數(shù)理方程中與貝塞爾函數(shù)有關(guān)的問題

1、.數(shù)理方程中與貝塞爾函數(shù)有關(guān)的問題據(jù)百度百科介紹：貝塞爾（17841846）是德國天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測量學(xué)的奠基人。20歲時(shí)發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測量的論文。1810年任新建的柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。貝塞爾的主要貢獻(xiàn)在天文學(xué)，以天文學(xué)基礎(chǔ)（1818）為標(biāo)志發(fā)展了實(shí)驗(yàn)天文學(xué) ，還編制基本星表 ，測定恒星視差， 預(yù)言伴星的存在，導(dǎo)出用于天文計(jì)算的貝塞爾公式，較精確地計(jì)算出歲差常數(shù)等幾個天文常數(shù)值，還編制大氣折射表和大氣折射公式，以修正其對天文觀測的影響。他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問題提供了重

2、要工具。此外，他在大地測量學(xué)方面也做出一定貢獻(xiàn)，提出貝塞爾地球橢球體等觀點(diǎn)。（圖片來自維基百科）一、 貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)二、 貝塞爾方程與歐拉方程比較三、 貝塞爾函數(shù)與伽馬函數(shù)四、 貝塞爾函數(shù)與幾個常用函數(shù)的臺勞級數(shù)比較右圖來自網(wǎng)頁“維基百科自由的百科全書”中貝塞爾函數(shù)介紹。貝塞爾函數(shù)的一個實(shí)例：一個緊繃的鼓面在中心受到敲擊后的二階振動振型，其振幅沿半徑方向上的分布就是一個貝塞爾函數(shù)（考慮正負(fù)號）。實(shí)際生活中受敲擊的鼓面的振動是各階類似振動形態(tài)的疊加一、貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)Bessel方程是二階線性變系數(shù)齊次常微分方程其中，v是常數(shù)，稱為Bessel方程的階（不一定是整數(shù)），可取任何實(shí)或

3、復(fù)數(shù)。該方程的解無法用初等函數(shù)表現(xiàn)。數(shù)理方程教科書采用第一類Bessel函數(shù)和第二類Bessel函數(shù)的線性組合表示方程的標(biāo)準(zhǔn)解函數(shù)。貝塞爾函數(shù)也被稱為圓柱函數(shù)或圓柱諧波。通常所說的貝塞爾函數(shù)是指第一類Bessel函數(shù)貝塞爾方程是在圓柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時(shí)得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式；在球域問題中得到的是半奇數(shù)階形式），因此貝塞爾函數(shù)在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，典型的問題有：在圓柱形波導(dǎo)中的電磁波傳播問題；圓柱體中的熱傳導(dǎo)問題；圓形（或環(huán)形）薄膜的振動模態(tài)分析問題；在其他一些領(lǐng)域，貝塞爾函數(shù)也相當(dāng)有用。如在信號處理中的

4、調(diào)頻合成（FM synthesis）或凱澤窗（Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函數(shù)。在教科書中Bessel方程來源1 在圓柱坐標(biāo)系下解二維熱傳導(dǎo)方程；用分離變量法，令u(x，y，t) = V(x，y)T(t)，代入方程整得由此得兩個方程，其中，一階常微分方程的通解為而另一個是圓域上Laplace算子的固有值問題，在極坐標(biāo)系下再一次使用分離變量法，令，代入方程整理得由此得兩個方程，第一個二階常微分方程的通解為引入周期邊值條件，得。所以固有值，(n = 0，1，2，)固有函數(shù)系為，(n = 1，2，)將固有值代入第二個常微分方程，得令，則方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)階貝塞爾方程2 圓柱

5、坐標(biāo)系下解二維波動方程；用分離變量法，令u(x，y，t) = V(x，y)T(t)，代入方程整得由此得兩個方程，第一個是圓域上Laplace算子的固有值問題，與熱傳導(dǎo)問題類似可得整數(shù)階貝塞爾方程3在圓柱坐標(biāo)系下解三維拉普拉斯方程或亥姆霍夫方程。圓域上亥姆霍茲方程邊值問題用分離變量法，令，代入方程整理得由此得兩個方程，第一個二階常微分方程的通解為引入周期邊值條件，得。所以固有值，(n = 0，1，2，)固有函數(shù)系為，(n = 1，2，)將固有值代入第二個常微分方程，得令，則方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)階貝塞爾方程 二、貝塞爾方程與歐拉方程比較歐拉方程也是一類二階線性變系數(shù)齊次常微分方程。該方程的二階導(dǎo)數(shù)

6、項(xiàng)和一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)表達(dá)式與貝塞爾方程相同。不同的是，貝塞爾方程中函數(shù)項(xiàng)系數(shù)為變系數(shù)，歐拉方程中函數(shù)項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)。貝塞爾方程只能求出級數(shù)形式的解，即使是零階貝塞爾方程歐拉方程可以通過自變量變換成為線性常系數(shù)常微分方程。作變換：，即，未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為代入微分方程，得方程化簡為：，該方程有初等函數(shù)表達(dá)式的通解。三、貝塞爾函數(shù)與伽馬函數(shù)1正整數(shù)階貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)的階數(shù)v不一定是整數(shù)。引入伽馬函數(shù)使表達(dá)式簡化，但有一絲神秘當(dāng)階數(shù)為正整數(shù)時(shí)，貝塞爾函數(shù)可寫成零階貝塞爾函數(shù)還有一種是積分形式（可用于數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)）2負(fù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)由于自變量為負(fù)值時(shí)，伽馬函數(shù)的值趨于正無窮大，所以負(fù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)中對于m n 的項(xiàng)為零，故令 k = m n ，則有m = n + k。所以對比 Jn(x) 的表達(dá)式，知J-n(x) = ( 1)n Jn(x)這說明兩個整數(shù)階貝塞爾函數(shù)線性相關(guān)。3伽馬函數(shù)這一特殊函數(shù)以無窮積分的形式做為定義是正整數(shù)階乘函數(shù)的推廣。其中，s 可以取正實(shí)數(shù)也可以取實(shí)部為正的復(fù)數(shù)。幾個簡單性質(zhì)如下：（1）；（2）；事實(shí)上（3）事實(shí)上令，則上式化為概率積分（4）當(dāng)伽馬函數(shù)的自變量為負(fù)值時(shí)，無窮積分發(fā)散。即由于所以自變量為負(fù)值時(shí)，伽馬函數(shù)的值趨于正無