò)出下列四個(gè)諭題:嚴(yán)Us丄mt )ccSiS2 :;2如圖所示，在正方形ASCD,瓦F分別是AB、BO的中慮現(xiàn)在沿QE、W 及EF把MDE、 CQF.和AEEF折fe,使、B. C三點(diǎn)更含.亜合后的點(diǎn)記為R那么，在四血體0D財(cái) 巳必有 ）第3題圖C加丄平 DEF DP卩丄平ff DEFA. a丄平面 PEF面 PEFd、人改G b是目10：；&纟支，下列冊(cè)遜正確的是凡過不在s b上的一點(diǎn)F-定可以作一條直統(tǒng)和、fc槨相交B. 過不在趴b上的一點(diǎn)P-定可以