定積分的證明題

1、f (a) od xf (x)證明 (x t) f (t)dtdx a解答_x(x t)f (t)dt(xt)df(t)x x(x t) f (t) a f(t)dt a ax(a x)f (a) a f (t)dtd xa(x t) f (t)dt dx af (a) f (x)f(x)f(a)。題目2證明題容易利用積分中值定理證明:lim 4 sinnxdx 0 n 0 0 解答由積分中值定理，在0,上存在點(diǎn)，使4n|m 04sinnxdxnlim sinn(4 0)0Vlim sin4 n 0Q 0 sinlim sinn 0lim 4 sinn xdx 0 。n 0 0題目3證明題一般

2、b設(shè)函數(shù)f (x)在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f(a) 0， f (x)dx 0a證明：在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f( ) 0o解答_由積分中值定理，在(a,b)存在一點(diǎn)1,使bf (x)dx f ( 1)(b a) 0f( 1)0在區(qū)間a，1上,應(yīng)用羅爾定理，可知存在一點(diǎn) (a，1)(a,b)使f ( ) 0。題目4證明題 一般設(shè)f (x) f (x a)，naa證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)0 f (x)dx n 0f(x)dx解答、rna證明：f(x)dx0af(x)dx02aaf(x)dxna(n 1)af (x)dxf(x) f(xa)2aaaaa f(x)dx xy a 0f(ya)dy0f(y)dy0

3、f(x)dx3aaa2a f (x)dxxy 2a0f(y2a) dy0f(ya)dyaa0f(y)dy0f(x)dxnaf (x)dx(n 1)ax y (n1)aaf(y0 丿(n 1)a)dyaaf(y)dyf(x)dxna0f(x)dxan 0 f (x)dx=題目5證明題 一般1證明：xm(1 x)ndx0 10心 X)%解答_證:令x 1 t 則 dxdt且x 0 時(shí),t 1f (x)dx (b a) f (a)a)1 2x 1 時(shí),t 01xm(1 x)ndx0 01(1 t)mtn( dt)1otn(1 t)mdt解答lim y 0x 0f (x)在a, b上連續(xù),于是f (x

4、)在a,b上可積. 又由題設(shè)知f(x) f (a) 即 f (a) (x a) f (x)由定積分的不等性質(zhì)bf(a) (xaba f(x)dxba f(a) (xbf (x)dx (b a) f(a)a(b a)22bf (x)dx (b a) f (a)ax a(x a) f (a) (x a)a)dxa)dx(ba)22丄(b a)2。2題目7證明題一般設(shè)f (x)在a,b上的連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a) f (b) 0.b2證明:4af(x)dx M(b a)2,其中 Msup f (x)。x b解答_證明：由假設(shè)并利用微分中值 定理，有f(x) f(x) f(a) (x a)

5、f ( 1)f(x) f(x) f(b) (x又由M sup f (x)故fa x b取絕對(duì)值,有f (x) (xf(x) (ba b2aba b f (x) dx兩式相加,有f(x)dx M(b a)2。4f(x)dxx)Ma baV(xba b (bb)f (i )a)Ma)dxx)dx2)M.MT(bM (b1(bi (a,x)2(x,b)1,2a)2a)2題目8證明題 一般設(shè)f (x)在a,b上正值，連續(xù)，則在b1 b使 a f(x)dx f(x)dx 3 a f(x)dx 。(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)解答證：令F(x)由于xF(a)f(t)dtaa,b時(shí)，f(x)baf(t)dt 0b

6、f(t)dt 0af(t)dt0F(b)由根的存在性定理，存在一點(diǎn)(a, b)使F( ) 0 即 f(t)dtab又 Q a f(t)dtf (x)dxaaf(x)dxbf(x)dxbf (x)dx2 f(x)dxa從而原式成立。題目9證明題一般證明:0 2 si n0解答_證明：1xdx 0sinxdx 。已知函數(shù)sin1 乂在0,3】連續(xù)非負(fù)，且x 0,才，使n 1sinX。0,由性質(zhì)，有02si nn1 xdx又已知函數(shù)sinn x sinsinx)在0,亍連續(xù)非負(fù),0?si nn1xdx0題目10證明題1求證:-2.n 1X。sinX。sinn X0 (12 sinn xdx2 n 1

7、sin :002 sinn xdxnsin1sin Xo)0,由性質(zhì)，有n x(1:(sin n x sin n 1 x)dx且 x0,3,使 sinn解答一般1 dx0 4 x2 x3x (0,1)時(shí)，x2 x3,4 x2 x3,4 2又x302一23x x2 x120611dx 1 dx1 1 dx2 x2 x36題目11證明題一般設(shè)f (x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)任一閉區(qū)間上積分為零，證明f(x)在(a,b)內(nèi)恒等于零。 解答_證明：設(shè) x0(a, b)， x (a,b)。令x(x) x f(t)dtx0則由題設(shè)(x)0從而 (x)0而(x) f (x)f (x)0。題

8、目12證明題 一般若函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù),1a 3 證明:x30f(x2)dxa22 0 xf (x)dx (a 0)。解答證:令x2t,則 xdx11dt，且x 0時(shí)，t 0x a時(shí)，t a2a 3 20x3f(x2)dxa21tf (t) -dt2a20 tf (t)dta2o xf (x)dx。1212題目13證明題一般b2證明:f(x)g(x)dx2a設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)在a,b上連續(xù)，b 2a f2(x)dx ag2(x)dx 解答b 2f(x) tg(x)2dxa顯然f(x) tg(x)20并由題設(shè)知它在a,b上連續(xù),故有f(x) tg(x)2dx 0a2 b 2bb

9、 2即t g (x)dx 2t f(x)g(x)dx f (x)dx 0aaa不等式左端是關(guān)于t的二次三項(xiàng)式,且對(duì)任意t,此二次式均非負(fù)所以其判別式 0bbb即a f(x)g(x)dx2a f2(x)dx ag2(x)dx 0bbbf (x)g(x)dx2 f 2(x)dx g2(x)dx。aaa題目14證明題一般設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)，證明：02 f (sin2 )cos d解答_左式 0 f (sin2 )cos d4 f (sin 2 ) cos df (sin 2 )(cossin)d在第二個(gè)積分中，令一22 f (sin 2 )cos d4t,則 2-2t，d-dt2 f (si

10、n 2 ) cos d40f (si n(2t)cos(- t)d(-t)f (s in 2)sin左式4 f (sin2 )cos do4 f(sin 2 )sin dof (si n2t)si ntdt f (sin2 )(cos sin )d右式。題目15證明題一般設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo),且f (x) M, f(a) 0,bMe證明:a f (x)dx M(b a)2。解答證明：由假設(shè)可知，x (a,b)f (x)在a,x上滿足 微分中值定理，則f (x) f(x) f (a)(a,x)(a,b)f ( )(x a) 又 f (x) M, x f (x) M (x a)由定積分的比較定

11、理M2(b a)* 2。bbf (x)dx M (x a)dxaa題目16證明題一般設(shè)f (x)在Q2a,(a 0)上連續(xù)，2a證明：f(x)dx 解答_由于a0f(x) f(2ax)dx。2a f (x)dx則dx02a t,令x2a0 f(x)dxa0f(x)dxdt2aa f(x)dx題目17證明題aa0f(x)dx 0f(2a t) dta0 f (x) f(2a x)dx。一般r si n2kx4ko0) ( 2 0)設(shè)k為正整數(shù)，證明：2(1) cos kxdx (2) sin dxkxdx解答_2(1) cos kxdx2(2) sin kxdx1 cos2kx , dx 21

12、1x sin 2kx 24k(2 0) ( - 0)o題目18證明題一般設(shè)f(x)在0,1上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)f(0) 1.1 2試證：。f (x) dx1。解答證明：f (x) 12f (x)21 20f (x) dxf (x)2 2f2f (x)112 0f (x)dx(x) 101dx02f(x)2f (1) f(0) 1題目19證明題一般若m為正整數(shù)，證明:2 cosm xdx。02 m . m .cos x sin xdx 0解答m . m . cos x sin xdxjsi nm(2x)dx左式1 (t )，則2 212m 12 msin (t22)dt2mcos tdt2

13、mcos tdt01右式。02COsmxdx題目20證明題一般若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),ba) a fa (b a)xdx。b(b則 a f (x)dx解答作代換x a且x b時(shí)tx a 時(shí) t0baf(x)dx10fa (b1b a1b a題目21證明題(b110fa1ofaa)t,則 dx (b a)dta)t(b a)dt(b a)tdt(b a)xdx。設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),1 2證明：02 f (cosx)dx 0 f (cosx )dx。解答證:顯然f(cosx)是以 為周期的函數(shù)20 f(cosx )dx2 o f(cosx )dx2 02 f(cosx)dx在后

14、一積分中，令xf (cosx)dx2t則f (cosx)dx20f (cos(t)dt0 f(cost)dt2f(cosx )dxf (cosx)dx2 02 f(cosx)dx02 f (cosx)dxf(cosx)dx得證 02 f (cosx)dx題目22證明題一般若函數(shù)f(x)在 R連續(xù), 解答_f (x)在R連續(xù)f (x)在R可導(dǎo)且 x R有 f (x)(20 f (cosx )dx且 f (x)x 1f(t)dt)1f(x)f (x) f(x) 0 考慮函數(shù)p(x) f(x)e x. p (x) f (x)e x f (x)ep(x) c(常數(shù))c f (x)e已知f (a)f (

15、x) f(x)ex 0f(x)xcef(t)dt 0x Ro般證明：由于2o (sin x x) f (x)dx20 (sin x x) f (x)dx(sint t) f(t)dtx,則令t2(sint(si n(x)xf( x)dx(x020 (sin xsin x)f (x)dxx)f (x)dxo (sin xx) f (x)dx o (x sin x) f (x)dx0 (2x)f(x)dx。題目24證明題一般1 、o f (x)dx成立。設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減， 試證明:對(duì)于任何q 0,1,都有不等式q0 f (x)dx q解答_令x qt,則dxq10 f (x)d

16、x 0 f (qt) qdt由于q 1,即qtt又f (x)單調(diào)遞減，故f (qt)10f(qt)dtq0f (x)dx題目25證明題qdt,從而1q 0 f (qt)dtf(t)10f(t)dt1 q 0 f (qt)dt一般設(shè)f (x)在a,b上單調(diào)增加.且f (x)0.證明:(b a) f (a)“、f(a) f(b)f (x)dx (b a) a解答證明：由假設(shè) x a,b.x a時(shí)f (x) f (a)bf (x)dx (b a) f(a)at a,b. f (t)在x點(diǎn)處的展式為1 2 x) 2! f ( )(t x)( 在t與 x之間)f(t)f (X)f (x)(t()f(x)

17、af (b) f (a) 2f (x) (a b) f (x) 2xfba【f(b)又因ff(t)將t b,ta分別代入上式，并相加,有0故f (x)(tX)b2 f (x)dx (a b)aba) 4 a f (x)dx f (b)a 2題目26證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)且單調(diào)遞增。1F(X) af (a)dx(x)bbf (x)dx 2 xf (x)dxaa2f(b)f(a)(bbf (x)dxf(a)(b a)。xf (t)dt ,(a x b) x a aF(a)f(a),證明：F(x)在a,b上單調(diào)增。解答證明：對(duì)a,b內(nèi)的每個(gè)x，由積分中值定理1XF(x)ax a a

18、當(dāng)x a時(shí)，lim F(x) limx ax af(t)dt1f( )(x - a) f( ) (a x)x aaf()F(x)在點(diǎn)a連續(xù)從而F(x)在a,b上連續(xù)，則 f(x) _xf(t)dt2 a f (t )dtx a (x a) a1Pf( )(x(x a)4 a xf(a) F(a)F (x)f(x)x af(x)a)x aQf(x)單調(diào)增且滿足aF (x) 0，(a x b)F(x)在a,b上單調(diào)增。題目27證明題一般設(shè)f (x)在a,b上二階可導(dǎo)且f (x)ba b證明： f(x)dx (b a)f ()a2x，故 f( ) f(x)，從而a bx (a,b)將f (x)在二一

19、處展開,有a b心)f(介于X與心之間.) 2由題設(shè)知f ( )0f(x) f(乎)f(艸f()(xa b)2F)a b2ba ba f(x)dx (b a)f()f()(x專) (X，2a b-2)2(b a)f()。2題目28證明題一般設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在a,b可導(dǎo)，且fx f (t)F(x)dta x a在(a,b)內(nèi)滿足F (x)0。解答(x)0,證明函數(shù)x(x a) f(x) a f (t)dtF (x)亠(x a)(x a)f(x) (x a)f()a,x(x a)2f(x) f()(x a)由已知.x (a,b)時(shí)，f (x)0，故f (x)在(a,b)內(nèi)遞減x (a,

20、b)af(x)又x -aF(x)x,f()00x(a,b)。題目29證明題一般試證：如果f (x)在a,b上連續(xù)，且對(duì)于一切同時(shí)至少存在一點(diǎn)a, b，使f()解答_證明:由f(x)在則存在 f(x) 0于是bf(x)dxba f(x)dx一般點(diǎn)連續(xù)，且f()0，當(dāng) X (-,0b0,則0,f( )dx 2題目30證明題一b試證 f (c x)dxacab f (x)dx。解答x a,b，f(x) 0ba f (x)dx 0。a,b)時(shí)，有f( ) 0dt令t c x則x c t,dx 且x a時(shí),t c a x b時(shí),t c bbf(c x)dxf (t)( dt)c bf(t)dtc af(

21、x)dx)題目31證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上可微，且滿足等式:1f (1) 2jxf(x)dx 0試證在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()f()解答_1由于f (1)2 Jxf(x)dx 01則由積分中值定理，有1 0,-,使1f (1) 2 11f ( 1) 0 成立,即 f(1)1f( 1)02令 F(x) xf(x),則 F( 1)F(1);對(duì)函數(shù)F(x)在仆1上用羅爾定理，有F ( ) 0,( 1,1)(0,1)即 f ( ) f()0, (0,1)f( ) -f()(0,1)。題目32證明題一般設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，并且對(duì)于每一個(gè)在a,b上的連續(xù)函數(shù)g(x).都有bg(x

22、)f(x)dx 0a證明：f(x) 0 (a x b)o解答證明:若不然，設(shè)有X。(a,b),使f(x。)0.不妨設(shè)f(Xo)0.由于f (x)在Xo處連續(xù),故對(duì)當(dāng) x -X00 IM存在2時(shí)，即在區(qū)間(X。-f (Xo)0.,X0)內(nèi)，有f(x)-f(x)2從而f(x)丄凹02構(gòu)造連續(xù)函數(shù)g(x)如下:a,X0 -(X0 -0g(x)、h(x) 其中 h(x) 0.x lim、h(x)X (X0)b(x 0 - lim(X0Xoh(x)(X0 .Xo ) )且0,ba g(x)f(x)dxax0x h(x)f(x)dxx0-f(Xo)x0x0-2這與題設(shè)矛盾故f(x) 0 題目33證明題難設(shè)

23、函數(shù)f (x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)b 則 af (x) f (x) dxb,f解答令 F(x)則 F(x)Xf (t)dtaxaf (t)dtf(t)af(x)f(x)2 a|f(x)f (x) dx由柯西不等式，有F2(b)f(a)baF(X)F(x) dxf (x) f (x) dx題目34證明題難b(a F (x)dx)b 2(b a) f (x) dx ab a2bdxah(x)dxx b。f (x，2(x) dx。2F (b)baF (x)2dxbaf(x) dx。且 f (a)0,存在一個(gè)，使f(x)dx1 2bf(b) af (a) b1 2 f (b)133-(b3 a3)f

24、( o) o 3!a2f (a)解答x令F(x)f(t)dt,則F(a) 0, F (x)af(x)F (x) f (x).F (x)將F (x)在x t (a tf (x)b)處展成二階Taylor公式，有F(x) F(t) F (t)(x t) lF”(t)(x t)2 ：F”()(x t)3 2!31333!(b a )f ( 0)(x, t)令x 0,分別將t a, t b代入上式，并相減，有1 2 20 F(a) F(b) bf(b) af(a) -a2f (a) b2f (b) 2!1333jb3f ( 2) a3f (1)其中 1(a,0)2(0,b)f (x)dx bf (b)

25、 af (a)122133尹 f (b) a f (a)#(b f ( 2) a f ( 1)令m min f ( 1), f ( 2)M max f ( 1), f ( 2)m(b3 a3) b3f ( 2) a3 f ( 1) M (b3 a2)由于f (x)在a,b連續(xù)，于是存在0使b3f ( 2) a3f ( J f ( b3 a3于是 b3 f ( 2) a3f ( 1)0)(b3a3)f ( 0)f (x)dx bf (b) af (a)b2f (b)2!2a f (a)2T bf (x)dx2T bT證明：因?yàn)?f(x)dx f (x)dx a注意到f (2T t)bt f(2T

26、 t)dta題目36證明題a令 x 2T t,2T bT f(x)dxbT f (x)dxb2 f (x)dxTb2 丁 f(x)dxbf (x)d)c2T bT f(x)dx f (t),則bT f(t)dt2T試證IF4dx1 x解答bf(x)dxf(x)dxbT f(x)dx2xTx4dx 2 2則 dx0時(shí)，t時(shí)，t1廠dx22*dt1 1 ( Rdt1 (1)4 t 厶dt1 t42x4xdx4 dxx2x .1 7dx丄1占 dx1 22 xx1d(x -)x-)2 2x(Xx時(shí)，121uduarctgu / . 22v21加2 ( /題目37證明題難證明奇函數(shù)的一切原函偶函數(shù)的原

27、函數(shù)中有一時(shí),2x4 dxx數(shù)皆為偶函數(shù), 為奇函數(shù)。c為任意常數(shù)-1 x均有億(x) qx0 f(t)dtXq f(t)dtFc(x)即它的一切原函數(shù)都是偶函數(shù)。 題目38證明題難證明：設(shè)f(x)在1,1上有定義，貝U f(x)的全部原函數(shù)可表示為xFc(x)0 f(t)dt c當(dāng)f(-x)f(x).即f(x)為偶函數(shù)時(shí)xF( x) 0 f(t)dt 0x0 f( t)dtx0 f(t)dtF(x)即F(x )是奇函數(shù)但當(dāng)c 0時(shí)，F(xiàn)c( x) Fq( x) cFo(x) c(Fq(x) c) 2cFc(x) 2cFc(x)則其它原函數(shù)都不是奇函數(shù)，c,當(dāng)f( x) f (x)，即f(x)為

28、奇函數(shù)時(shí)，顯然對(duì)一切xf(t)dt c設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(x) 0,又F(x)xf(t)dtadt b f(t)證明:解答F (x)0在 a, b內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根F (x)X1af(t)dtf (x)1f (x)x 1 1 dtb f(t)2f (x) 1f(x)f (x)(f(x)f 2(x)f 2(x) f(x)aF(a) a f(t)dt1)21f 2(x)2f(x)2f (x)100,從而F(x)在a,b上嚴(yán)格單調(diào)增加。bF(b) a f(t)dta 1 dt b f(t)b 1dtb f(t)b dta f(t) b dt a f(t)由連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理知F(x

29、)0,在a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。題目39證明題難a -證明:當(dāng)a 1時(shí)，有1 f (x冷*dxx x解答t，則dt2xdx， dxaf(x2a2) 1 d2)dxx xa2a211f(tt ) ,t2(a2a211f(t)dt t 2t1aa dt 11 f(t)21tt 2左式dt2af(ta證明:令x2211 dt2有dt在第二個(gè)積分中121212a2f(tf(udt1)t 21u)( )du u a2) du u uu1 a2 af ( a uu)a2(u2)dU將它與第一個(gè)積分相加即得dt 1左式題目40證明題若函數(shù)1 af(t 生2 1t t 2難f (x)在0,連續(xù),f(udu右

30、式。Jim f (x)則：limxxf (t)dt A。解答lim f (x)x0.0,使xB，有f(x) - A 從而，對(duì)1 X-0 f(t)dtx 01 BB，有B0 f(t)dtx 01 B其中l(wèi)im 1x x 01 X -Bf(t) Adtx Bx1-(0 f(t)dt x 01 x-Bf(t) x BxBf (t)dt)Adt -xxBf(t) AdtxAdtBX1X即limXXB【f(t)1XlimAdtXXB1Xlim0 f(t)dtXX01XlimAdtXXBAdt 0A。難blim A(1xlim 1x(1-B)-)AxB0 f(t)dtlim xAdt題目41證明題證明:若

31、“ f2 (x)dxa0則f (x)0a,b。解答_證明:若有 (a,b)，使f( )0,則有2f ( )0, ,a,b,且由f(x)的連續(xù)性可知，存在含有點(diǎn) 的一個(gè)小區(qū)間使-,ff (x)dx(x) -2于是b 2a f2(X)dX2f (x)dx2f (x)dx20這與假設(shè)條件矛盾 使f( )0,故f(x)f 2(x)dx!即說明在(a,b)內(nèi)不能有點(diǎn) Ox (a,b).再根據(jù)已知條件 f(x)在a,b上的連續(xù)性,知在a,b上, f (x)0。題目42證明題難1 x證明:lim f (t h) f(t)dt f (x) f (a) (a x b)。 n 0 h a解答_x證明1:設(shè) (x)

32、 f(t)d側(cè) (x) f(x)a1 xI叫二 af(th) f(t)dtn 0 h a1”叫 (x h)- (a h)-(x)(a)Iim 1 (x h)-(x)- (a h) (a)n 0 hh證明2:設(shè)t h(x) -(a) f(x) - f(a)。xaf(t h)dtx hahfW)dUx hf(t)dta hx故 af(t h)f(t)dtx hah*a ha f(t)dtx hah*x hf(t)dtxa ha訕f( Jh f(2)h其中 1在x, xh之間，2在a, a h之間1 x lim f (tn 0 h aL 、h) f(t)dt1 lim0-f( 1) 0 hf( 2)u,則x八訕f(x) f(a)。題目4