勾股定理典型題型

1、B新人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理典型例習(xí)題一、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例1 .在 MBC 中，NC=9O0.已知AC =6 , BC =8 .求AB的長(zhǎng)已知 AB =17 , AC =15，求BC的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2 +b2 =c24解： AB =JaC2 +BC2 =10 BC = Jab -AC =8題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后,已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理!根據(jù)勾股定理

2、aC+bCuAB,即aC+9=15,所以aC=144,所以AC=12.例題2如圖（8），水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分C的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.b二:一_, f15cX/0.5乙1A團(tuán)2解析：同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知 ACD中，/ ACD=90 ,在Rt ACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類(lèi)型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，aC+cDuAE2設(shè)水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=O.5圖32 2 2x+

3、1.5 = ( x+0.5 )解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用1例題3 如圖3,正方形ABCD中, E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB AB那么 def是直角三角形嗎？為什么?解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)1有任何條件，我們也可以開(kāi)創(chuàng)條件，由FB =_AB可以設(shè)AB=4a,那么4BF= a,那么在Rt AFD、Rt BEF和Rt CDE中,分別利用勾股定理求出BE=CE=2a,AF=3 a,DF,EF和DE的長(zhǎng),反過(guò)來(lái)再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下:解：設(shè)正方形 ABCD的邊

4、長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a在 Rt CDE中，DE=cD+cE=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF 中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度例題4如圖4,已知長(zhǎng)方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在邊cj上取一點(diǎn),將 ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。注：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部

5、分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直3B15c1 5圖&C圖J例題5如圖5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面 AD邊是否垂直與 AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm, AB=60cm BD=100cm AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證 AD邊與CD邊是否垂直?解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。如圖4,矩形ABCD表示桌面形狀，在 AB上截取 AM=12cm在AD上截取AN=9cm想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？），連結(jié)MN測(cè)量MN的長(zhǎng)度。如果MN=15則aM+aN=mN,所以AD邊與AB邊垂直;如果 MN=aM 15,貝U 92+122=81 + 1

6、44=225, a 225,即 92+122工 a2,所以/ A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題例題6有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門(mén)上方，離地高4.5米的墻上,任何東西只要移至 5米以?xún)?nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走 日 5到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)?1.解析：首先要弄清楚人走過(guò)去， 是頭先距離燈5米還是腳先距離燈 5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC/ MN,BCL AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離 A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知 AN=4.5米，所以AC=3米,由勾股定理，可計(jì)算 BC=4米.即使要走到離門(mén)4米的時(shí)候燈

7、剛好打開(kāi)。例1、如圖，若AP=3,求 ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 AC P重合, PP的長(zhǎng)。C題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題:變式1:如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=273,PC=4,求 ABC的邊長(zhǎng).性:分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60,將三條線(xiàn)段集中到同一個(gè)三角形中，i 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.變式2、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90 , E、F是BC上的點(diǎn)，且/ EAF=45 ,試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說(shuō)明理由題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題例1、如圖，矩形紙片 ABCD的邊

8、AB=10cm, BC=6cm, E為BC上一點(diǎn)，將矩形纟疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖， 的位置， 題型八：關(guān) 例1、如圖， 匯，點(diǎn)A處 公路MN的 周?chē)?00米 機(jī)在公路MNAD是 ABC的中線(xiàn),y J /A上沿PN方向行駛時(shí),Af沿E AE扌/ ADC=45，把 ADC沿直線(xiàn)AD翻折，點(diǎn)BC=4求BC 的長(zhǎng).彳于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)護(hù)入 公路MN和公路*0在PA處交 有一所中學(xué)，米,4 A * 距離為80米,假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，、C 以?xún)?nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理C落在點(diǎn)CQMNXA由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么

9、學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題例5、如右圖1 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線(xiàn)，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線(xiàn)，從 背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請(qǐng)問(wèn) 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)？（ n取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm，則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的 B點(diǎn), 最少要

10、花幾秒鐘？三、課后訓(xùn)練： 一、填空題30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需米.第3題圖2.出3.點(diǎn)于，測(cè)得內(nèi)部底面半徑為 2.5 m,高為12 m,吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露種盛飲料的圓柱形杯（如圖）4.6 cm,問(wèn)吸管要做已知：如圖， ABC中，/ C = 90，點(diǎn)0為 ABC的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，0D丄BC, 0E丄AC , OF丄AB ,D、E、F分別是垂足，且 BC = 8cm , CA = 6cm，則點(diǎn) O到三邊 AB , AC和BC的距離分別等Cfflocm4. 在一棵樹(shù)的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù) 直接躍到A處，距離以直線(xiàn)計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等,5

11、. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm2dm, A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)， 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到二、選擇題1.已知一個(gè) Rt的兩邊長(zhǎng)分別為 3和4,A、 25B、 14A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)最短路程是20米處的池塘的 A處。另一只爬到樹(shù)頂 D后 則這棵樹(shù)高3dmBB米。A20則第三邊長(zhǎng)的平方是（D、7或2. Rt一直角邊的長(zhǎng)為11,另兩邊為自然數(shù)，貝y Rt的周長(zhǎng)為（A、121 B、120C、132D、不能確定3. 如果Rt兩直角邊的比為 5 : 12，則斜邊上的高與斜邊的比為（A、60 : 13 B、5 : 12C、12 : 13D、60 :)25)1694. 已知 Rt ABC中，/ C=90,若 a+b=14cm, c=10cm，則 Rt ABC的面積是（2 2 2 2A、24cmB、36cmC、48cmD、60cm）5.等腰三角形底邊上的高為8,周長(zhǎng)為32，則三角形的面積為（A、566.某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境, 售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（A、450a 元B、225a 元B、48C、40D、32)C、150a 元D、 300a 元已知這種草皮每平方米ED17.已知, 的面積為20m_ 30mBC第6題圖,AB=3cmAD=9cm將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)如圖長(zhǎng)（