初二動(dòng)態(tài)幾何問題

1、初 二 動(dòng) 態(tài) 幾 何 問 題一、動(dòng)態(tài)幾何問題涉及的幾種情況動(dòng)態(tài)幾何問題就其運(yùn)動(dòng)對象而言，有：1點(diǎn)動(dòng)（有單動(dòng)點(diǎn)型、多動(dòng)點(diǎn)型）2、線動(dòng)（主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型）。線動(dòng)實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)，進(jìn)而還會(huì) 產(chǎn)生形動(dòng)，因而線動(dòng)型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問題來求解3、形動(dòng)（就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)）二、解決動(dòng)態(tài)幾何問題的基本思考策略與分析方法：動(dòng)態(tài)型問題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識點(diǎn)，解答時(shí)要特別注意以下七點(diǎn)：1把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程；2、思考運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求出的幾何量；3、動(dòng)中取靜：（最重要的一點(diǎn)）要善于在“動(dòng)”中取“靜”（讓圖形和各個(gè)幾何量都“靜”下

2、來），抓住變化中的“不變 量”和不變關(guān)系為“向?qū)А保蟪鱿嚓P(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量；4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出基本的等量關(guān)系式；5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；（某些幾何元素的變化會(huì)帶來其它幾何量的變化，所以在求變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建 立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置關(guān)系問題時(shí)常結(jié)合圖 形建立方程模型求解）6、是否以及怎么分類討論：將變化的幾何元素按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍，從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況，看圖形的形狀是否改

3、變， 或圖形的有關(guān)幾何量的計(jì)算方法是否改變，以明確是否需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置分類討論解決，7、確定變化分界點(diǎn)：若需分類討論，要以運(yùn)動(dòng)到達(dá)的特殊點(diǎn)為分界點(diǎn)，畫出與之對應(yīng)情況相吻合的圖形，找到情況發(fā)生改變的時(shí)刻，確定變化的范圍分類求解。例：如圖，有一邊長為 5cm的正方形 ABCD和等腰三角形 RQR, PQ=PR=5cm ,QR=8cm ,點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線i上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)開始，t秒后正方形 ABCD2與等腰 PQR重合部分的面積為 Scm .解答下列問題：(1)當(dāng)t=3秒時(shí)，求S的值；(2 )當(dāng)t=5秒時(shí)，求S的值；(3)當(dāng)5秒w t 8秒時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求

4、出 S的最大值.實(shí)驗(yàn)操作【要點(diǎn)導(dǎo)航】通過實(shí)驗(yàn)操作一一觀察猜想一一科學(xué)論證，使我們體驗(yàn)和學(xué)到了發(fā)現(xiàn)、獲得知識的過程和方法實(shí)驗(yàn)操作探索一一理解題意、實(shí)驗(yàn)操作是基本保證，觀察猜想、探索結(jié)論是關(guān)鍵，論證猜想的結(jié)論是落實(shí)【典例精析】例1取一張矩形紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖1;第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線 MN上, 折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為B,得RtA ABE，如圖2;第三步：沿 EB線折疊得 折痕EF,使A點(diǎn)落在EC的延長線上，如圖 3利用展開圖4探究：(AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；(2)對于任一矩形，按照上述方法能否折出這種三角形？請說

5、明你的理由.圖1圖2RE CF D例2 已知：在 ABC中，/ BAC=90 , M為BC中點(diǎn).操作：將三角板的 90。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)M重合，并繞著點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊 AB、AC相交于點(diǎn) E、F.(1) 探究1:線段BE、EF、FC是否能構(gòu)成三角形？如果可以構(gòu)成三角形，那么是什么形狀的三角形？請證明你的猜想.(2) 探究2 :若改變?yōu)椋骸敖堑膬蛇叿謩e與邊 AB、直線AC相交于點(diǎn)E、F.”其它條件都不變的情況下， 那么結(jié)論是否還存在？請畫出對應(yīng)的圖形并請證明你的猜想.【訓(xùn)練】1. 如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合)，過點(diǎn)E作FG丄DE , FG與邊BC相交

6、于點(diǎn)F,與邊DA的延長線相交于點(diǎn) G.(1) 操作：由幾個(gè)不同的位置，分別測量BF、AG、AE的長，從中你能發(fā)現(xiàn) BF、AG、AE的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論;(2)連結(jié)DF，如果正方形的邊長為 2，設(shè)AE= x , DFG的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;(3)如果正方形的邊長為52, FG的長為，求點(diǎn)C到直線DE的距離.2AB供試驗(yàn)操作用2. 操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形 ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn) P在對角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線 DC相探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x.（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段

7、PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀 察得到結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形 PBCQ的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析 式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)， PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使 PCQ成為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由.（圖5、圖6、圖7的形狀大小相同，圖 5供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖 6和圖7備用）3. 在 ABC中，AB=AC, CG丄BA交BA的延長線于點(diǎn) G. 等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F, 條直角邊與 AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B.（1） 在圖

8、1中請你通過觀察、測量 BF與CG的長度，猜想并寫出 BF與CG滿足的數(shù) 量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿 AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與 AC邊在同一直線 上，另一條直角邊交 BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE丄BA于點(diǎn)E.此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出 DE + DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想;3所示的位置（點(diǎn) F在線段（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿 AC方向繼續(xù)平移到圖AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí),（2）中的猜想是否仍然成立?（不用說明理由）圖1CGC圖2GEC4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線I是第一、三象限的角平分線.

9、實(shí)驗(yàn)與探究：（1）由圖觀察易知 A（ 0，2）關(guān)于直線I的對稱點(diǎn) A的坐標(biāo)為（2，0），請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5, 3）、C（-2, 5）關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)B C 的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：歸納與發(fā)現(xiàn)：（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn) P（ab）關(guān)于第一、三象限的角平分線I的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （不必證明）；運(yùn)用與拓廣：（3）已知兩點(diǎn) D（1,-3）、E（-1,-4）,試在直線I上確定一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q至U D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).探索性問題探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型.探索性問題一般有三種類型：（

10、1）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題.條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目； 結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.條件探索【要點(diǎn)導(dǎo)航】切學(xué)科領(lǐng)域之中，數(shù)學(xué)中的“條件探索”題型，是指命題中缺少一定的題設(shè)，需經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的命題，因而必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，由結(jié)論去探索未給予的條件。 由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特，此類問題的一般解題思路并無固 定模式或套路，因而具體操

11、作時(shí)要更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用.【典例精析】例1如圖，在線段 AE的同側(cè)作正方形 ABCD和正方形BEFG ( BE v AB ),連結(jié)EG并延長交DC于點(diǎn)M，過M作MN _ AB，垂足為N , MN交BD于點(diǎn)P .設(shè)正方形ABCD的邊長為1.(1) 證明 CMGA NBP；(2)設(shè)BE=x,四邊形MGBN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.(3) 如果按照題設(shè)方法作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長.(4)聯(lián)結(jié)PG,若 BPG能否成為直角三角形？如果能，求BE的長;如果不能，請說明理由.(5)聯(lián)結(jié)AC、AF、CF,求證 ACF的面積為定值.1思路分析1. 第(3)小題把四

12、邊形 BGMP是菱形作為條件探索 BE的長.2. BPG中/PBG始終是45,而/ BPG和/PGB有可能為90,要分情況討論.3第(5)小題即可用割補(bǔ)法求也可用利用AC/ BF將厶ACF的面積轉(zhuǎn)化為 ABC的面積.例2 在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N . D ABC外一圖2(1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn) M、N在邊AB、AC上，且DM = DN時(shí)，BM、NC、MN之間Q的數(shù)量關(guān)系是 ;此時(shí);(不必證明)(2) 如圖2所示，點(diǎn) M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM = DN時(shí)，猜想(1 )問的兩個(gè) 結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(3) 如圖3所示，當(dāng)M、N分別在邊AB、

13、CA的延長線上時(shí)，若 AN = 2,貝U Q = _ (用含有L的式子表示).【訓(xùn)練】1. 如圖1所示，直線AB交x軸于點(diǎn)A (A, 0),交y軸于點(diǎn)B (0, B),且A、B 滿足、a b (a -4)2 = 0 .(1) 如圖1,若C的坐標(biāo)為(一1, 0),且AH丄BC于點(diǎn)H, AH交OB于點(diǎn)P,試求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(2) 如圖2,連接OH，求證：/ OHP = 45 ;(3) 如圖3,若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) M為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接 MD，過D作DN丄DM交x軸于N點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過程中，式子S厶bdm Sadn的值是否發(fā)生改變，如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不

14、改變，求該式子的值.M是BC邊的中2.已知BD、CE分別是 ABC的AC邊、AB邊上的高,點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)MD、ME、DE .(1)當(dāng) BAC 90時(shí)，垂足D、E分別落在邊 AC、AB 上,如圖1.求證：DM二EM . 當(dāng)BAC 90時(shí)，垂足D、E分別落在邊AC、AB所在的直線上，如圖2,問(1)中的結(jié)論是否依然成立？無需說明理由，直接寫出答案即可；若 DEM的形狀，簡寫解答過程.BAC =135，試判斷圖1(3)設(shè).BAC的度數(shù)為x , . DME的度數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.3. 如圖1,已知/ ABC=90 , ABE是等邊三角形，點(diǎn) P為射線BC上任意 一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合)，連

15、結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ，連 結(jié)QE并延長交射線BC于點(diǎn)F.(1) 如圖 2,當(dāng) BP= BA 時(shí)，/ EBF=，猜想/ QFC= ;(2) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想/ QFC的度數(shù)，并加以證明;(3)點(diǎn)Q到射線BC的距離為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系圖1圖2結(jié)論探索【要點(diǎn)導(dǎo)航】需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論,明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題.條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目； 結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一

16、，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下， 需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù) 學(xué)關(guān)系是否存在的題目.探索型問題具有較強(qiáng)的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識.經(jīng)常用到的知識是：一兀一次方程、平面直角坐標(biāo)系、正、反比例和一次函數(shù)的求法（圖象及其性質(zhì)）、直角三角形的性質(zhì)、四邊形（特殊）的性質(zhì)、等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑.因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力.【典例精析】圖1例 1 如圖

17、1,在厶 ABC 中，/ ACB = 90 , AC = BC, AB = 8 ,CD丄AB，垂足為點(diǎn)D. M為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn) N在射線CB上（點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合），且MC = MN , NE丄AB,垂足為點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，試探索線段 ME的長是否會(huì)改變？說明你的理由.1思路分析射線CB包括線段CB和線段CB的延長線兩部分，點(diǎn) N在射線CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可證明 CMD和厶MEN全等，所以線段 ME的長始終和線段 CD相等，所以不會(huì)改變長度.例2 如圖，已知在正方形 ABCD中，AB = 2, P是邊BC上的任意一點(diǎn)，E是邊BC與邊CD相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)PG.延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP.過

18、點(diǎn)P作PF丄AP,與/ DCE的平分線CF相交于點(diǎn)F.聯(lián)結(jié)AF,（1）求證：AP = FP；（2）探索線段BP、DG、PG之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程;（3）當(dāng)BP取何值時(shí)，PG / CF.1思路分析1 過點(diǎn)F作FH丄BC,結(jié)合所給條件無法證明厶 ABP和厶PHF全等在邊 AB上截取線段AH，使AH =PC,便可證明厶AHP PCF.2由第（1）小題的結(jié)論得 APF是等腰直角三角形，所以/ PAF=45。，將 ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，BP與DG聯(lián)結(jié)成一條線段， 通過全等三角形可證 BP與DG的和 等于PG.3.當(dāng)PG / CF時(shí)， PCG是等腰直角三角形，由第（2）小題結(jié)論得 PG=D

19、G+BP, 在Rt PCG中，由勾股定理可求得 BP的長.【訓(xùn)練】第天，年 月 日1. 已知：在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)P在直線BC上，PD丄AB于點(diǎn)D , PE丄AC 于點(diǎn)E, BH是厶ABC的高.（1）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，求證：PD+PE= BH（2） 當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長線上時(shí)，試探索 PD、PE和BH之間的數(shù)量關(guān)系.2. 已知等邊 ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到厶ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為Hi, H2, &, ABC的高為H “若點(diǎn)P在一邊BC上如圖（1）,此時(shí)H3 = 0可得結(jié)論：Hi+ H2 + H3= H ”請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P在厶ABC內(nèi)如圖（2）,以及

20、點(diǎn)P在厶ABC外如圖（3）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立,DMHi, H2, H3與H之間又有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明.圖1圖23. 已知在正 ABC中，AB=4,點(diǎn)M是射線AB上的任意一點(diǎn)(點(diǎn) M與點(diǎn)A、B不重合)，點(diǎn)N在邊BC的延長線上，且 AM = CN 聯(lián)結(jié)MN，交 直線AC于點(diǎn)D 設(shè)AM = x, CD = y.(1) 如圖，當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的取值范 圍.(2) 當(dāng)點(diǎn)M在邊AB 上,且四邊形BCDM的面積等于 DCN面積的4倍時(shí)，求x的值.(3) 過點(diǎn)M作ME丄AC,垂足為點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)M在射線AB上

21、移動(dòng)時(shí)，線段 DE的長是 否會(huì)改變？請證明你的結(jié)論.A（圖1）4. 在 RtA ABC 中，/ C=900, / A=30, AB=4，將一個(gè) 30 角 的頂點(diǎn)P放在AB邊上滑動(dòng)，保持30角的一邊平行于 BC,且交邊AC于點(diǎn)E, 30角的另一邊交射線 BC于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)ED .(1) 如圖1,當(dāng)四邊形PBDE為等腰梯形時(shí)，求 AP的長；(2) 四邊形PBDE有可能為平行四邊形嗎？若可能，求出 PBDE為平行四邊形時(shí)AP的長；若不可能，說明理由；(3) 若D在BC邊上(不與B、C重合)，試寫出線段 AP取值范圍。5. 在梯形 ABCD 中，AD/ BC, AB=CD=AD =5cm, BC=11c

22、m，點(diǎn) P 從點(diǎn) D出發(fā)沿DA邊以每秒1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以每秒2cm的速度移動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止移動(dòng))，假設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為x (秒)，四邊 形ABQP的面積為y (平方厘米)。(1) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；Q(2) 在移動(dòng)的過程中，求四邊形ABQP的面積與四邊形 QCDP 的面積相等時(shí)x的值；(3) 在移動(dòng)的過程中，是否存在x使得PQ=AB,若存在求出 所有的x的值，若不存在請說明理由6. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例2函數(shù)y = kx ( x為自變量)的圖像與雙曲線y交于點(diǎn)A，且點(diǎn)xA的橫坐標(biāo)為 -2 .(1

23、 )求k的值；(2) 將直線y二kx ( x為自變量)向上平移 4個(gè)單位得到直線 BC, 直線BC分別交x軸、y軸于B、C,如點(diǎn)D在直線BC上，在平面直 角坐標(biāo)系中求一點(diǎn) P,使以0、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.7. 如圖1，直線y - -2x 12分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B, 點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段0C上，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4.(1) 求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線 AD的解析式；(2) P是直線AD上的點(diǎn)，請你找一點(diǎn) Q,使以0、A、P、Q這四個(gè)點(diǎn)為 頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).猜想證明【要點(diǎn)導(dǎo)航】此類問題通常由一個(gè)特殊圖形到一般情況，引出一系列探究的問題經(jīng)歷對一些命

24、題和結(jié)論的猜想、證明、推廣的過程，體會(huì)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的想象、思維、歸納、分析都有較高的要求此類題目變式多，證明方式也不盡相同，可以說是精彩紛呈借題發(fā)揮，拓寬視野，這樣做不僅有助于學(xué)生綜合而更有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活的運(yùn)用知識，而且能不斷提高學(xué)生獨(dú)立探究問題解決的能力,深刻性與批判性?！镜淅觥繄D1圖2例1如圖1,已知點(diǎn)D在AC上， ABC和厶ADE都是等腰直角三角形， 點(diǎn)M為EC的中點(diǎn).(1) 求證： BMD為等腰直角三角形.(2) 將厶ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖2, (1)中的“ BMD為等 腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由.(3

25、) 將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135，如圖3, (1)中的“ BMD為 等腰直角三角形”成立嗎？(不用說明理由)圖3圖4(4) 我們是否可以猜想，將 ADE繞 點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖 4, (1) 中的“丄BMD為等腰直角三角形”均成 立？1思路分析1. 利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角和定理不難證明DM與BM垂直且相等.2. 將厶ADE繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)過45或135時(shí)，加倍延長DM，可構(gòu)造出全等三角形，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明BMD為等腰直角三角形.3. 將厶ADE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度時(shí)，可以D、M、B為頂點(diǎn)構(gòu)造正方形再證明BMD為等腰直角三角形.例2 點(diǎn)A、B、C在同

26、一直線上，在直線 AC的同側(cè)作 ABE和 BCF，連接AF, CE.取 AF、CE 的中點(diǎn) M、N,連接 BM, BN , MN .(1)若 ABE和FBC是等腰直角三角形，且 ABE =/FBC =90 (如圖1),則MBN是三角形.(2)在 ABE 和 BCF 中，若 BA=BE, BC=BF,且 ABE 二 FBC 二:-,(如圖 2),則MBN是三角形，且 MBN -2（3）若將（2）中的占ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，（如圖3）,其他條件不變，那么（2）中的結(jié)論是否成立?若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.圖1圖2圖31思路分析1 . ABF和厶EBC可看作繞點(diǎn)B旋

27、轉(zhuǎn)90后可重合的兩個(gè)三角形,BM和BN是對應(yīng)斜邊上的中線，夾角為 90,所以- MBN是等腰直角三角形.2. Z MBN可看作是兩個(gè)全等三角形 ABF和厶EBC對應(yīng)邊上的中線，它們的夾角/MBN和對應(yīng)邊的夾角/ ABE和/ FBC相等.3. 要證明/ MBN和/ FBC相等，只要證明/ FBM和/ CBN相等，所以要證明 MFB和厶N(yùn)CB全等.訓(xùn)練】1. 如圖1,四邊形ABCD,將頂點(diǎn)為A的角繞著頂點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若角的一條邊 與DC的延長線交于點(diǎn) F,角的另一條邊與 CB的延長線交于點(diǎn) E,連接EF.（1）若四邊形 ABCD為正方形，當(dāng)/ EAF=45 時(shí)，有EF=DF BE.請你思考如何證 明這個(gè)結(jié)論（只思考，不必寫出證明過程） ；（2）如圖2 ,如果在四邊形 ABCD中，AB=AD , / ABC=Z ADC=90 ,當(dāng) 1/ EAF